基桩内力和位移计算
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
假定土的横向土抗力符合文克尔假定，可表示 为 σzx=Cxz 式中：σzx 横向土抗力(kN/m2); C 地基系数(KN/m3); xz 深度Z处桩的横向位移(m)。 地基系数C：单位面积土在弹性限度内产生单 位变形时所需加的力。 C值：通过对试桩在不同类别土质及不同深度 进行实测σzx及xz后反算得到。 C←土的类别及其性质，深度。
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(三)桩的计算宽度
水平外力 → 桩 桩身宽度范围内桩侧土受挤压，桩身宽度以外 的一定范围内的土体受影响(空间受力) 不同截面形状的桩，土受到简化为平面受力，并综合考虑 桩的截面形状及多排桩间的相互遮蔽作用，将 桩的设计宽度(直径)换算成相当实际工作条件 下，矩形截面桩的宽度b1。 b1= Kf K0 K b(d) (3-56)
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
按上述方法，用基本公式(3-69)、(3-71)、(373)、(3-75)计算xz、φz、Mz，、Qz，其计算 工作量相当繁重。当桩的支承条件及入土深度 符合一定要求，可用比较简捷的方法来计算， 即无须计算桩预处的位移x0、φ0而直接由已知 的Mz、Qz求得。
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
外荷载 → 桩 → 位移 轴向荷载 竖向位移 → 桩侧摩阻力、桩底抗力 横轴向荷载和力矩 水平位移和转角 →桩侧土对桩横向土抗力σzx σzx —深度Z处的横向(X轴向)土抗力 作用：抵抗外力和稳定桩基础。 取决于：土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、 桩的截面形状、桩距及荷载等。
2．嵌岩桩x0、φ0的计算
如果桩底嵌固于末风化岩层内有足够的深度， 可根据桩底xh、φh等于零这两个边界条件，将 式(3-69)、(3-71)写成
联解得：
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2．嵌岩桩x0、φ0的计算
(3-78)
Ax00 B x00、Aφ00、Bφ00均为αZ的函数，已根据αZ值 制成表格，可查阅有关规范。大量计算表明， αh≥4.0时，桩身在地面处的位移x0、转角φ0与桩底 边界条件无关，因此αh≥4.0时，嵌岩桩与摩擦桩(或 支承桩)计算公式均可通用。求得x0、φ0后，便可连 同已知的M0、Q0一起代入式(3-69)、(3-70)、(3-73) 、(3-75)及式(3- 65)，从而求得桩在地面以下任一深度 的内力、位移及桩侧土抗力。 back
基桩内力和位移计算
一、基本概念 二、"m"法弹性单排桩基桩内力和位移计算 三、"m"法弹性多排桩基桩内力与位移计算 四、基桩自由长度承受土压力时的计算 五、低桩承台考虑桩一土一承台共同作用 的计算
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一、基本概念
(一)土的弹性抗力及其分布规律 (二)单桩、单排桩与多排桩 (三)桩的计算宽度 (四)刚性桩与弹性桩
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二、“m”法弹性单排桩基桩 内力和位移计算
力和位移的符号规定：取下图所示的坐标系统 对横向位移顺x轴正方向为正值；转角逆时针方 向为正值；弯矩左侧纤维受拉为正；横向力顺x 轴正方向为正值 。
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二、“m”法弹性单排桩 基桩内力和位移计算
(一)桩的挠曲微分方程的建立及其解 (二)桩身在地面以下任一深度处内力及位 移的简捷方法(无量纲法) (三)桩身最大弯矩位置 (四)桩顶位移的计算公式 (五)单桩、单排桩计算步骤及验算要求
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
1． 对于αh>2.5的摩擦桩、αh>3.5的柱承桩将 式(3-77)代大式(3-69)得：
(3-79a) 式中： Ax=(A1Ax0-B1Aφ0+ D1); Bx=(A1Bx0-B1Bφ0+ C1)。
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
主要内容： 桩和桩侧土共同承受轴向和横轴向外力和力矩 时，桩身内力和位移的计算，着重在横向受力时的 内力与位移计算。 桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹 性地基梁法。 弹性地基梁法： 将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定(梁 身任一点的士抗力和该点的位移成正比)的解法。基 本概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。 弹性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数 值解法、差分法及有限元法。
