2020高中物理第十一章机械振动实验：用单摆测定重力加速度学案新人教版选修3_4

实验：用单摆测定重力加速度
1．学会用单摆测定当地的重力加速度.
2．能正确熟练地使用游标卡尺和秒表.
一、实验原理
单摆在摆角很小（不大于5°）时的运动,可看成简谐运动。

根据单摆周期公式错误!T＝2π错误!，有g＝错误!错误!,通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地重力加速度g的值。

二、实验器材
带小孔的小金属球；长1 m左右的细尼龙线；铁夹;铁架台；游标卡尺;毫米刻度尺；秒表。

三、实验步骤
(1）让细线穿过球上的小孔,在细线的穿出端打一个比孔稍大一些的线结。

（2)把细线上端固定在错误!铁架台上,使摆球自由下垂，制成一个单摆。

（3）用刻度尺测量单摆的摆长（摆线静止时从悬点到错误!球心间的距离)。

（4）把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于等于错误!5°,再释放小球。

当摆球摆动稳定以后,过错误!最低点位置时,用秒表开始计时，测量单摆全振动30次（或50次）的时间,求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期.
（5）改变摆长,反复测量几次，将数据填入表格.
课堂任务测量过程·获取数据
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”.
活动1：本实验的研究对象是谁?要得到什么数据？
提示：本实验的研究对象是单摆，通过测量其周期与摆长从而得到当地的重力加速度。

活动2：如何制做如图甲所示的单摆？
提示：取约1 m长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。

活动3：怎样测量摆长？
提示:从悬点到球心的距离是摆长。

用米尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D,则单摆的摆长l＝L＋错误!。

活动4:怎样测量周期?
提示：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于等于5°),然后释放小球，记下单摆全振动30次或50次的总时间，算出全振动一次的时间，即为单摆的振动周期.反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。

活动5：秒表怎么读数？图丙的读数是多少？
提示：所测时间超过半分钟时,半分钟的整数倍部分由分针读出，不足半分钟的部分由秒针读出，总时间为两针示数之和。

如图乙所示，小圆刻度盘上分针所指示的刻度数值超过了1。

5 min，指针在1。

5 min和2 min之间，其分针指示时间数可记为t1＝1。

5 min，而大圆刻度盘上秒针所指示的刻度线为21.4，故秒针所测得的数值为t2＝21.4 s，所测时间读数为:t＝t1＋t2＝1 min 30 s＋21。

4 s＝1 min 51。

4 s。

图丙的读数是2 min 7。

6 s。

活动6：本实验中有哪些注意事项?
提示：（1)选择摆线时要选用细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右；小球应选用密度较大、直径较小(最好不超过2 cm)的金属球;
（2）悬点要固定,单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上,应夹紧在铁夹中；
（3）小球摆动时控制摆线偏离竖直方向的摆角不超过5°；
(4）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆；
(5）摆长l为悬点到球心的距离;
(6)测单摆周期时，应从摆球通过平衡位置开始计时，并且采用倒数到0开始计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2……,在数“0"的同时按下表开始计时计数。

课堂任务分析数据·得出结论
活动1:分析数据有哪些方法？
提示：(1)平均值法:根据公式g＝错误!,将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g,然后取平均值。

（2)图象法：作出T2。

l图象，由T2＝错误!可知T2。

l图线是一条过原点的直线,其斜率k＝错误!,求出k,可得g＝错误!.
活动2：图象法分析有什么优点?
提示：图象法的优点：除了简化计算外，还可以修正摆长测量引起的误差。

如果l记录错误，比如说把它记为了摆线长（少加小球半径）或记为了摆线长加球的直径(即多加半径），若此时还以l作横坐标的话直线将不通过原点。

比如若漏加小球半径r，T2＝错误!的公式应修正为T2＝错误!,即图中的①，若多加半径r，则为图中的②.由数学知识可知将图象左右平移，k不变，故g不变。

通过作图象来计算g，实验误差主要来自于时间（周期T)的测量。

活动3:实验中有哪些误差？分别来源于哪里？怎么减小这些实验误差？
提示：(1）本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等。

(2）本实验的偶然误差主要来自于时间(即单摆周期）和摆长的测量。

要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法,不能多记或漏记振动次数。

本实验中在长度（摆线长、摆球的直径）的测量时,读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米);在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可。

为了减小偶数误差，需进行多次测量后取平均值。

课堂任务典例探究·提升能力
例一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤:
A．测摆长l：用米尺量出摆线的长度。

B．测周期T：将摆球拉起,然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T＝错误!。

C．将所测得的l和T代入单摆的周期公式T＝2π 错误!，算出g,将它作为实验的最后结果写入报告中。

指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正。

____________________________________________________________;
____________________________________________________________；
____________________________________________________________。

［规范解答] 该实验的原理为当单摆摆角很小（≤5°）时，可把其振动看成是简谐运动，其固有周期T＝2π错误!，因此g＝错误!，所以只要测出l和单摆的周期T，即可得到g值.该题步骤中遗漏或错误的地方为：A。

