高三教学质量检测(二)数学理

试卷类型：A
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内;答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

）
1．设函数ln(1)y x =-的定义域为A ，函数y =B ，则A B =( )．
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．(0,1)
2．等差数列{}n a 中，1548,7a a a +==，则5a =( )．
A ．3
B ．7
C ．10
D ．11 3．已知1
sin()2
πα+=-
，则cos α的值为( )．
A ．
12 B ．12± C ．
2 D ．2
± 4．已知平面α和两条不同直线,m n ，则//m n 的一个必要条件是( )．
A ．//,//m n αα
B ．,m n αα⊥⊥
C ．//,m n αα⊂
D ．,m n 与α成等角
5．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等
可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是( )． A ．
1
π
B.
2
π
C.
4π D.3
π
6．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税．设全月总收入金额为x 元，前三级税率如下左表所示：
当工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如右图. 则输出①、输出②分别为( )．
A ．0.05;0.1x x
B ．0.05;0.1185x x -
C ． 0.0580;
0.1;x x - D ．0.0580;
0.1185x x --
7．已知=)(x f c bx ax ++2
(其中0,=++>>c b a c b a )，当10<<x 时，)(x f 的值为
( )．
A ．正数
B ．负数
C ．0
D ．无法确定
8．定义：复数b ai +是z a bi =+（a 、b R ∈）的转置复数．．．．，记为z b ai '=+；复数a bi -是z a bi =+（a 、b R ∈）的共轭复数．．．．
，记为z a bi =-.给出下列三个命题：
①z i z '=⋅； ② 0z z '
'+=； ③1212z z z z ''⋅=⋅； 其中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）
9．已知向量(1,2),(,4)a b x =-=，且//a b ，则x =_____. 10．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球， 以ξ表示取得红球的个数，则(1)P ξ== ，=)(ξE
11．已知动点P 满足2||||12=-PF PF （其中)0,2(1-F 、
)0,2(2F ）
，当点P 的纵坐标是2
1
时，点P 到坐标原点的距离是_________. 12．假设佛山五区行政区划图如图，测绘局想要给地图着色，要求相邻区域颜色不同.现有4种颜色可供选择，那么共有不同的着色方案为 种.（用数字作答） ▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13．如图，圆的切线PA 的长为4，3PB =，则BC 的长为__________.
14．在极坐标系中，过点⎪⎭
⎫
⎝⎛3,2π且与极轴垂
直的直线l 的极坐标方程是_______.
15. 已知,,x y z 为正数，且满足222
234x y z ++=，则23x y z ++的最大值是
_______________.
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）
A
P
B
第13题图
C
已知函数x x f ln 6)(=和2()8g x ax x =+(a 为常数)的图象在3=x 处切线平行. (Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值.
17、（本题满分12分）
如图，AC 是佛山市一环东线的一段，其中A 、B 、C 分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界D 位于点A 的北偏东︒30方向km 8处，
北
方向，位于点C 的北偏西︒75方向上，并且km AB 5=．
(Ⅰ) 求佛陈路出口B 与花卉世界D 之间的距离；（精确到0.1km ） (Ⅱ) 求花卉大道出口C 与花卉世界D 之间的距离．（精确到0.1km
(参考数据：
73.13=，97.075sin =︒，26.075cos =︒，80.053sin =︒，
60.053cos =︒， 62.038sin =︒，79.038cos =︒)
18.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA CD ⊥，1,PA PD =E
为PC 中点，2PF FD =.
(Ⅰ) 求证：PA ⊥平面ABCD ； (Ⅱ) 求二面角D AC F --的正切值； (Ⅲ) 求证：//BE 平面AFC .
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线:C 2
4x y =，直线:1l y =-.PA 、PB 为C 的两切线，切点为,A B .
(Ⅰ) 求证：“若P 在l 上，则PA PB ⊥”是真命题；
(Ⅱ) 写出(Ⅰ)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 20．（本小题满分14分）
30
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按
此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.
(4),(5)f f 的值，
并求()f n 的表 (Ⅰ) 试给出达式（不要求证明）；
(Ⅱ) 证明：
111
14
(1)(2)(3)
()3
f f f f n ++++
<. 21．（本小题满分14分）
已知集合D M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立.