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(三) 桩身最大弯矩位置
桩身各截面处弯矩Mz的计算，主要是检验 桩的截面强度和配筋计算(关于配筋的具体计算 方法，见结构设计原理教材内容)。为此要找出 弯矩最大的截面所在的位置ZMmax及相应的最 大弯矩Mmax值。一般可将各深度Z处的况值求 出后绘制Z—Mz图，即可从图中求得，也可用 数解法求得如下: 在最大弯矩截面处，其剪力Q等于零，因此 Qz=0处的截面即为最大弯矩所在的位置ZMmax 。 根据（3-69）令Qz=Q0AQ+αM0BQ=0
通过计算可得Z处桩的横向位移：
(3-68) 由此得到桩轴线挠曲方程：
(3-69)
由基本假定σzx=Cxz=mZxz, 将3-69代入此式在 深度Z 处桩侧向应力： (3-70)
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
式中：
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
1．摩擦桩、柱承桩x0、φ0的计算 2．嵌岩桩x0、φ0的计算
根据分析，摩擦桩αh≥2.5或支承桩αh≥3.5 时，Mh几乎为零，且此时Kh对Ax0、Bx0等影 响极小，可以认为Kh=0，则式(3-66)可简化 为：
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
式中
Ax0 B x0、Aφ0、Bφ0均为αZ的函数，已根据αZ值制 成表格，可参考《公桥基规》
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式中:EI 梁的弹性模量及截面惯矩。 在深度z处，q=σzxb1，而σzx=Cxz；C=mz (3-50) (3-51)
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
(3-52)
n=1 则： (3-55) 式中：α状的变形系数； 当Z=0， x0, φ0 , M0, Q0 可表示如下： 令：
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
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(二)单桩、单排桩与多排桩
式中：n=桩的根数。当竖向力N在承台横桥向 有偏心距e时，即Mx=Ne因此每根桩上的竖向 作用力可按偏心受压计算,即 Pi=N/n ±Mx yi/Σyi2 (3-55) 由此可知单桩及单排桩中每根桩桩顶作用 力可按上述公式计算。此后，即以单桩形式计 算桩的内力，所以归成一类。 多排桩： 指在水平外力作用平面内有一根以上 的桩的桩基桩(对单排桩作横桥向验算时也属此 情况)，不能直接应用上述公式计算备桩顶作用 力，须应用结构力学方法另行计算(见后述)， 所以另列一类。
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(二)单桩、单排桩与多排桩
计算基桩内力的过程： 承台底面的外力（N、H、M）→ 每根桩 顶的荷载Pi、Qi、Mi→ 各桩在荷载作用下的各 截面的内力与位移。 单桩、单排桩： 与水平外力H作用面相垂直的平面上，由单 根或多根桩组成的桩基础。对于单桩来说，上 部荷载全由它承担。对于单排桩桥墩作纵向验 算时，若作用于承台底面中心的荷载为N、H 、My，当N在承台横桥向无偏心时，则可以假 定它是平均分布在各桩上的，即 Pi=N/n Qi= H/n Mi=My/n （3-54）
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
采用的C值随深度的分布规律如下图所示的 几种形式，相应产生几种基桩内力和位移 计算的方法，即：
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
1. "m"法: 应用较广并列入《公桥基规》 , 假定 地基系数C随深度成正比例地增长，即C=mZ， 如图a)所示。m称为地基土比例系数(kN/m4)。 2. "K"法: 假定地基系数C随深度呈折线变化即 在桩身挠曲曲线第一挠曲零点B(如图b)所示深度t 处)以上地基系数C随深度增加呈凹形抛物线变化 ;在第一挠曲零点以下，地基系数C=K(kN/m')， 不再随深度变化而为常数。 3．"C值"法: 假定地基系数C随着深度成抛物线规 律增加，即C=cZ0.5，如图c)所示。c为地基土比 例系数(kN/m3)。 4. "C"法，又称"张有龄法": 假定地基系数C沿深 度为均匀分布，不随深度而变化，如图d)所示。
同理，将式(3-77)分别代入式(3-71)、(3-73)、 (3-75)再经整理归纳即可得
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
2. 对于αh>2.5的嵌岩桩，将式(3-78)分别代 入式(3-69)、(3-71)、(3-73)、(3-75)再经整理 得
