第四章：土体中的应力计算

n
cz i hi i 1
O
cz
h1, 1 1h1 h2 , 2 1h1 2h2
z2 n 计算点至天然地坪的土层数量
i 计算点以上各土层的重度（kN / m3）
hi 计算点以上各土层的厚度（m）
z
存在地下水位下的情况
cz 1h1 2h2 3h3
地下水位以上,取天然重度； 地下水位以下,取有效重度。
假定：半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题
1. 基本计算公式
Z 0
dA
O
cz
W cz dA 0
z
z dA cz dA 0
cz z
自重应力随深度而增大，与深度成线性关系。
0
W
cz
cz
z
z
2. 土体成层及有地下水存在时的计算公式
成层土
cz 1h1 2h2 nhn
pmax
2P 3KL
K Be 2
4、基底附加压力计算
上部结构 基础 地基
上部结构与基础荷载之和 P
基底接触压力 p P A
即为与基底接触的地基上净增加的应力p0 ——基底附加应力（压力）或基底净压力
即 p0 p
p0
F A
( G
m )d
如果 G m
增加埋深 d 可以减少 p0
一般 G 20kN / m3 m
e>B/6: 出现拉应力区
pmax计算式推导思路： 设基底接触压力为三角形分布分别
B
建立力和力矩的平衡条件联立求解边缘
压力调整 压力。
Ke x
L
基底 压力
K=B/2-e
合力
3K y pmin 0
与总 荷载
相等
1 P 2 3KLpmax
1
1
P
e
2
3KLpmax
( BK) 2
pmax
2P
2P
pmax 3KL 3(B 2 e)L
孔隙水压力自重应力情况侧限应变条件饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算静水条件地下水位海洋土毛细饱和区偏差应力状态有效应力原理的基本概念饱和土的有效应力原理1饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分和u并且2土的变形与强度都只取决于有效应力zyzxyzyxxzxyzyzxyz有效应力总应力已知或易知孔隙水压测定或算定通常孔隙水压力的作用对土颗粒间摩擦土粒的破碎没有贡献并且水不能承受剪应力因而孔隙水压力对土的强度没有直接的影响
min
P A
1
6e B
矩形面积 单向偏心荷载(讨论)
e<B/6: 梯形
pmax
min
P A
1
6e B
P
B
e
x
L
y
pmax
pmin 0
e=B/6: 三角形 P B
e
x
L
y
pmax
pmin 0
pmax
2
P A
pmax
min
P A
1
6e B
P
土不能承 受拉应力
矩形面积 单向偏心荷载(讨论)
61.56 18.0 79.56(kN / m2 )
至基岩顶面处土的自重应力及其沿深度的分布图如图所示。
自重应力及其沿深度的分布图
1 18.0kN / m3
h1 1.50m ①
2 19.4kN / m3
h2 3.60m
0
27.0
②
3 19.8kN / m3
③h3 1.80m
61.56
3.在某一水平面上：r=0时σz最大；r↑则σz减小
4.在某一圆柱面上：z=0则σz=0；z↑则σz先增加后减小
5.σz 等值线－应力泡
h1, 1 1h1 1h1 h2 , 2 1h1 2h2 1h1 2h2
小结：
h3 , 3 11hh11 2h22h23h33whh3 w
不 h4 ,透14h水11层 h12h22h23h33h3 wh3 1h1 2h2 3sawt hh33 4h4
地下水位以下自重应力的计算：
均质地基
1 (1 2) 2 2
成层地基
习题 某教学大楼工程地质勘察结果：地表为素填
土，1 18.0kN / m3，厚度 h1 1.50m ；第二层 为粉土， 2 19.4kN / m3，厚度 h2 3.6m ；第
三层为中砂，3 19.8kN / m3，厚度 h3 1.80m ；
第四层为强风化岩石。地下水位埋深1.50m。 试计算至基岩顶面处土的自重应力并绘出其
地下水位以上, 取天然重度 地下水位以下, 取有效重度 不透水层层面及其以下,取水土总重 sat
3. 绘自重应力分布图
自重应力随深度而增加，其图形为折线形。 不透水层层面应力有突变，大小等于 whw 。
小结
计算公式
均质地基 成层地基
竖直向：cz z cz W A zA A z
水平向：cx cy K0cz
土力学
第四章 土体中的应力计算
姜海波 水利建筑工程学院
第一节 概述
1、土中应力计算的基本假定和方法
• 强度问题 • 变形问题
