届数学一轮复习第三章导数及其应用第3节定积分与微积分基本定理教学案含解析

第3节定积分与微积分基本定理
考试要求 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义;2。

了解微积分基本定理的含义。

知识梳理
1。

定积分的概念与几何意义
(1）定积分的定义
如果函数f（x）在区间［a,b］上连续，用分点将区间［a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi（i＝1，2，…，n），作和式错误!f（ξi）Δx＝错误!错误!f(ξi），当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a,b］上的定积分,记作错误!f(x）d x，即错误!f(x）d x＝错误!__错误!f(ξi）。

在错误!f（x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量,f（x）d x叫做被积式。

（2)定积分的几何意义
f(x)错误!f(x）d x的几何意义
f(x）≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积
f（x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数
f (x ）在[a ，b ]上
有正有负
表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积
2。

定积分的性质 （1)错误!kf (x )d x ＝k 错误!f (x )d x (k 为常数).
（2)错误!［f 1（x ）±f 2（x )］d x ＝错误!f 1（x ）d x ±错误!f 2(x )d x 。

（3）错误!f (x )d x ＝错误!f (x ）d x ＋错误!f （x )d x （其中a ＜c ＜b ).
3.微积分基本定理
一般地，如果f （x )是在区间［a ，b ]上的连续函数，且F ′（x )＝f (x ),那么错误!f （x ）d x ＝F (b ）－F (a ）。

这个结论叫做微积分基本定
理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.可以把F （b )－F (a ）记为F （x ）⎪⎪⎪b
a ,即错误!f （x ）d x ＝F （x )错误!＝F (
b ）－F (a )。

［常用结论与微点提醒]
1。

定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.
2。

函数f (x )在闭区间［－a ，a ］上连续，则有
（1）若f （x )为偶函数,则错误!f （x )d x ＝2错误!f （x )d x .
(2）若f (x )为奇函数，则错误!f （x ）d x ＝0.
诊 断 自 测
1。

判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×"）
（1）设函数y ＝f （x )在区间[a ，b ]上连续，则错误!f (x ）d x ＝错误!f (t )d t 。

( ）
（2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是错误!(x 2－x ）d x .( )
（3）若⎠⎜⎛a
b f (x ）d x 〈0，那么由y ＝f (x ），x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.（ ）
（4）定积分错误!f （x ）d x 一定等于由x ＝a ,x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f （x )所围成的曲边梯形的面积。

（ )
（5)加速度对时间的积分是路程.( )
解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是错误!(x －x 2）d x 。

(3)若错误!f (x ）d x <0，那么由y ＝f （x ），x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大。

(4）定积分错误!f （x )d x 等于由x ＝a ,x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x ）所围成图形的面积的代数和.
（5）加速度对时间的积分是速度,速度对时间的积分才是路程。

答案 （1)√ (2）× （3)× (4）× （5）×
2.（老教材选修2－2P50A5改编）定积分错误!|x |d x ＝( ) A 。

1
B.2 C 。

3 D.4 解析 错误!|x ｜d x ＝错误!(－x ）d x ＋错误!x d x ＝2错误!x d x ＝x 2错误!＝1。

答案 A
3.(老教材选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ）
A 。

10t 20
B.5t 20
C.错误!t 错误!
D.错误!t 错误! 解析 S ＝错误!v d t ＝错误!10t d t ＝5t 2错误!＝5t 错误!.
答案 B
4.(2020·贵阳一中月考)若a ＝错误!x 2d x ,b ＝错误!x 3d x ，c ＝错误!sin x d x ,则a ，b ，c 的大小关系是( )
A 。

a 〈c <b
B 。

a 〈b 〈c
C.c <b <a
D.c 〈a <b
解析 由微积分基本定理得a ＝错误!x 2d x ＝错误!错误!＝错误!，b ＝错误!x 3d x ＝错误!错误!＝4，c ＝错误!sin x d x ＝(－cos x )错误!＝1－cos 2〈2,则c 〈a <b 。