式(3-69)、(3-70)即为桩在地面下位移及内力 较简捷的计算公式，其中Ax….为无量
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
这是一个边界条件;此外由于忽略桩与桩底土之间 的摩阻力，所以认为Qh=0，这为另一个边界条件。 将Mh=-φhC0I0 及Qh=0分别代代入(3-63)、(3-64) 中得：
解以上联立方程，并令C0I0/αEI=Kh则得：
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
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(三)桩的计算宽度
式中：b(d)— 外力H作用方向相垂直平面上桩的宽 度(或直径); Kf — 形状换算系数。即在受力方向将各种不同截面 形状的桩宽度，乘以Kf 换算为相当于矩形截面宽度 ，其值见表3-18; K0 — 受力换算系数。即考虑到实际上桩侧土在承 受水平荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时 所给的修正系数，其值见表3-18; K —桩间的相互影响系数。当桩基有承台联结，在 外力作用平面内有数根桩时，各桩间的受力将会相 互产生影响，其影响与桩间的净距L1的大小有关。
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
纲系数，其中Ax….为无量纲系数，均为αh和 αZ的函数，已将其制成表格供查用(见附表1一 12)。使用时，应根据不同的桩底支承条件，选 择不同的计算公式，然后按αh和αZ查出相应 的无量纲系数，再将这些系数代入式(3-79)、 (3-80)求出所需的未知量。 当αh≥4时，无论桩底支承情况如何，均可 采用式(3-69)或式(3-70)及相应的系数来计算。 其计算结果极为接近。 由式(3-69)及(3-70)可较迅速地求得桩身各 截面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩 侧土抗力。从而就可验算桩身强度、决定配筋 量，验算桩侧土抗力及桩上墩台位移等。
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二、“m”法弹性单排桩基桩 内力和位移计算
弹性地基梁"m"法的基本假定： 1） 认为桩侧土为温克尔离散线性弹簧 2） 不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力 3） 桩作为弹性构件考虑 4） 当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形 5） 任一深度Z处所产生的桩侧土水平抗力与该 点水平位移xz成正比即σzx=Cxz，，且地基系 数C随深度成正比增长即C=mz。
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(三) 桩身最大弯矩位置
(3-71) 式中CQ及DQ也为与αZ有关的系数，当 αh≥4.0时，可按附表3-13采用。CQ或DQ值从 式(3-71)求得后即可从附表13中求得相应的αZ 值，因为α已知，所以最大弯矩所在的位 Z=ZMmax值即可求得。 由（3-71）得：
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(四)刚性桩与弹性桩
弹性桩： 当桩的入土深度h>2.5/α时桩的相对刚度小， 必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。 刚性桩： 当桩的入土深度h≤2.5/α时，则桩的相对刚度 较大，计算时认为属刚性桩，后面介绍的沉井 基础也可看作刚性桩(构件)，其内力位移计算 万法见本书第四章
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将 产生位移xh、φh。当桩底产生转角位移φh 时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之 相应的桩底弯矩值Mh为 = - φ h C 0I 0 式中：A0 —桩底面积; I0 — 桩对其重心轴的惯性矩; C0 —基底土的竖向地基系数 C0 =m0h
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
已知： (Z=0) ； 桩顶与地面平齐； 桩顶作用有水平荷载Q0及弯矩M0； 此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力的 σzx，如下图所示。
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
从材料力学中知道，梁轴的挠度与梁上分布荷 载q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为：
(一)土的弹性抗力 及其分布规律
