高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教师用书 文 新人教版(

象与性质教师用书文新人教版
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的图象与性质教师用书文新人教版
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象中,五个关键点是:(0,0)，（π
2
，1)，（π,0），（错误!，
－1)，(2π,0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π］的图象中,五个关键点是：（0，1），（错误!，0)，（π，－1),(错误!，0），（2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域R R
｛x｜x∈R且x≠
错误!＋kπ,k∈Z}
值域[－1，1］[－1,1]R
单调性在[－错误!＋2kπ，
错误!＋
2kπ](k∈Z）上递
增；
在［
π
2
＋2kπ，错误!
＋2kπ](k∈Z）上
递减
在[－π＋2kπ，
2kπ](k∈Z)上递
增；
在［2kπ,π＋
2kπ］（k∈Z)上递
减
在(－错误!＋kπ，
错误!＋kπ）
（k∈Z）上递增
最值当x＝错误!＋2kπ
（k∈Z）时，y max＝
当x＝2kπ(k∈Z)
时，y max＝1；
【知识拓展】
1．对称与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．
（2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x）＝A sin（ωx＋φ)(A,ω≠0），则
(1)f(x）为偶函数的充要条件是φ＝错误!＋kπ（k∈Z）；
(2）f(x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z)．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
(1）y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( ×)
（2)常数函数f(x）＝a是周期函数，它没有最小正周期．（√）
（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)
(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。

( ×）
(5)y＝sin |x｜是偶函数．（√）
（6)若sin x〉错误!，则x〉错误!。

（×）
1．函数f（x)＝cos（2x－错误!）的最小正周期是( ）
A.错误!B．π
C．2π D．4π
答案B
解析最小正周期为T＝错误!＝错误!＝π.故选B。

2．(教材改编)函数f（x）＝3sin(2x－错误!)在区间［0，错误!]上的值域为（）
A．［－错误!,错误!] B．[－错误!，3]
C．［－错误!，错误!] D．［－错误!,3]
答案B
解析当x∈[0,错误!]时，2x－错误!∈［－错误!,错误!],
sin(2x－错误!)∈[－错误!，1]，
故3sin（2x－错误!)∈[－错误!，3]，
即f(x)的值域为［－错误!，3］．
3．函数y＝tan 2x的定义域是（）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案D
解析由2x≠kπ＋错误!，k∈Z,得x≠错误!＋错误!，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为错误!.
4．(2016·开封模拟)已知函数f(x)＝4sin（错误!－2x)，x∈[－π，0］，则f(x)的单调递减区间是( )
A．[－错误!π，－错误!]
B．［－π,－错误!]
C．［－π,－错误!π],[－错误!，0]
D．［－π，－错误!π］，［－错误!,0]
答案C
解析f（x）＝4sin(π
3
－2x）＝－4sin(2x－
π
3
）．
由－错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ(k∈Z)，得
－错误!＋kπ≤x≤错误!π＋kπ(k∈Z）．
所以函数f（x）的递减区间是［－错误!＋kπ，错误!π＋kπ］(k∈Z）．因为x∈［－π，0]，
所以函数f（x)的递减区间是［－π，－
7
12
π］,[－错误!，0]．
5．y＝sin(x－错误!)的图象的对称中心是____________．答案（kπ＋错误!,0)，k∈Z
解析令x－错误!＝kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ＋π
4
（k∈Z)，
∴y＝sin（x－错误!）的图象的对称中心是(kπ＋错误!，0)，k∈Z.
题型一三角函数的定义域和值域
例1 (1）函数f(x）＝－2tan(2x＋错误!)的定义域是____________．
（2)（2017·郑州月考)已知函数f(x)＝sin(x＋π
6
），其中x∈[－错误!,a]，若f(x)的值域是
[－1
2
，1]，则实数a的取值范围是________．
答案（1）｛x｜x≠错误!＋错误!，k∈Z｝（2)［错误!，π］
解析(1)由2x＋错误!≠错误!＋kπ,k∈Z，
得x≠错误!＋错误!，k∈Z，
所以f（x）的定义域为｛x｜x≠错误!＋错误!，k∈Z｝．
(2）∵x∈[－错误!,a],
∴x＋错误!∈［－错误!,a＋错误!]，
∵x＋错误!∈［－错误!，错误!］时，f(x)的值域为［－错误!，1］，∴由函数的图象知错误!≤a＋错误!≤错误!，
∴错误!≤a≤π.
思维升华（1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．
(1）函数y＝lg（sin x)＋错误!的定义域为。