答案 D
5。

(2020·南昌模拟）设a >0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________。

解析 封闭图形如图所示,
则错误!错误!d x ＝错误!x 错误!错误!＝错误!a 错误!＝a 2，解得a ＝错误!。

答案 错误!
6.(2020·长沙一中月考）定积分⎠⎜⎛－2
2（错误!＋x )d x ＝________. 解析 错误!错误!d x 表示圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积. ∴错误!错误!d x ＝错误!×π×22＝2π.又错误!x d x ＝0，
故错误!(错误!＋x )d x ＝2π＋0＝2π。

答案 2π
考点一 定积分的计算
【例1】 (1)错误!(sin x －cos x ）d x ＝________。

(2）设f(x）＝错误!（e为自然对数的底数)，则错误!f(x)d x的值为________.
解析(1）原式＝错误!sin x d x－错误!cos x d x
＝－cos x错误!－sin x错误!＝2－0＝2.
（2)错误!f（x）d x＝错误!x2d x＋错误!错误!d x
＝错误!错误!＋ln x错误!＝错误!＋1＝错误!.
答案(1)2(2）错误!
规律方法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1）对被积函数要先化简,再求积分；
(2)若被积函数为分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
（3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分。

【训练1】（1)设f（x)＝错误!则错误!f(x)d x等于（）
A.错误!B。

错误!C。

错误! D.不存在
（2）定积分错误!（x2＋sin x）d x＝________。

解析（1)如图，
错误!f（x）d x＝错误!x2d x＋错误!(2－x)d x
＝1
3x3错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

（2)错误!(x2＋sin x)d x＝错误!x2d x＋错误!sin x d x
＝2错误!x2d x＝2·错误!｜错误!＝错误!。

答案(1）C（2）错误!
考点二定积分的几何意义多维探究
角度1利用定积分的几何意义计算定积分
【例2－1】(1)（2020·吉安五校联考）错误!(错误!＋x cos x）d x＝________。

(2）若错误!错误!d x＝错误!，则m＝________。

解析(1）错误!（错误!＋x cos x)d x
＝错误!错误!d x＋错误!x cos x d x.
∵错误!错误!d x表示位于x轴上方半圆x2＋y2＝1的面积,
∴错误!错误!d x＝错误!，
又t＝x cos x为奇函数,知错误!x cos x d x＝0，
∴错误!（错误!＋x cos x)d x＝错误!。

（2）根据定积分的几何意义错误!错误!d x表示圆(x＋1）2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又错误!错误!d x
＝π
4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.
答案（1)错误!（2）－1
角度2利用定积分计算平面图形的面积
【例2－2】(一题多解)由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________。

解析如图所示，解方程组｛y2＝2x，，y＝x－4得两交点为
（2，－2），(8，4）.
法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，
即S＝2错误!错误!d x＋错误!（错误!－x＋4)d x＝18.
法二选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!
错误!d y＝18.
答案18
规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原
函数不易找到时常用此方法求定积分.
2。

利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分（注意：两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系).
【训练2】(1)(角度1)（2020·合肥模拟）错误!（错误!＋x)d x＝
________。

(2)(角度2）曲线y＝错误!与直线y＝x－1,x＝1所围成的封闭图形的面积为(）
A。

2－ln 2 B。

2ln 2－错误!
C。

2＋ln 2 D.2ln 2＋错误!
解析(1）错误!（错误!＋x)d x＝错误!错误!d x＋错误!x d x，
令y＝错误!（y≥0），得x2＋y2＝4。

又圆x2＋y2＝4的面积为4π，
由定积分的几何意义可得，错误!错误!d x＝π，
由于错误!x d x＝错误!x2｜错误!＝2，
∴错误!（错误!＋x)d x＝π＋2.
（2）解方程组错误!得错误!则曲线y＝错误!与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，
所求的面积S＝错误!错误!d x＝错误!错误!
＝（2ln 2－2＋2)－错误!＝2ln 2－错误!.
答案(1）π＋2(2）B
考点三定积分在物理中的应用
【例3】(1)物体A以v＝3t2＋1（m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s）的速度与A同向运动，出发后,物体A追上物体B所用的时间t（s)为(）
A.3 B。

