场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度ppt课件

若S 为闭合曲面
SA dS
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 20
L
28
旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
curl(A)• nˆ lim L A dl
ΔS0 ΔS
这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度, 或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任 意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。
矢量a的旋度是一个矢量其大小是矢量a在给定点处的最大环量面密度其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时该面元矢量的方向因为旋度代表单位面积的环量因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲此式称为斯托克斯stokes定理
普通物理II: 数学准备(矢量代数)
场的定义,描述和类型
矢量运算: A B; A B; A • B; A B
y
Ay (Q)
Ay y
y
右+左 上+下
前+后
Ay xyz Ay V
y
y
Az xyz Az V
z
z
Ax xyz Ax V
x
x
z
A'
Q’
nˆQ
A Q (x, y, z) y
nˆQ'
x
(x, y y, z)
TotalFlux ( Ax Ay Az )V x y z
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直角坐标系中散度的表示
麦克斯韦方程组
•E
E
0
B
t
• B 0
c2
B
E
j
t 0
电场: 有源-有旋场 磁场: 无源-有旋场
静电学方程
•E
0
E 0
静磁学方程
• B 0
c2 B
j
0
有源 无旋场
无源 有旋场
6
Sink or Source
场的例子
Sink +Source
Source+Source
T (x1, x2 ,...,xn )
T x1
e1
T x2
e2
...
T xn
en
15
Del 算子
为了简化物理公式的数学表述.
ex x ey y ez z
具有矢量的特征
T
(ex
x
ey
y
ez
)T z
16
梯度 (Gradient)
grad xˆ yˆ zˆ
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环量与旋度, 斯托克斯定理
circulation, Curl, The Stokes’s theorem
环量 Circulation of a vector field
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义 为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为
A• dl
L
在直角坐标系中，环流可以写成
Axdx Aydy Azdz
A'
Q’
S2
nˆ2
nˆ1
S
S
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散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小, 因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯定理。 高斯定理的物理意义： ❖从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 ❖从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上 的场之间的关系。 ❖如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
……
定义在时间,空间坐标上的物理量函数. ---场的定义 是对一种实际存在的一种抽象. 数学分类: 矢量场和标量场
张量场 (经典场论中不涉及)
物理上如何分类？
2
场的定义和类型
场: 定义在空间和时间坐标上的一个物理量(函数).
标量场
气压分布
温度分布
矢量场
洋流流速
气流流速
每点上只有物理量的大小
空间坐标 x, y, z 的标量函数
R (xe1 ye2 ze3)
T
T x
e1
T y
e2
T z
e3
不依赖于R方向的选择,是标量场在此点的独特性质.
T T • R T • R cos( )
固定 R 时, 沿着梯度方向移动 T 变化最大.
多元函数的梯度:
T (x) T x e1
T (x, y) T T x e1 y e2
+ constant F.; Circulation + Sink,…, many other
combinations.
8
以下物质和场可以相互作用吗?
• 电荷与地球的引力场 • 静止/运动的电荷与静/变化的磁场 • 静止的磁针与静/变化的电场
一般的不带电又没有磁性的物 体 能不能和电磁场发生作用?
2， 把箭头的首尾相连，得到场线。 线在每个点与场的方向相切，场线的密度与场矢量的大小成正比。
11
普通物理II: 数学准备(矢量代数)
场的定义,描述和类型
矢量运算: A B; A B; A • B; A B (自学)
算符和标量场的梯度,
V (r); •
矢量场的散度和旋度:
A(r); A(r)
divA lim
S A dS Ax Ay Az
ΔV 0 ΔV
x y z
散度可用算符 Del 表示为
divA A
xˆ yˆ zˆ x y z
25
A• nˆds A• nˆds A• nˆds
S
S1
S2
S1
A• nˆds A• nˆds A• nˆ1ds
A' l2
30
A的旋度可表示为Ｄｅｌ算子与A的矢量积, 即
v
v
curl A A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
( xˆAx
yˆAy
zˆAz )
xˆ
Az y
Ay z
yˆ Ax z
Az x
zˆ
Ay x
Ax y
xˆ yˆ zˆ
v A
x y z
Ax Ay Az
31
1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokes’s theorem
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通量与散度, 散度(高斯)定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的通量(Flux of a vector field)
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量 面密度最大时, 该面元矢量的方向 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。 3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
29
A• dl Ax (1)x Ay (2)y Ax (3)x Ay (4)y
9
标量场的描述
气压分布
温度分布
1， 每条线上的物理量数值相同 – 等高线/等势线（面，3D）
线越密/轮廓越窄的地
2， 用颜色的深浅来描述数值的大小。
方物理量变化率越大。
相同颜色的轮廓上的物理量数值相同—与等势线类似.