(Ⅰ) 当D =R 时，()21f x x =+是否属于D M ？说明理由；
(Ⅱ) 当[0,)D =+∞时，函数()f x =
D M ，求常数k 的取值范围；
(Ⅲ) 现有函数()sin f x x =，是否存在函数()(0)g x kx b k =+≠，使得下列条件同时成立：
①函数()D g x M ∈ ；
②方程()0g x =的根t 也是方程()0f x =的根，且))(())((t g f t f g =； ③方程(())(())f g x g f x =在区间[0,2)π上有且仅有一解．
若存在，求出满足条件的k 和b ；若不存在，说明理由.
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题参考答案和评分标准（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共30分）
9．2- 10．0.6，1.2 11．2
6
12．144 13．73 14．cos 1ρθ=
15.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16. 解：（Ⅰ）x
x f 6
)(=',82)(+='ax x g ，根据题意，得)3()3(g f '='
解得1-=a . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 （Ⅱ）2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-(0>x )。

令0826
)(=-+='x x
x F ，得3,1=x . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分
∵10<<x 时，0)(>'x F ，)(x F 单调递增；31<<x 时，0)(<'x F ，)(x F 单调递减；3>x 时，0)(>'x F ，)(x F 单调递增。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分 ∴)(x F 的极大值为(1)7F =-，
)(x F 的极小值为(3)156ln3F =-+. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分
17.解：（Ⅰ）设x BD =，则由余弦定理222
5816cos30x x =+-︒， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
即039382
=+-x x ，解得334±=x ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
8334>+舍去．所以9.3334=-=x .
故佛陈路出口B 与花卉世界D 之间的距离约为3.9km ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
（Ⅱ）在∆ABD 中，由正弦定理得ADB AB
ABD AD ∠=∠sin sin ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
所以5
4
sin sin =∠=∠CBD ABD .
在∆CBD 中，sin sin()0.79DCB CBD BDC ∠=∠+∠=， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分
由正弦定理得，4 3.95sin BD
CD DCB
=⨯
=∠. 花卉大道出口C 与花卉世界D 之间的距离约为3.9km ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分
18. 解：（Ⅰ）∵1,PA AD =
=PD =
∴2
2
2
PA AD PD +=，即PA AD ⊥. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
又PA CD ⊥，AD CD D =，
∴PA ⊥平面ABCD . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 （Ⅱ）方法一：过F 作//FH PA 交AD 于H ，
从而FH ⊥平面ABCD ，且2AH HD =，11
33
FH PA =
=. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 过H 作//HN OD 交AC 于N ，由于AC BD ⊥，所以HN AC ⊥，且2AN NO =，
21333HN OD BD ===.
连FN ，根据三垂线定理可得，FN ⊥从而FNH ∠为二面角D AC F --不妨设为θ，则1tan 2θ== 所以二面角D AC F --方法二：以A 为原点，建立如图所示的坐标系. 则(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A C D P .
由于2P F F D =，所以22221(0,0,1)(0,,)(0,,)
33333
A F A P P D =+=+-=,即21
(0,,)33
F . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
易知(0,0,1)AP =为平面ACD 的法向量.
设平面AFC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n AC n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即021
03
3x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2,z = 则1,1x y ==-，即(1,1,2)n =- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 二面角D AC F --的平面角为θ，则cos 6
n AP n AP
θ=
=
=，所以tan θ= ┅┅┅
9分
（Ⅲ）方法一：如图，连接BD ，交AC 于O ，取PF 中点G ，连,,BG EG FO . 在△PCF 中，,E G 分别为,PC PF 中点，则//EG FC . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 在△BDG 中，,O F 分别为,BD DG 中点，则//OF BG . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ∴平面//BEG 平面FAC ，又BE ⊂平面BEG ，所以//BE 平面AFC . ┅┅┅┅┅14分
方法二：如图，连接BD ，交AC 于O ，取PF 中点G ，连ED 交CF 于M ，连MO . 在△PCF 中，,E G 分别为,PC PF 中点，则//EG FC .
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
10分
在△EDG 中，//MF EG F 分别为DG 中点，则M 为ED 中点. 在△BED 中，,O M 分别为,BD ED 中点，则//BE MO .
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
12分
又MO ⊂平面BEG ，所以//BE 平面AFC . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
方法三、以A 为原点，取(,,)AB AD AP 为基底，建立空间直角坐标系. 则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ， ∴(1,0,1),(0,1,0)BP BC =-=
又E 为PC 的中点，所以111
(1,1,1)222
BE BC BP =+=-. 又22221
(0,0,1)(0,,)(0,,)33333AF AP PD =+=+-=，(1,1,0)AC =
于是31
22
BE AF AC =-.