要用游标卡尺测摆球的直径d，摆长l应等于摆线长加上错误!；B。

T＝错误!；C。

应改变摆长,重做几次实验，得出多个g值，然后取g的平均值作为实验的最后结果。

[完美答案］见规范解答
用单摆测重力加速度的实验操作中的注意事项
(1)小球摆动时，摆角应小于等于5°,且应在同一竖直面内摆动；
（2）计算单摆的全振动次数时,应以摆球通过平衡位置开始计时,摆球从同一侧通过平衡位置时记为一次全振动；
(3）测摆长应测出摆球重心到悬点的距离，要用游标卡尺测摆球直径d，摆长l等于悬线长加错误!；
(4）应改变摆长，重做几次实验，取多次测出的重力加速度的平均值作为最终结果。

错误!某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T,画出L。

T2图线，然后在图线上选取A、B两个点,坐标如图所示.他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________。

请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(填“偏大"“偏小”或“相同”）.
答案错误!相同
解析设A、B点所测摆长分别为L A和L B，球心到重心的距离为L′,所以A、B两处的实际摆长分别为L A＋L′和L B＋L′.
根据周期公式T＝2π错误!得l＝错误!
则L A＋L′＝错误!①
L B＋L′＝错误!②
②－①得L B－L A＝错误!－错误!＝错误!
所以g＝错误!。

从上式可以看出，最终的结果与重心的位置无关，所以该同学得到的实验结果与摆球重心在球心处的情况相比，将相同。

1．在“用单摆测定重力加速度”时，某同学用同一套实验装置,用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是( )
A．测定周期时，振动次数少数了一次
B．测定周期时，振动次数多数了一次
C．摆球的质量过大
D．计算摆长时,只考虑悬线的长度,没有加上小球的半径
答案B
解析由计算g的公式g＝错误!可知，如果振动次数多数了一次,则T偏小,g就会偏大，A错误，B 正确;摆球的质量过大，不影响单摆的周期与摆长，所以不影响测得的重力加速度，C错误；计算摆长时，没有加上小球的半径，则l偏小，求得的g偏小，D错误。

2．(多选）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是（)
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时,用此时间间隔作为单摆振动的周期
答案AC
解析适当加长摆线有利于摆长的测量，使相对误差减小,另外有利于控制摆角不过大，A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，若偏角太大，单摆的运动就不能看做简谐运动，C正确；经过一次全振动后停止计时,所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，D错误。

3．在“用单摆测定重力加速度”的实验中,实际上要改变摆长，重做几次实验，进行多次测量，再求g的平均值。

下表是甲、乙两个同学设计的记录计算表,你认为正确的是（）
A．只能是甲B．只能是乙
C．甲、乙均可D．甲、乙均不可
答案B
解析一个摆长对应着一个周期，不同摆长或不同的周期取平均值没有物理意义。

在一次实验中可以重复测量摆长和周期，但摆长不能变,变了摆长就是另一次实验。

这里因为可以通过摆长改变周期，进而得到重力加速度，同一个摆长只需做一组实验即可。

故只有乙同学设计的表是正确的，B正确。

4．在“用单摆测定重力加速度"的实验中，供选用的器材和操作有：
A．带夹子的铁架台;B.带小孔的实心木球;C。

带小孔的实心钢球；D.秒表；E.长约1 m的细线；F.长约10 cm的细线；G。

毫米刻度的米尺；H.游标卡尺；I.螺旋测微器；J.天平；K。

为便于改变摆长，可将摆线的一头绕在铁架台上的圆杆上以代替铁夹;L。

摆线上端固定,即用铁夹夹紧.
为使实验误差较小,应选用的器材和操作有________________.
答案ACDEGHL
解析单摆振动时，要求空气阻力远小于摆球的重力,这样，在摆球外形一样大小时，摆球密度越大，越符合这种要求,故选用小钢球而不选木球；又因为要求单摆接近理想模型，即用无质量不可伸缩的线拴一质点，所以线的长度应远大于摆球直径，且长线有利于控制摆角不过大，故选长1 m的细线，而不用长0.1 m的细线；实验过程中要用铁夹夹紧摆线上端进行固定,以保证摆动时摆长不变；实验过程中要测量摆长和周期,摆长等于摆线长与小球半径之和，故还需选用毫米刻度的米尺、游标卡尺和秒表。

应选用A、C、D、E、G、H、L。

5．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时，且记数为1,到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得
悬挂摆球后的摆线长为l ，再用游标卡尺测得摆球的直径为d 。

（1）该单摆的摆长为________。

(2)该单摆的周期为________。

（3）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g ＝________。

（4）实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的________。

A ．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B ．把n 次摆动的时间误记为（n ＋1)次摆动的时间
C ．以摆线长作为摆长来计算
D ．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
答案 (1）l ＋错误! (2)错误!
(3）错误! (4)BD
解析 (1)单摆的摆长为悬点到摆球重心的距离，即为l ＋错误!.
(2）到第n 次经过最低点所用的时间内的周期数为n －12，该单摆的周期为T ＝2t
n －1。

