湖南省长沙市实验中学2023届数学高一上期末检测试题含解析

a2
a2 4
2 a
a 2
1 2
14 ，从而得到 a 2 2 ，根据等体积转化得到内切球半径 r 3 ， 3
再计算其体积即可.
【详解】设正四面体的棱长为 a ，将侧面 ABC 和△ACD 沿 AC 边展开成平面图形，如图所示：
则 BP PE 的最小值为 BE
a2
a2 4
2a
a 2
1 2
所以 A B 0,1，
故选 C 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为 元素间的关系.
7、D
【解析】首先设正四面体的棱长为 a ，将侧面 ABC 和△ACD 沿 AC 边展开成平面图形，根据题意得到 BP PE 的
最小值为 BE
【解析】由 a b ，转化为 a b 0 ，结合数量积的坐标运算得出 tan 2，然后将所求代数式化为
sin 2
cos2
2sin cos
cos2
2sin cos cos2 sin2 cos2
，并在分子分母上同时除以 cos2
，利用弦化切的思
想求解
【详解】由题意可得 a b sin 2cos 0 ，即 tan 2
所以正四面体的体积V 4 1 r 1
2
2
2
3 8 ，解得 r
3.
32
23
3
所以内切球的体积V
4 3
3 3
3
4 3 27
.
故选：D
8、D
【解析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍即可.
a0 a0
令
f
a
1 2
，则
log2a
1 2
2
∴f（x）
sin
2
x
2
1
的最小值和最小正周期分别是：
0
，π
故选 D
【点睛】本题考查正弦函数的周期性与最值，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题关键，属于中档题
10、B
【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得 ．又由条件得点 D,E 关于点 B 对称，可得
【详解】解：由题意，正实数
x,
y
满足
x
y
xy
3
0 ，则
3
(x
y)
xy
x
2
y
2
，
令
xLeabharlann yt(t0)
，可得 3
t
t 2
2
，即
t2
4t
12
0
，解得 t
2 ，或 t
6
(舍去)，
所以当且仅当 x y 1时， x y 取得最小值 2，
故选：B. 4、D 【解析】根据对数的运算及性质化简求解即可.
A. f x x 1， g x
2
x 1
B. f x x 3 ， g x x 32
C. f x x ， g x ln10x
D. f x x 1 x 3 ， g x x 1 x 3
3．若正实数 x ， y 满足 x y xy 3 0，则 x y 的最小值为（）
【详解】 log3 log4 log5 x 0，
log4 (log5 x) 1 ，
log5 x 4 ，
x 54 625
故选：D 5、D
【解析】由参变量分离法可得出
m
17
1 cos2
x
16
cos2
x
，利用基本不等式可求得
m
取值范围，即可得解.
的 【详解】由已知可得
m
csc2
x
tan 2
cos2
x
17 2 1 16 cos2 x 9， cos2 x
当且仅当 cos2 x 1 时，等号成立，故 m 9 .
4
故选：D.
6、C
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合 A ，再根据集合的基本运算进行求解即可
【详解】因为 A {x | x2 16 0} {x | 4 x 4}， B 5,0，1 ，
13．已知函数 f x x2 2ax 3 在区间2,8 是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是______
14．已知函数
f
(x)
x 3x
1 2
2,
,
x
0,
1 2
x
1 2
,1
，若存在
x1
x2 ，使得
f
x1
f
x2
，则 x1
f
x2
的取值范围为
_____________.
15．如图，在四面体 A－BCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A－CD－B 的平面角的余弦
（1）若 f (1) 3 ，求 ab 的最大值; （2）若 b 1，求关于 x 不等式 f (x) 0 的解集.
18．已知二次函数 y f x 图象经过原点，函数 f x 1 是偶函数，方程 f x 1 0有两相等实根.
（1）求 y f x 的解析式；
（2）若对任意
x
1 2
, 8
球的体积为（）
A. 256 3 π 9
1
B. π
3
C.4 3 π
D. 4 3 π 27
8．已知函数
f
x
lo2gx2,xx,
x
0
0
，若
f
a
1 2
则
a
的值为(
)
A. 2
B. 2
C. 1或 1 2
D. 1或 2
9．函数
y
sin
2x
2
1 的最小值和最小正周期为（
）
A.1 和 2π
B.0 和 2π
C.1 和 π
或
2a
1 2
，解之得 a
2或 1.
【点睛】本题主要考查分段函数，属于基础题型. 9、D
【解析】由正弦函数的性质即可求得
y
sin
2x
2
1
的最小值和最小正周期
【详解】解：∵
（f x）
sin
2x
2
1
，
∴当
sin
2x
2
＝﹣1
时，f（x）取得最小值，
即 f（x）min 0 ； 又其最小正周期 T 2 π，
22．已知定义域为
R
的函数
f
(x)
2x a 2x 1
是奇函数.