10
矢量场的描述
洋流流速
气流流速
1， 一组箭头来表示， 箭头的大小和方向是矢量场的值
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
通过右边的面 通过左边的面
A • nQ'ds Aydxdz Ay (Q')xz
Q'
Q'
A• nQds Aydxdz Ay (Q)xzQBiblioteka Q(nˆQ'
ey )
(nˆQ ey )
Ay (Q')
Ay (x,
y
y,
z)
Ay (x,
y,
z)
Ay y
2、散度的物理意义及特点：
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 表示矢量场在一点处的流入或流出的大小
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间位置的函数；
22
divA 0
发射源／正源
divA 0
吸收源／负源
divA 0
无源
23
散度 Divergence of a vector field
21
散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
发射源／吸收源的体密度
Circulation
2*Circulations (same senses) 2*Circulation (opposite senses)
7
Sink or Source
场的例子
Source + Circulation
Circulation
Questions: Sink + Sink; Sink + constant field; Circulation
因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲 面S上的旋度之总和, 即
A•
dl
(
A)
•
nˆ dS
S
此式称为斯托克斯(Stokes )定理。
意义： ❖从数学角度可以认为stokes定理建立了线积分和面积分的关系。 ❖从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 Ｓ 中的场和包围区域 Ｓ的闭合线 Ｌ 上的场之间的关系。 ❖如果已知区域 Ｓ 中的场，根据高斯定理即可求出边界 Ｌ 上的场，反之亦然。33
通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，
闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的发射源；
b) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，
闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的吸收源；
c) 若 ψ 0，闭合面无源。
L
l1 xex ;l2 yey ;
l3 x(ex );l4 y(ey )
l3 l4
Ax (3)
Ax (x,
y y, z)
Ax (1)
Ax y
y
Ay (2)
Ay (x
x,
y, z)
Ay (4)
Ay x
x
y
A
x
(x, y, z) l1
A•
dl
(
Ay
Ax
)xy
L
x y
( A)z xy ( A)nˆ S
算符和标量场的梯度,
V (r); •
矢量场的散度和旋度:
A(r); A(r)
场: 1，Gauss 定理，Stokes 定理; 2，Helmholtz 定理
1
我们教室范围内存在哪些可以定义的不同物理量?
引力加速度; 温度; 热流; 气流速度场; 空气密度; 音量; 气压; 亮度; 发现陈老师的概率; 我的位置; 电场强度; 磁场强度; 湿度;
T
(
x, y, x
z)
x
T
(
x, y, y
z)
y
T
(
x, y, z
z)
z
O(xy)
...
T (x x, y, z) y f (x x, y, z)y [ f (x, y, z) df (x, y, z) x]y
y
dx
T (x, y, z) y O(xy) y
14
标量场的梯度
T T • R
场: 1，Gauss 定理，Stokes 定理; 2，Helmholtz 定理
12
13
T
(P2
)
T
(P1)
dT
(x, y, dx
z
)
x
dT
(x
x, dy
y,
z
)
y
dT
(x
x, y dz
y,
z)
z
T
(P1
)
T
(
x, y, x
z)
x
T
(
x
x, y
y,
z)
y
T
(
x
x, y z
y,
z
)
z
T
(
P1
)
x y z
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(r
l )
(r)
•
l
1. 是一个矢量 2. 标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方
向，其幅度表示标量场的最大增加率.任意方向的方向导数是梯度在 这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。
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梯度 (Gradient)定理
积分结果与路径无关。
(r) (x, y, z) (r,t) (x, y, z,t)
每点上不但有大小,而且有方向
空间坐标 x, y, z 的矢量函数
A(r)
3
Ai (x, y, z)ei
i 1
3
A(r , t) Ai (x, y, z, t)ei
3
i 1
场的按照源来分类
• 任何物理的存在都有存在的原因--物理量的 源头.
• 有源场: 发射源/吸收源, 旋转源. • 无源场 (非物理的), 均匀场.
有源有旋, 有源无旋, 无源有旋, 无旋无源场
场和源之间是通过各种场方程来联系的.
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矢量场的例子
(a) 有发射源 (Source)的场 (b) 有漏(Sink)或有吸收源的场 (c) 旋转 (Circulation)场 Videos are from: MIT online Open Course Resources 5
Sl
S1
S12
A• nˆds A• nˆds A• nˆ2ds
Sr
S2
S12
A• nˆds A• nˆds A• nˆds
S
Sl
Sr
所有公用的面的积分相互抵消
A • nˆds A • nˆds • AiV
S
i Si
i
A• nˆds • AdV
S
V
高斯定理
S12