(2)函数y＝2sin(错误!－错误!）（0≤x≤9）的最大值与最小值的和为__________．
答案(1）错误!
(2）2－错误!
解析(1）要使函数有意义必须有错误!
即错误!解得错误!
∴2kπ＜x≤π
3
＋2kπ（k∈Z),
∴函数的定义域为错误!。

（2）∵0≤x≤9,∴－错误!≤错误!－错误!≤错误!,
∴－错误!≤sin（错误!－错误!)≤1，
故－3≤2sin(错误!－错误!）≤2.
即函数y＝2sin（错误!－错误!)（0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－错误!。

∴最大值与最小值的和为2－ 3.
题型二三角函数的单调性
例2 (1）函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间是( )
A.错误!(k∈Z）
B。

错误!（k∈Z）
C。

错误!（k∈Z)
D。

错误!（k∈Z）
(2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin错误!在错误!上单调递减,则ω的取值范围是________．
答案(1）B （2）错误!
解析(1)由kπ－错误!＜2x－错误!＜kπ＋错误!（k∈Z），
得错误!－错误!＜x＜错误!＋错误!(k∈Z),
所以函数f（x)＝tan错误!的单调递增区间为
错误!（k∈Z），故选B。

(2)由错误!＜x＜π,ω＞0，得
错误!＋错误!＜ωx＋错误!＜ωπ＋错误!，
又y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋错误!,2kπ＋错误!］,k∈Z，
所以错误!k∈Z，
解得4k＋错误!≤ω≤2k＋错误!，k∈Z。

又由4k＋错误!－（2k＋错误!）≤0，k∈Z且2k＋错误!〉0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[错误!，错误!］．
引申探究
本例(2）中,若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋错误!）在(错误!，π）上单调递增，则ω的取值范围是____________．
答案[错误!，错误!]
解析函数y＝cos x的单调递增区间为［－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则错误!k∈Z，
解得4k－错误!≤ω≤2k－错误!,k∈Z，
又由4k－错误!－错误!≤0，k∈Z且2k－错误!＞0，k∈Z,
得k＝1，所以ω∈错误!.
思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减"；②求形如y＝A sin（ωx＋φ)或y＝
A cos(ωx＋φ）(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1）函数f(x）＝sin错误!的单调减区间为________．
（2）若函数f（x）＝sin ωx(ω＞0）在区间[0，错误!］上单调递增，在区间［错误!，错误!］上单调递减，则ω等于（）
A.错误!
B.错误!
C．2 D．3
答案（1）错误!,k∈Z(2)B
解析（1)已知函数可化为f(x)＝－sin错误!，
欲求函数的单调减区间,只需求f(x）＝sin错误!的单调增区间．
由2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z，
得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为错误!（k∈Z）．
(2）∵f(x)＝sin ωx(ω＞0）过原点，
∴当0≤ωx≤π
2
，即0≤x≤错误!时，
y＝sin ωx是增函数；
当错误!≤ωx≤错误!,即错误!≤x≤错误!时,
y＝sin ωx是减函数．
由f（x)＝sin ωx(ω＞0)在错误!上单调递增,
在错误!上单调递减，知错误!＝错误!，
∴ω＝错误!.
题型三三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3 (1)（2016·北京东城区模拟)函数y＝错误!sin 2x＋错误!cos2x－错误!的最小正周期等于（）
A．π B．2π C。