假定土的横向土抗力符合文克尔假定，可表示 为 σzx=Cxz 式中：σzx 横向土抗力(kN/m2); C 地基系数(KN/m3); xz 深度Z处桩的横向位移(m)。 地基系数C：单位面积土在弹性限度内产生单 位变形时所需加的力。 C值：通过对试桩在不同类别土质及不同深度 进行实测σzx及xz后反算得到。 C←土的类别及其性质，深度。
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(三)桩的计算宽度
水平外力 → 桩 桩身宽度范围内桩侧土受挤压，桩身宽度以外 的一定范围内的土体受影响(空间受力) 不同截面形状的桩，土受到简化为平面受力，并综合考虑 桩的截面形状及多排桩间的相互遮蔽作用，将 桩的设计宽度(直径)换算成相当实际工作条件 下，矩形截面桩的宽度b1。 b1= Kf K0 K b(d) (3-56)
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
按上述方法，用基本公式(3-69)、(3-71)、(373)、(3-75)计算xz、φz、Mz，、Qz，其计算 工作量相当繁重。当桩的支承条件及入土深度 符合一定要求，可用比较简捷的方法来计算， 即无须计算桩预处的位移x0、φ0而直接由已知 的Mz、Qz求得。
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
外荷载 → 桩 → 位移 轴向荷载 竖向位移 → 桩侧摩阻力、桩底抗力 横轴向荷载和力矩 水平位移和转角 →桩侧土对桩横向土抗力σzx σzx —深度Z处的横向(X轴向)土抗力 作用：抵抗外力和稳定桩基础。 取决于：土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、 桩的截面形状、桩距及荷载等。
2．嵌岩桩x0、φ0的计算
如果桩底嵌固于末风化岩层内有足够的深度， 可根据桩底xh、φh等于零这两个边界条件，将 式(3-69)、(3-71)写成
联解得：
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2．嵌岩桩x0、φ0的计算
(3-78)
Ax00 B x00、Aφ00、Bφ00均为αZ的函数，已根据αZ值 制成表格，可查阅有关规范。大量计算表明， αh≥4.0时，桩身在地面处的位移x0、转角φ0与桩底 边界条件无关，因此αh≥4.0时，嵌岩桩与摩擦桩(或 支承桩)计算公式均可通用。求得x0、φ0后，便可连 同已知的M0、Q0一起代入式(3-69)、(3-70)、(3-73) 、(3-75)及式(3- 65)，从而求得桩在地面以下任一深度 的内力、位移及桩侧土抗力。 back
基桩内力和位移计算
一、基本概念 二、"m"法弹性单排桩基桩内力和位移计算 三、"m"法弹性多排桩基桩内力与位移计算 四、基桩自由长度承受土压力时的计算 五、低桩承台考虑桩一土一承台共同作用 的计算
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一、基本概念
(一)土的弹性抗力及其分布规律 (二)单桩、单排桩与多排桩 (三)桩的计算宽度 (四)刚性桩与弹性桩
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二、“m”法弹性单排桩基桩 内力和位移计算
力和位移的符号规定：取下图所示的坐标系统 对横向位移顺x轴正方向为正值；转角逆时针方 向为正值；弯矩左侧纤维受拉为正；横向力顺x 轴正方向为正值 。
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二、“m”法弹性单排桩 基桩内力和位移计算
(一)桩的挠曲微分方程的建立及其解 (二)桩身在地面以下任一深度处内力及位 移的简捷方法(无量纲法) (三)桩身最大弯矩位置 (四)桩顶位移的计算公式 (五)单桩、单排桩计算步骤及验算要求
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
1． 对于αh>2.5的摩擦桩、αh>3.5的柱承桩将 式(3-77)代大式(3-69)得：
(3-79a) 式中： Ax=(A1Ax0-B1Aφ0+ D1); Bx=(A1Bx0-B1Bφ0+ C1)。
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
主要内容： 桩和桩侧土共同承受轴向和横轴向外力和力矩 时，桩身内力和位移的计算，着重在横向受力时的 内力与位移计算。 桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹 性地基梁法。 弹性地基梁法： 将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定(梁 身任一点的士抗力和该点的位移成正比)的解法。基 本概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。 弹性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数 值解法、差分法及有限元法。
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(三) 桩身最大弯矩位置
