高考数学 基础+方法全解 第15讲 挖掘三角函数公式的合理使用(含解析)

高考数学 基础+方法全解 第15讲 挖掘三角函数公式的
合理使用（含解析）
考纲要求:
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2
x ＝1， sin x cos x
＝tan x ．
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
4.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
5.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.
基础知识回顾:
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1； (2)商数关系：sin α
cos α
＝tan α.
【注】（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。

（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。

2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，其中k ∈Z.
公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα. 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cosα.
公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cosα，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sinα.
公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cosα，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sinα.
【注】诱导公式可概括为k·π
2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号
看象限．其中的奇、偶是指
π
2
的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 3. 和角与差角公式 ：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
【注】变式：tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β) 4. 二倍角公式：
sin 2α= 2sin cos αα.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=
- 5. 合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =
A
． 6. 半角公式 sin
α
2
＝±
1－cos α2；cos α
2＝±1＋cos α2；tan α
2＝±1－cos α1＋cos α tan α2＝sin α
1＋cos α
＝
1－cos α
sin α
7. 三角函数的最值问题
(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ①y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)，其中cosφ＝
a a 2
＋b
2
，sinφ＝b a 2
＋b
2
.
②y ＝asin 2
x ＋bsinxcosx ＋ccos 2
x 可先降次，整理转化为上一种形式．
③y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛
⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解． (2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
①y ＝asin 2
x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．
②y ＝asinx ＋c bsinx (a ，b ，c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c
bt (－1≤t≤1)的最值，一般可
用基本不等式或单调性求解． 应用举例:
【2013新课标（I ）理15】设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则
cos θ=____________.
【应用点评】
试题重点：三角恒等变换、三角函数的性质 试题难点：化一公式的应用和实质 名师点睛：
【2013辽宁理】设向量(
)
()3sin ,sin ,cos ,sin ,0,.2a x x b x x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
（1）若a b x =,求的值；
（2）设函数()(),.f x a b f x =⋅求的最大值
【应用点评】
试题重点：三角函数的基本运算、三角恒等变换、三角函数的图像与性质 试题难点：定区间上求三角函数的最值 名师点睛：
①在定区间上求()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>的值域时，应先通过题设条件确定x ωϕ+的取值范围，再利用三角函数的图像与性质确定()f x 的最值；切勿认为()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>的值域一定是[],A A -；②向量背景下的三角函数问题是高考数学的一大热点，常用的背景有向量的模、平行与垂直、夹角、数量积等.
变式训练:
【变式1】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－1
7
，求2α－β的值．
【变式2】已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)若函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值．
方法、规律归纳: 三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如
α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β),
2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2 ,α+β2=(α－β2)－(α
2 －β)等.
（2）“变名”指的是切化弦（正切化成正弦余弦sin tan cos α
αα
=
）， （3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。

实战演练:
1、已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5
.
(1)求ta n α的值；(2)把1
cos 2α－sin 2
α
用tan α表示出来，并求其值．
(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2
α
cos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α
＝tan 2α＋1
1－tan 2
α
， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2
α＋11－tan 2
α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432
＝－25
7. 2、已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π6，x ∈R.
(1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝
⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
3、已知函数2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
4、已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋5sinx ＋cosx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
(1)求sinx ＋cosx 的取值范围． (2)求函数f(x)的最小值．
5、已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2，
(1)求tan 2α的值；(2)求β.。