课件3：22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质

y a( x 2)2 4
由已知的抛物线过（0，0）点
所求抛物线为：y (x 2)2 4
解：不能
•设
BC a
,则
MC 2 a 2
点D在抛物线y (x 2)2 4上
当x 2 a 时 2
y a2 4 4
当周长 8dm时CD 1 (8 2a) 4 a 2
a2 4 4 a 4
化为 y a x h2 k 的形式。 2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；
当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当
x b 时，函数有最小值，
2a
y最小＝
4ac 4a
b2
如果a＜0，当
,
x
b 时，函数有最大值，
2a
y最大＝
4ac 4a
b
2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x b 2a
时，y随x的增大而增大；
当x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当 x b 2a
值 为( 0 )
4.已 知 二 次 函 数y ax2 bx c的 图 象 与
x轴 交 于(
x1
,0
)(
x2
,0
)两
点
， 2.5
且0
x1
1,
1
x2
2,与y轴 交 于 点( 0,22 ).下 列 结 论 ： y1.5
( 1 )2a b 1
1
( 2 )3a b 0
0.5
-4
-3
-2
-1
( 3 )a b 2
a x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b
2
2a
4ac b2 4a2
a
x
b
2
2a
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 4ac b2
2a
,
4a
，对称轴是直线
x b 。
2a
3． y ax2 bx c 图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把 y ax2 bx c
时，y随x的增大而减小；
当 x 2ba时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点
①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标为 （0，c） ②抛物线 y ax2 bx c 与x轴的交点坐标为 x1, 0, x2 , 0，其中 x1 , x2为方程 ax2 bx c 0 的两实数根
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵 坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0， 故a－b＋c＜0．
2.分 别 在 下 列 范 围 内 求 函 数y x 2 2 x 3 的最大值和最小值 ( 1 )0 x 2 ( 2 )2 x 3
3.抛 物 线y ax2 bx c( a 0 )的 对 称 轴 是x 2,且 经 过 点P( 3,0 ),则a b c的
- 0.5
11
22
3x
( 4 )a 1其 中 正 确
1-1
- 1.5
的 个 数 为( B )
A.1 B .2
C .3
2-2
- 2.5
D-3 .4
- 3.5
(1)因为
b 1 2a
所以 2a b 0
(2)因为 (3)因为
2a b 0 a 0 所以 3a b 0 x 1时，a b c 0 c 2
全 相 同 ， 又 抛 物 线 过 点 M ( 0,2 )， 求
此抛物线的解析式
y 1 x2 4x 2或y 1 x2 4x 2
2
2
7.二 次 函 数y m x2 4m的 顶 点 坐 标 为( 0,2 )， 矩 形ABCD的 顶 点B ,C在x轴 上 ，A, D在 抛 物 线 上 ， 矩 形ABCD在 抛 物 线 与x轴 所 围 成 的 图形内 ( 1 )求 二 次 函 数 的 解 析 式 ( 2 )设 点A的 坐 标 为( x , y )， 试 求 矩 形ABCD的 周 长P关 于 自 变 量x的 函 数 解 析 式 ， 并 求 出 x 的取值范围 ( 3 )是 否 存 在 这 样 的 矩 形ABCD， 使 它 的 周 长 为9？ 试 证 明 你 的 结 论
分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)， 需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合 的作用．
判断a的符号 解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以
b 2a
0，
而a＜0，故b＞0；
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是 (0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以
b2 4ac 0 。
4ac b2 0，故
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，且a＜0，
所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为 正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，
所以 0 02 k 4 0 k 7 ，所以k＝－7，所
以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即
0
②
由②解方程得
m1
1 2
,
m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x2
2
1 2
x
3
1 2
2
,
即y 1 x2 x 1
2
2
。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相等，则
形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴
有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
例3 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判 断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物
线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
x
b 2a
，
故 ①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点
(1)
y 1 x2 2 2
(2) p x2 4x 4
(3) 不存在，理由如下：
x2 4x 4 9
x2 4x 5 0
42 4 1 5 4 0
所以不存在这样的矩形
第 二 十 二 章

二 次
函
数
b
k 4
0
2a
2 1
，所以k＝－4，
所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0，整理得
4a
4 1
k 2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 ，6
所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。
第
二
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c
十 二
章
的图象和性质
二 次
函
数
• 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要 在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落 在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的 矩形铁皮周长能否等于8dm？
解：设所求抛物线的解析式为
(b)问 ： 给 出 四 个 结 论 ：
y
(1)abc 0(2)2a b 0
2
(3)a c 1(4)a 1
其中正确结论的序号
是 _(3_)_(4_) __
1
x
1
6.已 知 抛 物 线y ax2 bx c的 顶 点 在
抛 物 线y 3 x 2上 ， 并 且 它 与 抛 物 8
线y 1 x 2的 开 口 方 向 和 开 口 大 小 完 2
(7)抛物线 y ax2 bx c 与x轴的交点情况可 由对应的一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的判别式判定：
① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
例1. 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
所以 a b 2
(4)因为 把x=-1，-2，-3分别代入比较
5.二 次 函 数y ax2 bx c的 图 象 开 口 向 上 ，
图象 经过 点( 1,2 )(1,0 )且 与y轴相 交于 负半 轴
( a )问：给出四个结论(： 1 )a 0( 2 )b 0( 3 )c 0
( 4 )a b c 0其中正确结论的序号是_(_1_)(_4)__
所以截下的矩形铁皮周长不能等于8dm。
．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k 的方法 和我们前面学过的用配方法解二次方程 类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
cபைடு நூலகம்
a
x2
b a
x
c a
④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛 物线的顶点在坐标轴上。
例2 已知二次函数
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的
值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4 m 1