桩身各截面处弯矩Mz的计算，主要是检验 桩的截面强度和配筋计算(关于配筋的具体计算 方法，见结构设计原理教材内容)。为此要找出 弯矩最大的截面所在的位置ZMmax及相应的最 大弯矩Mmax值。一般可将各深度Z处的况值求 出后绘制Z—Mz图，即可从图中求得，也可用 数解法求得如下: 在最大弯矩截面处，其剪力Q等于零，因此 Qz=0处的截面即为最大弯矩所在的位置ZMmax 。 根据（3-69）令Qz=Q0AQ+αM0BQ=0
通过计算可得Z处桩的横向位移：
(3-68) 由此得到桩轴线挠曲方程：
(3-69)
由基本假定σzx=Cxz=mZxz, 将3-69代入此式在 深度Z 处桩侧向应力： (3-70)
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
式中：
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
1．摩擦桩、柱承桩x0、φ0的计算 2．嵌岩桩x0、φ0的计算
根据分析，摩擦桩αh≥2.5或支承桩αh≥3.5 时，Mh几乎为零，且此时Kh对Ax0、Bx0等影 响极小，可以认为Kh=0，则式(3-66)可简化 为：
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
式中
Ax0 B x0、Aφ0、Bφ0均为αZ的函数，已根据αZ值制 成表格，可参考《公桥基规》
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式中:EI 梁的弹性模量及截面惯矩。 在深度z处，q=σzxb1，而σzx=Cxz；C=mz (3-50) (3-51)
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
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n=1 则： (3-55) 式中：α状的变形系数； 当Z=0， x0, φ0 , M0, Q0 可表示如下： 令：
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
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(二)单桩、单排桩与多排桩
式中：n=桩的根数。当竖向力N在承台横桥向 有偏心距e时，即Mx=Ne因此每根桩上的竖向 作用力可按偏心受压计算,即 Pi=N/n ±Mx yi/Σyi2 (3-55) 由此可知单桩及单排桩中每根桩桩顶作用 力可按上述公式计算。此后，即以单桩形式计 算桩的内力，所以归成一类。 多排桩： 指在水平外力作用平面内有一根以上 的桩的桩基桩(对单排桩作横桥向验算时也属此 情况)，不能直接应用上述公式计算备桩顶作用 力，须应用结构力学方法另行计算(见后述)， 所以另列一类。
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(二)单桩、单排桩与多排桩
计算基桩内力的过程： 承台底面的外力（N、H、M）→ 每根桩 顶的荷载Pi、Qi、Mi→ 各桩在荷载作用下的各 截面的内力与位移。 单桩、单排桩： 与水平外力H作用面相垂直的平面上，由单 根或多根桩组成的桩基础。对于单桩来说，上 部荷载全由它承担。对于单排桩桥墩作纵向验 算时，若作用于承台底面中心的荷载为N、H 、My，当N在承台横桥向无偏心时，则可以假 定它是平均分布在各桩上的，即 Pi=N/n Qi= H/n Mi=My/n （3-54）
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
采用的C值随深度的分布规律如下图所示的 几种形式，相应产生几种基桩内力和位移 计算的方法，即：
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(一)土的弹性抗力 及其分布规律
1. "m"法: 应用较广并列入《公桥基规》 , 假定 地基系数C随深度成正比例地增长，即C=mZ， 如图a)所示。m称为地基土比例系数(kN/m4)。 2. "K"法: 假定地基系数C随深度呈折线变化即 在桩身挠曲曲线第一挠曲零点B(如图b)所示深度t 处)以上地基系数C随深度增加呈凹形抛物线变化 ;在第一挠曲零点以下，地基系数C=K(kN/m')， 不再随深度变化而为常数。 3．"C值"法: 假定地基系数C随着深度成抛物线规 律增加，即C=cZ0.5，如图c)所示。c为地基土比 例系数(kN/m3)。 4. "C"法，又称"张有龄法": 假定地基系数C沿深 度为均匀分布，不随深度而变化，如图d)所示。
同理，将式(3-77)分别代入式(3-71)、(3-73)、 (3-75)再经整理归纳即可得
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
2. 对于αh>2.5的嵌岩桩，将式(3-78)分别代 入式(3-69)、(3-71)、(3-73)、(3-75)再经整理 得
式(3-69)、(3-70)即为桩在地面下位移及内力 较简捷的计算公式，其中Ax….为无量