4 C。

5 D.6
（2）设变力F（x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10,已知F(x）＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F（x)对质点M所做的功为________ J（x的单位：m，力的单位：N）.
解析（1)因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!(3t2＋1）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!10t d t.
所以错误!(3t2＋1－10t)d t＝(t3＋t－5t2）错误!＝t3＋t－5t2＝5。

整理得（t－5)（t2＋1）＝0，解得t＝5。

(2）变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10
所做的功为W＝错误!F（x)d x＝错误!（x2＋1）d x＝错误!错误!＝342（J)。

答案（1)C(2）342
规律方法定积分在物理中的两个应用
（1）变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v
＝v(t）,那么从时刻t＝a到t＝b所经过的位移s＝错误!v（t）d t.（2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F（x)相同
方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝错误!F(x）d x。

【训练3】(1）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情
况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋错误!(t的单位:s,v的单位:m/s）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位:m）是() A。

1＋25ln 5 B。

8＋25ln 错误!
C.4＋25ln 5 D。

4＋50ln 2
(单（2）一物体在力F(x）＝｛2（0≤x≤2），2x－2，（x＞2）位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F（x)做的功为________ J.
解析（1)令v(t）＝0，得t＝4或t＝－错误!(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝错误!错误!d t
＝错误!错误!
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5（m)。

(2）从x＝0处运动到x＝4(单位：m）处，力F（x)做的功为错误!
2d x＋错误!(2x－2）d x＝2x｜错误!＋(x2－2x）｜错误!＝12(J).
答案（1)C(2)12
A级基础巩固
一、选择题
1.错误!|sin x|d x等于（）
A。

1 B.2 C。

3 D。

4
解析错误!|sin x｜d x＝2错误!sin x d x＝2（－cos x）|错误!＝4。

答案D
2。

（2020·成都模拟）错误!(3x2＋k）d x＝10,则k＝（)
A。

1 B.2 C。

3 D.4
解析∵错误!（3x2＋k）d x＝(x3＋kx）|错误!＝23＋2k。

由题意,得8＋2k＝10，∴k＝1.
答案A
3.汽车以v＝(3t＋2）m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是（）
A.错误!m B。

6 m C.错误!m D.7 m
解析s＝错误!(3t＋2）d t＝错误!错误!
＝错误!×4＋4－错误!＝10－错误!＝错误!(m).
答案A
4。

错误!sin2错误!d x等于()
A。

0 B.错误!－错误!
C。

错误!－错误! D.错误!－1
解析错误!sin2错误!d x＝错误!错误!d x
＝错误!错误!＝错误!－错误!。

5.(一题多解）若S1＝错误!x2d x，S2＝错误!错误!d x,S3＝错误!e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为（)
A.S1<S2<S3B。

S2<S1〈S3
C。

S2<S3〈S1 D.S3〈S2<S1
解析法一S1＝错误!x3|错误!＝错误!－错误!＝错误!，
S2＝ln x｜错误!＝ln 2〈ln e＝1，
S3＝e x｜错误!＝e2－e≈2.72－2。

7＝4.59,
所以S2<S1〈S3.
法二S1，S2,S3分别表示曲线y＝x2，y＝错误!，y＝e x与直线x＝1，x＝2及x轴围成的图形的面积,通过作图易知S2〈S1〈S3。

答案B
6.如图，指数函数的图象过点E(2，9），则图中阴影部分的面积等于(）
A.错误!
B.8
C。

错误! D.9
解析设指数函数为y＝a x（a〉0且a≠1），因为其过点E（2,9），所以a2＝9，解得a＝3，所以图中阴影部分的面积S＝错误!3x d x ＝错误!错误!＝错误!.
7.(2020·汕头模拟)已知函数f（x）＝错误!则错误!f（x)d x＝（）
A.1＋错误!
B.错误!＋错误!
C.1＋错误!
D.错误!＋错误!
解析错误!f(x）d x＝错误!（x＋1）d x＋错误!错误!d x
＝错误!错误!＋错误!＝错误!＋错误!.
答案B
8.由y＝x2，y＝错误!,y＝1所围成的图形的面积为（）
A。