错误! D.错误!
(2）若函数f（x)＝2tan(kx＋错误!）的最小正周期T满足1〈T<2，则自然数k的值为________．答案（1)A (2)2或3
解析（1)y＝错误!sin 2x＋错误!×错误!－错误!＝错误!sin 2x＋错误!cos 2x＝sin(2x＋错误!)，所以函数的最小正周期T＝错误!＝错误!＝π，故选A。

(2）由题意得，1〈π
k
〈2，
∴k<π<2k，即π
2
<k<π，
又k∈Z,∴k＝2或3.
命题点2 对称性
例4 对于函数f(x）＝sin错误!，下列说法正确的是( )
A．f(x）的周期为π，且在［0，1］上单调递增
B．f（x)的周期为2，且在[0,1］上单调递减
C．f（x)的周期为π，且在［－1,0]上单调递增
D．f(x)的周期为2,且在[－1,0］上单调递减
答案B
解析因为f（x)＝sin错误!＝cos πx，则周期T＝2,在[0,1]上单调递减，故选B。

命题点3 对称性的应用
例5 (1)已知函数y＝2sin错误!的图象关于点P（x0，0)对称，若x0∈错误!，则x0＝________。

（2）若函数y＝cos（ωx＋错误!）（ω∈N*）图象的一个对称中心是(错误!，0），则ω的最小值为（）
A．1 B．2
C．4 D．8
答案（1）－错误!（2)B
解析（1)由题意可知2x0＋错误!＝kπ，k∈Z，
故x0＝错误!－错误!，k∈Z，
又x0∈错误!，∴－错误!≤k≤错误!,k∈Z,
∴k＝0，则x0＝－错误!.
(2）由题意知错误!π＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z）,又ω∈N＊，∴ωmin＝2.
思维升华（1）对于函数y＝A sin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0，0)是不是函数的对称轴或对称中心
时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
（2)求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝A sin（ωx＋φ）和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为错误!，y＝tan(ωx＋φ）的最小正周期为错误!.
（1）(2016·朝阳模拟）已知函数f（x）＝2sin（错误!x＋错误!)，若对任意的实数x，总有f(x1）≤f（x）≤f(x2），则|x1－x2|的最小值是（)
A．2 B．4
C．π D．2π
（2）如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点（错误!，0）中心对称，那么|φ｜的最小值为（）
A.错误!
B.错误!
C.π
3
D。

错误!
答案(1）A （2)A
解析（1）由题意可得|x1－x2｜的最小值为半个周期，
即错误!＝错误!＝2.
(2）由题意得3cos（2×错误!＋φ)＝3cos(错误!＋φ＋2π)＝3cos(错误!＋φ）＝0，
∴错误!＋φ＝kπ＋错误!,k∈Z,
∴φ＝kπ－π
6
，k∈Z，取k＝0，得｜φ｜的最小值为错误!.
5．三角函数的性质
考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
典例（1）（2015·课标全国Ⅰ）函数f(x)＝cos（ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（)
A。

错误!，k∈Z
B。

错误!，k∈Z
C.错误!，k∈Z
D.错误!，k∈Z
（2）已知函数f(x）＝2cos（ωx＋φ）＋b对任意实数x有f(x＋错误!）＝f(－x)恒成立,且f（错误!）＝1,则实数b的值为( ）
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
（3）已知函数f（x)＝2sin ωx（ω＞0）在区间错误!上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
解析（1)由图象知,周期T＝2×错误!＝2，
∴错误!＝2，∴ω＝π.
由π×错误!＋φ＝错误!＋2kπ,k∈Z,不妨取φ＝错误!,
∴f(x)＝cos错误!。

