2020最新高考数学模拟测试卷含答案

2020最新⾼考数学模拟测试卷含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题
给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．（1）化简?
---160cos 120cos 20cos 20sin 212
得
（）（A ）
-40sin 1
（B ）
-?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1
（2）双曲线8822=-ky kx 的⼀个焦点是（0，－3），则k 的值是
（）（A ）1 （B ）－1
（C ）3
15
（D ）－3
15
（3）已知)(1
x f
y -=
过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称，
则y =g （x ）必过点
（）
（A ）（－1，3）（B ）（5，3）（C ）（－1，1）
（D ）（1，5）
（4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg
（）
（A ）4
π
（B ）－4
π
（C ）4
7π（D ）4
cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合
（）
（A ）}97|{<
（D ）{9}
（⽂）已知两条直线0:,:21=-=y ax l x y l ，其中a 为实数，当这两条直
线的夹⾓
在)12
,0(π内变动时，a 的取值范围是
（）
（A ）（0，1）
（B ）)3,3
3
(
（C ）)3,1( （D ）
)3,1()1,3
3
(
Y 6．半径为2cm 的半圆纸⽚卷成圆锥放在桌⾯上，⼀阵风吹倒它，它的最⾼处距桌⾯（）（A ）4cm （B ）2cm
（C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于
（）
（A ）42-π（B ）2
34π-
（C ）423-π
（D ）4+π
（⽂）函数2
3cos 3cos sin 2-
+
=x x x y 的最⼩正周期为（）
（A ）4
π
（B ）2
π（C ）π（D ）2π
②66
56
46
36
2C C C C +++③726-
④26P 其中正确的结论为
（）
（A ）仅有①（B ）有②和③（C ）仅有②（D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底⾯积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点，
则PA 与BE 所成的⾓为（）
（A ）6
π
（B ）4
π
（C ）3
π
（D ）2
π
10．给出四个函数，分别满⾜①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ?=+
③)()()(y x y x +=? ④)()()(y x y x ωωω?=?⼜给出四个函数的图象
则正确的配匹⽅案是
（）
（A ）①—M ②—N ③—P ④—Q （B ）①—N ②—P
③—M ④—Q
（C ）①—P ②—M ③—N ④—Q （D ）①—Q ②—
M
③—N ④—P
11．P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
为2c ，则21
F PF ?的内切圆的圆⼼横坐标为
（）
（A ）a -
（B ）b -
（C ）c -
（D ）c b a -+
12．某债券市场发⾏的三种值券：甲种⾯值为100元，⼀年到期本利共获103元；⼄种⾯
值为50元，半年期本利共50.9元；丙种⾯值为100元，但买⼊时只付97元，⼀年到
期拿回100元，这三种投资收益⽐例从⼩到⼤排列为
（）
M Q
N
N
（A ）⼄，甲，丙（B ）甲、丙、⼄（C ）甲、
⼄、丙
（D ）丙、甲、⼄
第Ⅱ卷 (⾮选择题)
⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．⼀个球的内接长⽅体的长、宽、⾼分别为1，2，3，则这个球的表⾯积是．
14．若26)1()1(ax x -+展开式中的x 3项的系数为20，则⾮零实数
a = ．
15．△ABC 顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A （－6，8），且△ABC
的重⼼在原点，则过B 、C 两点的直线⽅程为． 16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的⾃然数n ，有
2n
n a t tS +=
成⽴，若t a S n
n n <∞→lim ，则t 的取值范围是．
三、解答题：本⼤题共6⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设复数)23(sin cos 1πθπθ
θ<
<+-=i z 且2
4arg θ
sin 21)
4
cos(2
θ
π
θ--
的值．
18．（理）（本题满分共12分）
已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为
，M
为
棱A 1C 1上的动点．
（Ⅰ）当M 在何处时，BC 1//平⾯MB 1A ，并证明之；
（Ⅱ）在（I ）下，求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的⼤⼩；