错误! B.错误!C。

2 D.1
解析如图所示，阴影部分的面积为
S＝2错误!
＝2错误!
＝2错误!＝错误!.
答案A
二、填空题
9.已知错误!错误!d x＝错误!，则m的值为________。

解析由微积分基本定理得错误!错误!d x＝（ln x－mx）错误!＝m＋1－m e，结合题意得m＋1－m e＝错误!,解得m＝错误!。

答案错误!
10。

如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________.
解析由错误!解得x1＝0，x2＝2.
∴S＝错误!(－x2＋2x＋1－1）d x＝错误!（－x2＋2x）d x
＝错误!错误!＝－错误!＋4＝错误!.
答案错误!
11.一物体作变速直线运动,其v－t曲线如图所示，则该物体在错误!s～6 s间的运动路程为______ m.
解析由题图可知，v（t)＝错误!
由变速直线运动的路程公式，可得
s＝错误!v(t）d t＝错误!2t d t＋错误!2d t＋错误!错误!d t
＝t2错误!＋2t错误!＋错误!错误!＝错误!（m）.
所以物体在错误!s～6 s间的运动路程是错误!m。

答案错误!
12。

（2019·衡水中学质检）曲线y＝2sin x（0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________.
解析令2sin x＝1,得sin x＝错误!，
当x∈［0，π]时,得x＝错误!或x＝错误!，
所以所求面积S＝错误!(2sin x－1)d x
＝(－2cos x－x)错误!＝2错误!－错误!。

答案23－错误!
B级能力提升
13。

(2020·皖东名校联盟）二次函数f（x）＝x2－nx＋m（n,m∈R）的图象如图所示，则定积分错误!f（x)d x＝()
A。

错误! B.错误!
C.2 D。

3
解析由图象可知，n＝3,m＝2.
错误!f（x)d x＝错误!(x2－3x＋2)d x＝错误!|错误!＝错误!.
答案B
14。

（2020·太原联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是y ＝sin x,y＝cos x，A错误!，C(0，1)，在矩形OABC内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为（）
A.错误!
B.错误!
C.4(错误!－1)π D。

4(错误!－1)π
解析由题可知图中阴影部分的面积
S＝2错误!(cos x－sin x)d x
＝2(sin x＋cos x)错误!＝2（错误!－1)，
易知矩形OABC的面积为错误!,所以在矩形OABC内随机取一点,此点取自阴影部分的概率为错误!.
答案B
15.错误!错误!d x ＝________。

解析 cos 错误!＝－sin x ，令y ＝错误!(y ≥0)，两边平方得y 2＝16－x 2，则有x 2＋y 2＝16，所以函数y ＝错误!在x ∈[－4，4］上的图象是圆x 2＋y 2＝16的上半部分.∴⎠⎜⎛－4
4错误!＝错误!×π×42＝8π, 又t ＝－sin x 在[－4,4]为奇函数，知错误!－sin x d x ＝0.
故错误!错误!d x ＝错误!（－sin x )d x ＋8π＝8π.
答案 8π
16.（2020·武汉模拟)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算错误!ln x d x ＝________.
解析 如图所示，函数y ＝ln x 与函数y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，结合图象可知,图中两个阴影部分区域的面积相等,所以错误!ln x d x ＝错误!(e 2－e x )d x ＝(e 2x －e x )｜错误!＝e 2＋1.
答案 e 2＋1
C 级 创新猜想
17.(情境创新题）在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝错误!πx 2d x ＝错误!x 3｜错误!＝错误!。

据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周
得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________.
解析类比已知结论,将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分,被积函数为π(e错误!）2＝πe y，积分变量为y，积分区间为［0,2］,即V＝错误!πe y d y＝πe y|错误!＝π(e2－1）。

答案π（e2－1）。