由2kπ〈πx＋错误!〈2kπ＋π，k∈Z,得2k－错误!〈x〈2k＋错误!，k∈Z，∴f（x)的单调递减区间为错误!，k∈Z。

故选D。

（2)由f（x＋错误!）＝f(－x)可知函数f（x）＝2cos(ωx＋φ）＋b关于直线x＝错误!对称，又函数f（x）在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1,∴b＝－1或b＝3.
(3)∵ω＞0，－错误!≤x≤错误!，
∴－错误!≤ωx≤错误!.
由已知条件知－错误!≤－错误!，∴ω≥错误!。

答案(1)D （2）C (3)3 2
1．已知函数f(x)＝sin（ωx＋错误!) (ω>0）的最小正周期为π，则f（错误!)等于（) A．1 B.错误! C．－1 D．－错误!
答案A
解析∵T＝π，∴ω＝2，
∴f(错误!）＝sin（2×错误!＋错误!）＝sin 错误!＝1。

2．若函数f(x)＝－cos 2x,则f(x)的一个递增区间为( ）
A．（－错误!,0) B．(0，错误!)
C．（错误!，错误!) D．（错误!，π)
答案B
解析由f(x)＝－cos 2x知递增区间为［kπ,kπ＋错误!］，k∈Z，故只有B项满足．
3．关于函数y＝tan（2x－错误!),下列说法正确的是( ）
A．是奇函数
B．在区间(0，错误!）上单调递减
C．(错误!，0)为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
答案C
解析函数y＝tan(2x－错误!）是非奇非偶函数,A错误；在区间（0，错误!）上单调递增，B 错误；最小正周期为错误!，D错误．
∵当x＝错误!时，tan（2×错误!－错误!）＝0，
∴(错误!，0）为其图象的一个对称中心，故选C.
4．（2016·潍坊模拟）已知函数f(x)＝2sin(ωx－错误!)＋1（x∈R）的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈（1,2)，则函数f(x）的最小正周期为（）
A。

3π
5
B.错误!
C。

错误! D.错误!
答案B
解析由函数f(x）＝2sin(ωx－错误!）＋1 （x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－错误!＝kπ＋错误!，k∈Z，∴ω＝k＋错误!，∴ω＝错误!，从而得函数f(x)的最小正周期为错误!＝错误!.
5．已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ)(｜φ｜<π)，若f(错误!)＝－2，则f(x）的一个单调递减区间是( )
A．[－错误!,错误!] B．[错误!,错误!]
C．[－错误!，错误!］D．[错误!，错误!]
答案C
解析由f（错误!)＝－2，得
f（错误!）＝－2sin(2×错误!＋φ)＝－2sin(错误!＋φ）＝－2，
所以sin（π
4
＋φ）＝1.
因为｜φ|〈π，所以φ＝π4。

由2kπ－π
2
≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z，
解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z.
当k＝0时，－错误!≤x≤错误!,故选C.
6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω〉0且|φ｜〈错误!）在区间[错误!，错误!］上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f（错误!)等于( ）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D．1
答案C
解析由题意得函数f（x)的周期T＝2(错误!－错误!)＝π,所以ω＝2，此时f(x)＝sin（2x ＋φ），将点（错误!，1)代入上式得sin（错误!＋φ)＝1 （|φ｜〈错误!)，所以φ＝错误!，所以f（x)＝sin（2x＋错误!），
于是f(错误!)＝sin（错误!＋错误!)＝cos 错误!＝错误!.
7．函数y＝错误!的定义域为______________．
答案［2kπ＋错误!，2kπ＋错误!π]，k∈Z
解析由2sin x－1≥0，得sin x≥错误!，
∴2kπ＋错误!≤x≤2kπ＋错误!π，k∈Z.
8．函数y＝cos2x＋sin x(｜x｜≤错误!)的最小值为___________________．
答案错误!
解析令t＝sin x,∵｜x｜≤错误!，
∴t∈错误!。