（Ⅲ）求B —AB 1M 体积的最⼤值． 18．（⽂）（图同理18，本题满分12分）
已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为
A B
A 1
1
棱A 1C 1的中点
（Ⅰ）求证BC 1//平⾯MB 1A ；
（Ⅱ）求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的正切值；（Ⅲ）求B —AMB 1的体积．
19．（理）（本题满分12分）
设常数,01>>>b a 不等式0)lg(>-x x b a 的解集为M （Ⅰ）当ab =1时，求解集M ；
（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a ，b 应满⾜的关系． 19．（⽂）（本题满分12分）
已知函数)1(log )(x a a x f -= （其中a ＞0，且a ≠1），解关于x 的不等式
)1()1(log 1
->-f
a x a
20．（本题满分12分）
⼀家企业⽣产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进⾏⼀系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x 万件与年促销费⽤t 万元之间满⾜：
3－x 与t +1（t ≥0）成反⽐例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年⽣产该产品的固定投资为3万
t
x x g 2)332(23)(+
+=
时，则当年的产销量相等．（Ⅰ）将2001年的利润y 表⽰为促销费t 万元的函数；
（Ⅱ）该企业2001年的促销费投⼊多少万元时，企业的年利润最⼤？（注：利润=收⼊－⽣产成本－促销费）21．（本题满分12分）
A 、
B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离
是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB
所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建⽴直⾓坐标系．（Ⅰ）试求P 点的轨迹c 的⽅程；（Ⅱ）直线)(0
4R m m y mx ∈=--与点P 所在
曲线c 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的⾯积的最⼤值．
A
22．（本题满分14分）
已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)2
1(-=f 且满⾜x 、y ∈（－1，1）有
)1()()(xy
y x f y f x f ++=+．
（Ⅰ）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（Ⅱ）对数列,12,21
211n
n n x x x x +==+求)(n x f ；（Ⅲ）（理）求证;25
2)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n Λ（⽂）求证
.2)
(1
)(1)(121->+++n x f x f x f Λ
数学试题参考答案
⼀、选择题（理）CBACD DCBCD AB （⽂）CBACD DCBCD AB ⼆、填空题
（13）14π（14）5 （15）084=-+y x （16）),2
2
(3
+∞ 三、解答题 17．解：)2
4(
arg θ
π
θ
π+=∴+=tg z tg z （2分）即
212
1cos 1sin θθθ
θ
tg
tg -+=
- 即
2
12
12
1θ
θθ
tg
tg tg
-+=
即012
22
2
=-+θ
θ
tg
tg
（6分）
212
±-=∴θtg
212
4
32
2
πθ
πtg
Θ
（8分）
)
1(2
2cos )sin (cos 22
2
sin 21)4cos(2
θθθθθπθtg +=+=--∴
2])21(1)21(21[22)2
1221(2
22
2
=------=-+=
θθ
tg tg
即
22
sin 21)
4cos(2
=--θ
π
θ（12分）
A
A 1
G
18．（理）解：（I ）当M 在A 1C 1中点时，BC 1//平⾯MB 1A ∵M 为A 1C 1中点，延长AM 、CC 1，使AM 与CC 1延长线交于N ，则NC 1=C 1C=a
连结NB 1并延长与CB 延长线交于G ，则BG=CB ，NB 1=B 1G （2分）在△CGN 中，BC 1为中位线，BC 1//GN
⼜GN ?平⾯MAB 1，∴BC 1//平⾯MAB 1 （4分）（II ）∵△AGC 中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC ⊥AG ⼜AG ⊥AA 1 A AC AA =I 1
平⾯（6分）
∴∠MAC 为平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成⼆⾯⾓的平⾯⾓ 2
2
1==
∠∴a a MAC tg ∴所求⼆⾯⾓为.2arg tg （8分）（Ⅲ）设动点M 到平⾯A 1ABB 1的距离为h M ．3221232361213131111a a a h a h S V V M M ABB B AB M M AB B =?≤?=?=
=?--
即B —AB 1M 体积最⼤值为.