（3)由单摆周期公式，得T ＝2π 错误!，联立解得g ＝错误!.
(4）若单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，测量的周期增大，则t 增大，由此可知,测得的重力加速度的值偏小,A 错误；若把n 次摆动的时间误记为（n ＋1)次摆动的时间，由g ＝错误!可知测得的重力加速度的值偏大,B 正确；若以摆线长作为摆长来计算，由g ＝错误!可知测得的重力加速度的值偏小，C 错误;若以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，由g ＝错误!可知测得的重力加速度的值偏大,D 正确。

6．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时,用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________。

若已知摆球直径为2。

00 cm,让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________ m 。

若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________ s ，单摆摆动周期是________ s.
为了提高测量精度，需多次改变l值,并测得相应的T值。

现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上,即图丙中用“·"表示的点，则:
(1）单摆做简谐运动应满足的条件是__________________。

(2）试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________ m/s2。

（结果取两位有效数字)
答案错误!0。

8750 75.2 1.88
(1）单摆的最大偏角θ≤5°
(2）图见解析9。

9(或9.8)
解析由T＝2π错误!，可知g＝错误!.
由题图甲可知：摆长l＝（88.50－1。

00) cm＝87。

50 cm＝0.8750 m。

秒表的读数t＝60 s＋15。

2 s＝75。

2 s，所以T＝错误!＝1.88 s。

（1)单摆做简谐运动的条件是单摆的最大偏角θ≤5°。

(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧(如图),则直线斜率k＝错误!。

由g＝错误!＝错误!，可得g＝9。

9 m/s2(结果为9。

8 m/s2也正确)。

7．在“用单摆测定重力加速度"的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式可得到g＝错误!。

只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图象，就可以求出当地的重力加速度。

理论上T2.l图象是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图象如图所示。

（1）造成图象不过坐标原点的原因可能是________________________.
(2）由图象求出的重力加速度g＝________ m/s2.（取π2＝9。

87)
答案(1)测摆长时漏掉了摆球半径（2）9.87
解析（1)既然所画T2.l图象与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，原因可能是测摆长时漏掉了摆球半径。

（2)图象的斜率k＝错误!＝4,则g＝错误!＝9。

87 m/s2。

8．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2.l 图象，如图甲所示.去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”）。

另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比错误!＝________。

答案B错误!
解析由单摆的周期公式T＝2π错误!得T2＝错误!l，即T2。

l图象的斜率k＝错误!，重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大,所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是B；从题图乙可以得出：T b＝1.5T a,由单摆的周期公式得:T a＝2π错误!,T b＝2π 错误!,联立解得：错误!＝错误!。

9．根据单摆周期公式T＝2π 错误!，可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.
（1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________ mm.
（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线偏离平衡位置有较大的角度d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度大于5度，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5度，释放摆球,当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时,记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝错误!
答案(1)18.6 (2)abe
解析(1)根据游标卡尺读数规则，游标卡尺的读数：18 mm＋6×0。

1 mm＝18。

6 mm。

（2）摆线要选择细些的,可减小其自身重力和空气阻力对实验的影响，选择伸缩性小些的，保证摆长不变，并且尽可能长一些，使在合适的振幅下，摆角较小，故a正确；摆球尽量选择质量大些、体积小些的，可减小空气阻力的影响，b正确；在最大摆角不大于5°时,单摆的周期与摆角和振幅的大小无关,c错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°,在摆球通过平衡位置的同时开始计时，测量单摆做50次全振动所用的时间Δt,则单摆周期T＝错误!，d错误，e正确。

10．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知）且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。

（1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时数“1”，当摆
球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，按表停止计时，读出这段时间t ，则该单摆的周期为( )
A.错误! B 。

错误! C 。

错误! D 。

错误!
（2)如果实验中所得到的T 2­L 关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a 、b 、c 中的________.
(3）由图象可知，小筒的深度h ＝________ m ；当地重力加速度g ＝________ m/s 2。

答案 (1）A （2）a (3）0。

3 9.86
解析 （1)这段时间t 含有58个“半周期"，即29个周期,则该单摆的周期为错误!，A 正确.
（2)摆线在筒内部分的长度为h ，由T ＝2π 错误!得,T 2＝错误!L ＋错误!h ，可知T 2­L 的关系图象为a 。

（3）将T 2＝0,L ＝－30 cm 代入T 2＝4π2g
L ＋错误!h 可得：h ＝30 cm ＝0。

3 m ，将T 2＝1。

20 s 2，L ＝0，h ＝0。

3 m 代入T 2＝错误!L ＋错误!h 可求得：g ＝π2 m/s 2≈9.86 m/s 2。