∴y＝－t2＋t＋1＝－错误!2＋错误!，
∴当t＝－错误!时，y min＝错误!。

9．函数y ＝cos （错误!－2x )的单调减区间为______________．
答案 ［k π＋错误!,k π＋错误!](k ∈Z ）
解析 由y ＝cos （错误!－2x ）＝cos(2x －错误!),
得2k π≤2x －错误!≤2k π＋π （k ∈Z ），
解得k π＋错误!≤x ≤k π＋错误! （k ∈Z )，
所以函数的单调减区间为［k π＋π8
，k π＋错误!]（k ∈Z ）． 10．(2016·威海模拟)若f (x ）＝2sin ωx ＋1 （ω>0)在区间［－错误!，错误!]上是增函数,则ω的取值范围是__________．
答案 （0，错误!］
解析 方法一 由2k π－π2
≤ωx ≤2k π＋错误!，k ∈Z ， 得f （x )的增区间是［错误!－错误!，错误!＋错误!］，k ∈Z .
因为f (x ）在[－错误!，错误!］上是增函数，
所以[－错误!，错误!］⊆［－错误!,错误!］．
所以－π2
≥－错误!且错误!≤错误!,所以ω∈(0,错误!］． 方法二 因为x ∈［－错误!，错误!]，ω>0.
所以ωx ∈[－错误!，错误!］，
又f (x ）在区间[－错误!，错误!]上是增函数，
所以［－错误!，错误!］⊆［－错误!,错误!]，
则错误!又ω>0，得0<ω≤错误!。

11．设函数f (x )＝sin 错误!（－π<φ〈0)，y ＝f (x ）图象的一条对称轴是直线x ＝错误!.
(1）求φ；
(2)求函数y ＝f （x ）的单调递增区间．
解 （1)令2×错误!＋φ＝k π＋错误!,k ∈Z ,
∴φ＝k π＋π4
，k ∈Z ， 又－π<φ〈0,则φ＝－错误!。

(2）由（1）得f (x ）＝sin 错误!，
令－错误!＋2k π≤2x －错误!≤错误!＋2k π，k ∈Z ，
可解得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z，
因此y＝f（x）的单调递增区间为错误!,k∈Z。

12．（2015·北京）已知函数f(x）＝sin x－2错误!sin2错误!.
（1)求f(x)的最小正周期;
（2）求f（x）在区间错误!上的最小值．
解(1）因为f(x）＝sin x＋3cos x－错误!
＝2sin错误!－错误!，
所以f(x)的最小正周期为2π。

（2)因为0≤x≤错误!，所以错误!≤x＋错误!≤π.
当x＋错误!＝π，即x＝错误!时，f（x）取得最小值．
所以f（x）在区间错误!上的最小值为f错误!＝－错误!。

*13.已知a〉0,函数f（x)＝－2a sin错误!＋2a＋b，当x∈错误!时，－5≤f（x)≤1.（1）求常数a，b的值;
(2）设g(x）＝f错误!且lg g（x)>0，求g(x)的单调区间．
解（1)∵x∈错误!,∴2x＋错误!∈错误!,
∴sin错误!∈错误!,
∴－2a sin错误!∈[－2a，a],
∴f(x）∈［b,3a＋b］，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2,b＝－5.
(2)由（1）得f(x）＝－4sin错误!－1，
g(x)＝f错误!＝－4sin错误!－1
＝4sin错误!－1，
又由lg g（x）〉0，得g(x）〉1，
∴4sin错误!－1〉1,∴sin错误!〉错误!,
∴2kπ＋错误!<2x＋错误!<2kπ＋错误!,k∈Z，
其中当2kπ＋π
6
〈2x＋错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ〈x≤kπ＋错误!,k∈Z,
∴g（x）的单调增区间为错误!，k∈Z。

又∵当2kπ＋错误!<2x＋错误!〈2kπ＋错误!，k∈Z时，
g（x)单调递减，即kπ＋错误!<x<kπ＋错误!，k∈Z。

∴g(x)的单调减区间为错误!，k∈Z。