12
33a 此时M 点与C 1重合．（12
分）
18．（⽂）（Ⅰ）同（理）解答，见上
（Ⅱ）同理科解答：设所求⼆⾯⾓为θ，则2=θtg （Ⅲ）3
224
323213111
a a a V V ABB M AMB
B =??=
=--
19．（理）解：（I ）⾸先,
0>-x x b a 即
x
x b a >即0,11
)
(>>∴>x b
a
b
a x
得由
.1)1
(1
>-∴>-x x x x a
a b a （3
>--x x a a
解得2
51-
51+>x a
2
5
1log +
>∴a x ),2
5
1(log +∞+
=∴a M （6分）
（II ）令x x b a x f -=)(，先证),0()(+∞∈x x f 在时为单调递增函数 )21211
2
2
1
2
2
1
1
()()()(,0x x x x x x x x b b a a b a b a x f x f x x -+-=+--=-+∞<<<Θ
0,,0,,,0112122121
21<-∴<<-<∴<>>>x x x x x x x x
b b b b a a a a x x b a Θ
).
()(21x f x f <∴得证（8分）
欲使解集为（1，+∞），只须f （1）=1即可，即a －b=1，∴a =b+1 （12分） 19．（⽂）解：)1(log )1().1(log )(1 1
a f
a x f
a x a -=-=--由可知
0＜a ＜1 （4分）
∴不等式)0()
1(log )1(log )1()1(log
即为（8
分）
1
0101
110101<<<->-∴x a
a a a a a a a x x x
x ∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1} （12分） 20．解：（I ）由题意得21,0,1 3===+=-k x t t k
x 代⼊得将（2分）
1
23+-
=∴t x
从⽽⽣产成本为3)1
2
3(32++-t 万元，年收⼊为
]2)332(23[)(x
t
x x x xg ++=
（4分）
]3)1
2
3(32[]2)332(23[]3)123(32[)(++--++?=++--=∴t x t x x t x xg y （6分）
)0()
1(235
982≥+++-=
t t t t
∴年利润为y )0()
1(235982
≥+++-=t t t t
（8分）
（II ）y 4216250)1
3221(50)1(235982=-≤+++-=+++-=t t t t t （万元）
当且仅当4271
+y t t t 时即（12分）
∴当促销费定为7万元时，利润最⼤．
21．解（I ）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则A （－4，0），B （4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 （2分）∴2a =10 2c=8 ∴a =5，c=4 ∴P 点轨迹为椭圆19 252
2
=+y x
（4分）
（II ）04=--m y mx 过椭圆右焦点B （4，0）
)
0(19
2541925)4(2
222≠=++=?=+-=m y x m y
x y x x m y Θ
092525)168
1(
9222
=?-+++∴y y m y m
整理得08172)259(22
=-++y m y m
（6分）
2591814259724)(||22
22
122121+??+?
+=-+=-∴m m m y y y y y y 2
2221
90925m m m m +?+=*
（8分）
∵m 为直线的斜率，∴可令m=tg θ代⼊*得 )0sin (|
sin 25cos 9sin 90|sec |25990192590||2
2222222221>?+=+=++=
-θθθθθθθθθθθθθΘtg tg tg tg tg tg tg y y
.4
1524909
16290sin 9sin 1690sin 169sin 902==
≤
+
=
+=
θ
θθ
θ
当且仅当16
9sin sin 9sin 162==
θθθ即即4
3sin =θ时，.4
15||max 21=-y y
().154
1582
1max =??=∴?AEF S （12分）
22．证：（I ）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f
令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数（4分）（II ）1)2 1()(1
-==f x f ，
)(2)()()1()12(
)(2
1n n n n n n
n n
n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=?++=+=+ )}({.2)
()
(1
n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列．
1
x
f （4分）
（III ）（理）)21
2
1211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ
2212)212(21121
111->+-=--=--
-
=--n n n
⽽.22
12)212(252-<+--=++-=++-
n n n n 2
5
2)(1)(1)
(121++->+++
∴
n n x f x f x f n Λ（6
分）
（III ）（⽂）)21
2
1211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ .2212)212(2 1121
111->+-=--=--
-
=--n n n。