应力状态及应力应变关系。
• 自重应力
修建建筑物之前，地基中由土 体本身重量所产生的应力。
• 附加应力
建筑物重量等外荷载在地基中 引起的应力增量。
土中附加应力计算的假定条件：将荷载看成是作用在半空间半无限体的 表面，并假定地基土是均质的、各向同性的弹性体，并采用弹性力学的 有关理论进行计算。
h2 3.60m
0
27.0
②
3 19.8kN / m3
③h3 1.80m
61.56
z(m)
79.56
cz (kPa)
透水层
1 18.0kN / m3
h1 1.50m ①
2 19.4kN / m3
h2 3.60m
②
3 19.8kN / m3
③h3 1.80m ③’
不透水层
0
27.0
箱型基础（地下室基础） G m
补偿性基础概念
F
m
G
d
增加 d
p0 减小、沉降减小
p0
第四节 集中荷载作用下土中的应力计算
1、竖向集中荷载作用下的应力计算－布辛奈斯克课题
P
o
x
r
y
x
M’
R βz
z
y
zx
z
M
xy
x
y yz
R2 r2 z2 x2 y2 z2
r / z tg
x y z xy yz （P；x,y,z；R,β；r,z）
z
P z2
3
2
1 [1 (r / z)2 ]5/ 2
特点
1.应力呈轴对称分布
y
0.5 0.4 0.3
α
0.2 0.1
0
P
o
r
y
x
x
M’
R βz
M
z
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛奈斯克课题
应力分布特点
2.P作用线上：z=0则σz→∞；z→∞则σz=0
砂性土，用有效重度
粘性土：处于流塑状态时，按有效重度；坚硬或半坚硬状态时，按 天然重度计算；可塑状态时，按不利情况计算
自重应力计算步骤：
1. 分析题意，建立坐标系，确定特征点
起算点自天然地面始； 特征点为：分层界面，地下水位面。
2. 计算特征点自重应力（每层土两点：顶面和底面）
n
cz i hi i 1
▪基础抗弯刚度EI=0 → 弯矩M=0 ▪基础变形能完全适应地基表面的变形 ▪基础上下压力分布必须完全相同，若不同将 会产生弯矩
弹性地基，绝对刚性基础
▪抗弯刚度EI=∞ → M≠0； ▪若端部与中部沉降相同，则反力必然是 两端大、中间小 ▪分布: 中间小, 两端无穷大
基底接触压力分布规律 弹塑性地基，有限刚度基础
基底接触压力：基础底面传 递给地基表面的压力，也称 基底压力。
❖暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； ❖用荷载代替上部结构。
影响基底接触压力的因素
基底接触压力
•大小 •方向 •分布
荷载条 件
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
1、基底接触压力分布规律
条形基础，竖直均布荷载
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
2、基地压力的简化计算
基底压力的 分布形式十
分复杂
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应 力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以 后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系 不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
基础尺寸较小 荷载不是很大
荷载条件
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基础形状与荷载条件的组合
竖直中心
P
矩
L B
形
基
础
形
P’
状条
B
形
荷载条件 竖直偏心
P
x y
o
L
B
P’ B
倾斜偏心 P
L B
P’ B
P：上部结构与基础荷载之和
实用简化计算 矩形面积 中心荷载
P：上部结构与基础荷载之和 P
79.56 52.92 132.48(kN / m2 )
至基岩顶面处土的自重应力及其沿深度的分布图如图所示。
或地下水位下使用饱和容重：
③ cz 1h1+ 2h2 + 3h3
18.01.50 19.4 3.60 19.81.80 132.48(kN / m2 )
1 18.0kN / m3
h1 1.50m ①
2 19.4kN / m3
h2 3.60m
②
3 19.8kN / m3
③h3 1.80m ③’
0
27.0