（1）求实数 a 的值；
（2）判断 f (x) 的单调性并用定义证明；
（3）已知不等式
f
(logm
3) 4
f
(1)
0 恒成立，求实数 m
的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1、A
x
m sin 2
x
sin 2 cos2
x x
15
，可得
m
15 sin 2
x
sin 4 cos2
x x
，
因为 x k k Z ，则 cos2 x0,1 ，
2
因为15sin2 x sin4 x 15 cos2 x
1 cos2 x
1 cos2 x cos2 x
2
17
1 cos2
x
16
A. 3
B. 2
C. 3
D. 3 2
4． log3 log4 log5 x 0 ，则 x （）
A.64
B.125
C.256
D.625
5．正割 sec ant及余割 cos ecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割 sec 1 ，
cos
余割 csc
1 sin
．已知 m
个，补充在下面的问题（1）中并解答，若同时选择两个条件作答，以第一个作答计分
（1）已知______，求关于 x 的不等式 ax2 3x a 0 的解集 A ；
（2）在（1）的条件下，若非空集合 B x 2k x k 2 ， A B A ，求实数 k 的取值范围
20．已知
f (x) 是定义在[2, 2] 上的奇函数，
A 2
C.1 11．已知
B. 2 2
D.2 ，则 的值为（ ）
A.3
B.6
C.9
D.
12．使得 x y 0 成立的一个充分不必要条件是（）
A.
1 x
1 y
B. sin x sin y 0
C. ex ey 2
D. ln x ln y
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
f (1) 2 ，当 x [2, 0]时的解析式为
f (x)
a 4x
b 2x
(a,b R) .
（1）写出 f (x) 在[0,2] 上的解析式；
（2）求 f (x) 在 [0,2] 上的最值.
21．计算下列各式：
（1）
2 1
4a 3b 3
(
2
a
1
3b
1 3
)
（式中字母均为正数）；
3
（2） log2 25 log3 4 log5 9 .
是同一个函数；
对于 B 中，函数 f x x 3 , g x (x 3)2 | x 3 | 的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数； 对于 C 中，函数 f x x 的定义域为 R ，而函数 g(x) ln10x x ln10 的定义域为 R ，但是解析式不一样，所以两
个函数不是同一个函数；
值为________.
16．在正方形 ABCD 中,E 是线段 CD 的中点,若 AE AB BD ,则 ________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数 f (x) ax2 2a 1 x 2ba 0,b 0 .
对于 D 中，函数 f x (x 1)(x 3) 的定义域为 (,1] [3, ) ，
而函数 g x x 1 x 3 的定义域为[3, ) ，所以不是同一个函数，
故选:B.
3、B
【解析】由基本不等式有
xy
x
2
y
2
，令
x
y
t(t
0)
，将已知等式转化为关于 t
的一元二次不等式
t2 4t 12 0 ，解不等式即可得答案.
，
2
f
log2
x
m
0 恒成立，求实数
m
的取值范围；
（3）若函数 g x f
3x 1 与 h x a 3x 4 a 2 的图像有且只有一个公共点，求实数 a 的取值范围.
3x
3
19．在①1, a a2 2a 2, a 1,0 ；②关于 x 的不等式1 ax b 3的解集是 x 3 x 4 这两个条件中任选一
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知向量 a (sin , 2),b (1, cos ) ，且 a b ，则 sin 2 cos2 的值为（ ）
A.1
B.2
1
C.
D.3
2
2．在下列四组函数中， f x 与 g x 表示同一函数的是（）
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 的二次整式，然后除以 cos2 sin2 化为弦的二次分式齐次式，
并在分子分母中同时除以 cos2 可以实现弦化切
2、B 【解析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
【详解】对于 A 中，函数 f x x 1的定义域为 R ，而函数 g x ( x 1)2 的定义域为[1,)，所以两个函数不
D.0 和 π
10．已知函数 f (x) 2sin(x )( 0) 的部分图象如图所示，点 A( , 0) ， B,C 是该图象与 x 轴的交点，过点 B
3
.作直线交该图象于 D, E 两点，点 F(5 ,0) 是 y f (x) 的图象的最高点在 x 轴上的射影，则(AD EA)( AC) 的值是 12
为正实数，且 m csc2
x
tan2
x
15对任意的实数
x
x
kπ 2
,k
Z
均成立，则 m
的最
小值为（）
A.1
B. 4
C. 8
D. 9
6．已知集合 A x | x2 16 0 ， B 5,0,1 ，则 ( )
A. A B
C. A B 0,1
B. B A
D. A B
7．已知在正四面体 ABCD 中，E 是 AD 的中点，P 是棱 AC 上的一动点，BP＋PE 的最小值为 14 ，则该四面体内切
7a 2
14 ，
解得 a 2 2 . 如图所示：VD 为正四面体的高，
CD
12 2
2 3
26 3
，正四面体高VD
2
2
2
2
2
26 3
4 3. 3
所以正四面体的体积V 1 4 3 1
2
2
2
3 8.
332
23
设正四面体内切球的球心为 O ，半径为 r ，如图所示：
则 O 到正四面体四个面的距离相等，都等于 r ，
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
∴ sin 2 cos2 2sin cos cos2 2 tan 1 1，
cos2 sin2
1 tan2
故选 A
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思
想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 弦的 n 次分式齐次式，分子分母同时除以 cosn ，可以将分式由弦化为切；