2020年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练33 数列求和 理 北师大版.doc

课时分层训练(三十三) 数列求和
A 组 基础达标
一、选择题
1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2
n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A ．n 2
＋1－12n
B ．2n 2
－n ＋1－12
n
C ．n 2
＋1－
12
n －1
D ．n 2
－n ＋1－12
n
A [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1
2n ，
则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22＋ (12)
＝n 2
＋1－12
n .]
2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120
D ．130
C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
【导学号：79140183】
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为1
2的等比数列，则
a 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
61－12
＝378，
解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]
4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．16
C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a
的图像过点(4,2)，令a n ＝1
f (n ＋1)＋f (n )
，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n
项和为S n ，则S 2 019＝( ) A. 2 018－1 B ． 2 019－1 C. 2 020－1
D ． 2 020＋1
C [由f (4)＝2得4a
＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 1
2
.
所以a n ＝
1f (n ＋1)＋f (n )＝1
n ＋1＋n
＝n ＋1－n ，
S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－
2 019)＝ 2 020－1.] 二、填空题
6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin
n π
2
，n ∈N ＋，则S 2 018＝__________.
1 [a n ＝sin
n π
2
，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0.
S 2 018＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＝0＋1＋0＝1.]
7．计算：3·2－1
＋4·2－2
＋5·2－3
＋…＋(n ＋2)·2－n
＝__________.
4－
n ＋4
2n
[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12
n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
23＋…＋12n －n ＋22n ＋1.
所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22＋…＋12n －1－n ＋22n
＝3＋
12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
1－12
－
n ＋2
2
n
＝4－
n ＋4
2
n
.]
8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑n
k ＝11
S
k
＝________.
2n
n ＋1
[设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩
⎪⎨⎪⎧
a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×3
2d ＝10，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，d ＝1.
∴S n ＝n ×1＋n (n －1)
2
×1＝
n (n ＋1)
2
，
1S n
＝
2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1.
∴∑n
k ＝1
1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3
＋…＋1S n
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1n ＋1
＝2⎝
⎛
⎭⎪⎫1－
1n ＋1＝2n
n ＋1
.] 三、解答题
9．(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2
＋2n ，n ∈N
＋
.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和.
【导学号：79140184】
[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，
a 1＝S 1＝3也满足a n ＝2n ＋1，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知
1
a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，
则T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－1
7＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－14n ＋6＝n
6n ＋9
. 10．(2018·太原模拟(二))已知数列{a n }的前n 项和S n ＝
n (n ＋1)
2
，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n
＋1
(n ∈N ＋)．
(2)若c n ＝2a n
·(b n －1)(n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ， 当n ＝1时，a 1＝1，符合上式， ∴a n ＝n (n ∈N ＋)， ∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n ＋1.
(2)由(1)得a n ＝n ，b n ＝2n ＋1，
∴c n ＝2a n
·(b n －1)＝n ×2
n ＋1
，
∴T n ＝1×22
＋2×23
＋3×24
＋…＋n ×2n ＋1
， ①
①×2得
2T n ＝1×23
＋2×24
＋3×25
＋…＋n ×2n ＋2
， ② ①－②得－T n ＝22
＋23
＋…＋2n ＋1
－n ×2
n ＋2
＝(1－n )×2
n ＋2
－4，
∴T n ＝(n －1)×2n ＋2
＋4.
B 组 能力提升
11．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0
D ．－50
B [因为函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)
2
＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.] 12．(2017·合肥二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n
，则S n ＝__________.
【导学号：79140185】
n ·2n (n ∈N ＋) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－
2n
，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n
2n ＝n ，S n ＝
n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N ＋)．]
13．(2017·广州综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N
＋
)．
(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴
a n ＋1
a n
＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1
＝3. ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3
n －1
＝3n
.
(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n
， ∴T n ＝1×3＋3×32
＋5×33
＋…＋(2n －1)·3n
，① 3T n ＝1×32
＋3×33
＋5×34
＋…＋(2n －1)·3
n ＋1
，②
①－②得－2T n ＝1×3＋2×32
＋2×33
＋…＋2×3n
－(2n －1)·3n ＋1
＝3＋2×(32
＋33
＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1
＝3＋2×32(1－3n －1
)1－3－(2n －1)·3n ＋1
＝－6－(2n －2)·3n ＋1
.
∴T n ＝(n －1)·3
n ＋1
＋3.
法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n
. ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1
－(n －2)·3n
，
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝(0＋3)＋(33
＋0)＋(2×34
－33
)＋…＋[(n －1)·3n ＋1
－(n －2)·3n
]
＝(n －1)·3
n ＋1＋3.。