cz (kPa)
61.56
z(m)
79.56 132.48
whw 52.92
自重应力及其沿深度的分布图
1 18.0kN / m3
h1 1.50m ①
2 19.4kN / m3
h3 1.80m ③
z(m)
2. 计算特征点自重应力。
①cz 1h1 18.01.50 27.0(kN / m2)
② cz 1h1+ 2h2 27.0 (19.4 9.8) 3.60
27.0 34.56 61.56(kN / m2 )
③ cz 1h1 2h2 + 3h3 61.56 (19.8 9.8) 1.80
水压 力c
轴向力F
z
试 样
y
x
x y c
b、二维应力状态(平面应力状态)
xx 0 xz
ij
0
yy
0
zx 0 zz
圣维南原理
三维空间应力状态简化为二维应力状态：对于 堤坝、挡土墙下地基中的应力状态，基础的一 个方向的尺寸比另一个方向的尺寸大很多，且 每个横截面上的应力大小和分布均一样。
z
3P 2
z3 R5
R2 r2 z2 x2 y2 z2
z
3P 2
z3 R5
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P z2
3
2
1 [1 (r / z)2 ]5/ 2
z
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
α也称应力系数、竖向附加应力系数
查表4-1 p106
竖直集中力 作用下的 附加应力计算－布辛奈斯克课题
cz (kPa)
61.56
z(m)
79.56 132.48
whw 52.92
第三节 基础底部的压力分布及计算
建筑物设计
上部结构 基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载、通过基础、 传到地基中。
基础结构的外荷载 基底反力
基底接触压力 基底附加压力
附加应力 地基沉降变形
基底接触压力p？
影响因素 分布规律 计算方法
假定的合理性说明： 1、土的分散性及其连续性假定 2、土的非均质性和非线性影响 3、弹性理论计算结果的误差
2、地基中的3中典型的应力状态 a、三维应力状态(一般应力状态)
ij
xx yz
xy yy
xz yz
zx zy zz
三维空间应力状态有9个应力状态分 量，3个法向正应力和6个剪应力分 量。
z(m)
79.56
cz (kPa)
若第四层为坚硬整体岩石， 则第三层土底面处的自重应力为：
③ cz 1h1 2h2 + 3h3 61.56 (19.8 9.8) 1.80
61.56 18.0 79.56(kN / m2 )
基岩顶面处的自重应力需加上水的自重：
③ cz 1h1+ 2h2 + 3h3 whw 79.56 9.8 (3.60 1.80)
B
x
则，p = P A
L
y 设基底接触压力 为矩形分布
实用简化计算 矩形面积 单向偏心荷载
P B
e
x
L
y
pmax
B/3
pmin 0
基底接触压力计算式推导思路： 设基底接触压力为梯形分布分别建
立力和力矩的平衡条件联立求解边缘压 力。
pmax
P A
(1
6e ) b
pmin
P A
(1
6e ) b
pmax
K0 1
竖直向： cz ihi cz 1h1 2h2 3h3
பைடு நூலகம்
γ1 h1 水平向： cx cy K0cz K0 ihi
Z γ2 h2
γ3 h3
容重：地下水位以上用天然容重γ 地下水位以下用浮容重γ’
小结
自重应力 分布规律
▪分布线的斜率是容重 ▪在等容重地基中随深度呈直线分布 ▪在成层地基中呈折线分布 ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折 ▪在不透水层层面有突变
c、侧限应力状态 侧向应变为零的一种应力状态。
xx 0 xz
ij
0
yy
0
zx 0 zz
3、地基中应力符号的规定 • 材料力学的规定
•土力学的规定
正应力 拉为正 压为负
拉为负 压为正
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
顺时针为负 逆时针为正
第二节 土体中自重应力计算
计算自重应力的目的：确定土体的初始应力状态
沿深度的分布图。 若第四层为坚硬整体岩石，计算至基岩顶面
处土的自重应力并绘出其沿深度的分布图。
【解】
1. 绘出剖面图、建立坐标系、确定特征点如图所示。
0
cz (kPa)
1 18.0kN / m3
h1 1.50m ①
2 19.4kN / m3
h2 3.60m
②
3 19.8kN / m3