由平面向量共面定理以及 BE 不在平面AFC 内可得//BE 平面AFC . ┅┅┅┅┅┅┅┅14分
19．解：（Ⅰ）证明：由24x y =得214y x =
，对其求导得'1
2
y x =. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 设22
12
12(,),(,)44
x x A x B x ，则直线,PA PB 的斜率分别为1211,.22PA PB k x k x ==
由点斜式得221111111
:(),.4224
x x PA y x x x y x x -
=-=-即① ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 222222211
:(),.4224
x x PB y x x x y x x -=-=-即②， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
由①②可得点1212(,)24x x x x P +，因为P 在l 上，所以1214
x x
=-， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 所以121211
1224
PA PB x x k k x x ===-，所以PA PB ⊥. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分
（Ⅱ）（Ⅰ）中命题的逆命题为：若PA PB ⊥，则P 在直线l 上. 为真命题. ┅┅ 11分
事实上，由原命题可知，设22
12
12(,),(,)44
x x A x B x ，且
P
P
D
221111111
:(),.4224x x PA y x x x y x x -=-=-即①
222222211
:(),.4224
x x PB y x x x y x x -=-=-即②，
由①②可得点1212
(,)24
x x x x P +， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分 又PA PB ⊥，
所以121211
1224
PA PB x x k k x x ===-，即1p y =-，从而点P 在l 上. ┅┅┅┅┅ 14分
20. 解： (Ⅰ) (4)37,(5)61.f f == ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
(Ⅱ)由于(2)(1)716,(3)(2)19726,f f f f -=-=-=-=⨯
(4)
(3)371936,(5)(4)613746,
f f f f -=-=⨯-=-=⨯
因此，当2n ≥时，有()(1)6(1),f n f n n --=- 所以()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f n f n f n f n f n f f f =--+---+
+-+
26[(1)(2)21)1331n n n n =-+-+
+++=-+.
又2(1)131311f ==⨯-⨯+，所以2()331f n n n =-+. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 （注：直接给出结果也给分）
（Ⅲ）当2k ≥时，22111111
()()3313331f k k k k k k k
=<=--+--. ┅┅┅┅┅11分 所以
11111111111[(1)()()(1)(2)(3)()32231f f f f n n n
++++<+-+-++-- 1114
1(1)1333
n =+-<+=. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
21．解：（Ⅰ）属于D M .
事实上，对任意12,x x R ∈，121212
()()23f x f x x x x x -=-≤-，故可取常数3k =满足题意，因此().D f x M ∈ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
（Ⅱ）
()f x =[0,)+∞为增函数∴对任意1
2,[0,)x x ∈+∞有
1212()()f x f x x x --1
2
==
<（当120,0x x =→时取
到），所以1
2
k ≥
，此即为所求. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅲ）存在. 事实上，由（Ⅰ）可知，()()0g x kx b k =+≠属于D M . t 是()0g x =的根 ()0b g t t k
∴=⇒=-，
又(())(()),(0)(0),0,()f g t g f t f g b g x kx =∴=∴=∴=. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 方法一、若k 符合题意，则k -也符合题意，故以下仅考虑0k >的情形。

设()(())(())sin sin h x f g x g f x kx k x =-=-， ①若1k ≥，则 由0sin
sin )(<-=k
k k
h π
ππ，且02
3sin 23sin 23sin )23(
≥+=-=k k k k h ππππ， 所以，在]2
3,[π
πk 中另有一根，矛盾. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
②若
112k <<，则[]sin sin 0,2h k h k
k ππππ⎛⎫
=-≥
⎪
⎝⎭
sin 2sin 20k k ππ=-<， 所以在,2k ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
中另有一根，矛盾. 102k ∴<≤. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
以下证明，对任意1
(0,],()2
k g x kx ∈=符合题意.
（ⅰ）当(0,]2
x π
∈时，由sin y x =图象在连接两点()(0,0),,sin x x 的线段的上方知
sin sin kx k x >()0h x ∴>.
（ⅱ）当(,]22x k ππ∈时，sin sin sin sin ()022k kx k k x h x ππ
>≥≥∴>. （ⅲ）当,22x k ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，sin 0,sin 0,()0kx x h x ><∴>.
从而()0h x =有且仅有一个解0x =，()g x kx ∴=在1
(0,]2
k ∈满足题意.
综上所述：11
[,0)(0,],022
k b ∈-=为所求. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
方法二、要使函数()sin sin h x kx k x =-在区间[0,2
)π有且只有一解，须且只需24(0)k k
π
π≥≠，也即1(0)2k k ≤≠，也即11[,0)(0,],022k b ∈-=为所求.。