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
这是一个边界条件;此外由于忽略桩与桩底土之间 的摩阻力，所以认为Qh=0，这为另一个边界条件。 将Mh=-φhC0I0 及Qh=0分别代代入(3-63)、(3-64) 中得：
解以上联立方程，并令C0I0/αEI=Kh则得：
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
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(三)桩的计算宽度
式中：b(d)— 外力H作用方向相垂直平面上桩的宽 度(或直径); Kf — 形状换算系数。即在受力方向将各种不同截面 形状的桩宽度，乘以Kf 换算为相当于矩形截面宽度 ，其值见表3-18; K0 — 受力换算系数。即考虑到实际上桩侧土在承 受水平荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时 所给的修正系数，其值见表3-18; K —桩间的相互影响系数。当桩基有承台联结，在 外力作用平面内有数根桩时，各桩间的受力将会相 互产生影响，其影响与桩间的净距L1的大小有关。
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（二）桩身在地面以下任一深度处 内力及位移的简捷方法(无量纲法)
纲系数，其中Ax….为无量纲系数，均为αh和 αZ的函数，已将其制成表格供查用(见附表1一 12)。使用时，应根据不同的桩底支承条件，选 择不同的计算公式，然后按αh和αZ查出相应 的无量纲系数，再将这些系数代入式(3-79)、 (3-80)求出所需的未知量。 当αh≥4时，无论桩底支承情况如何，均可 采用式(3-69)或式(3-70)及相应的系数来计算。 其计算结果极为接近。 由式(3-69)及(3-70)可较迅速地求得桩身各 截面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩 侧土抗力。从而就可验算桩身强度、决定配筋 量，验算桩侧土抗力及桩上墩台位移等。
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二、“m”法弹性单排桩基桩 内力和位移计算
弹性地基梁"m"法的基本假定： 1） 认为桩侧土为温克尔离散线性弹簧 2） 不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力 3） 桩作为弹性构件考虑 4） 当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形 5） 任一深度Z处所产生的桩侧土水平抗力与该 点水平位移xz成正比即σzx=Cxz，，且地基系 数C随深度成正比增长即C=mz。
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(三) 桩身最大弯矩位置
(3-71) 式中CQ及DQ也为与αZ有关的系数，当 αh≥4.0时，可按附表3-13采用。CQ或DQ值从 式(3-71)求得后即可从附表13中求得相应的αZ 值，因为α已知，所以最大弯矩所在的位 Z=ZMmax值即可求得。 由（3-71）得：
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(四)刚性桩与弹性桩
弹性桩： 当桩的入土深度h>2.5/α时桩的相对刚度小， 必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。 刚性桩： 当桩的入土深度h≤2.5/α时，则桩的相对刚度 较大，计算时认为属刚性桩，后面介绍的沉井 基础也可看作刚性桩(构件)，其内力位移计算 万法见本书第四章
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1．摩擦桩、柱承桩 x0、φ0的计算
摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将 产生位移xh、φh。当桩底产生转角位移φh 时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之 相应的桩底弯矩值Mh为 = - φ h C 0I 0 式中：A0 —桩底面积; I0 — 桩对其重心轴的惯性矩; C0 —基底土的竖向地基系数 C0 =m0h
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
已知： (Z=0) ； 桩顶与地面平齐； 桩顶作用有水平荷载Q0及弯矩M0； 此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力的 σzx，如下图所示。
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(一)桩的挠曲微分方 程的建立及其解
从材料力学中知道，梁轴的挠度与梁上分布荷 载q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为：