逆用函数求导公式求解抽象函数问题

新课程教学2019年第6期
逆用函数求导公式求解抽象函数问题
吉林省长春市第二十九中学杨淑娟
ʌ摘要ɔ抽象函数问题一直困扰着很多学生,题目中给出的抽象函数往往没有具体的解析式,只给出一个或几个相关的式子或描述㊂对抽象函数问题,本文建议利用逆用乘积求导公式和构造新的函数两种方法进行解决,并通过具体实例进行阐述㊂
ʌ关键词ɔ抽象函数导数解题方法
导函数所表示的意义是原函数的变化率,抽象函数题目的难点在于,原函数尚且这么抽象,它的导函数就更抽象了,让人觉得难以下手,学过的公式㊁定理不知如何套用㊂解题时要记住核心思想:第一,分清主次,大部分问题优先研究导函数的性质,根据题目条件得出导函数的性质后,将其根据导函数的定义反映到原函数上,再去研究原函数的性质;第二,构造新的函数,所构造的函数一定是向所求结果靠拢的㊂
一㊁解题思路和方法分析
求解抽象函数问题,要根据题目所给条件的形式选择适当的公式,所以,需要把握条件的特征,如果是相加则考虑逆用两函数乘积的求导公式,如果是相减则考虑逆用商的求导公式,如果直接给出函数或导函数的一些约束条件,一般考虑构造函数㊂
(一)条件中出现函数及其导函数相加 逆用乘积求导公式
当题目条件中出现fᶄ(x)g(x)+f(x)gᶄ(x)或者其典型变式f(x)+x fᶄ(x)这类式子时,考虑逆用两函数相乘的复合函数求导公式㊂
例1设函数f(x)是定义在(-ɕ,0)上的可导函数,其导函数为fᶄ(x),且f(x)+x fᶄ(x)<x,则不等式(x+2018)f(x+2018)+2f(-2)>0的解集为()㊂
解析题目中出现了上面提到的f(x)+x fᶄ(x),它是x f(x)的导函数,再观察要求解集的不等式可变形为(x+2018)f(x+2018)-(-2)f(-2)>0,是同一个函数的两个值相减,故我们构造F(x)=x f(x),讨论F(x)的增减性㊂
根据题意有Fᶄ(x)<x<0,则F(x)在x<0时是减函数,而F(x+2018)>F(-2),可知x+2018<-2,整理知原不等式的解集为x<-2020㊂
例2设f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,fᶄ(x)g(x)+f(x)gᶄ(x)>0,且g(1)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()㊂解析题中出现典型的fᶄ(x)g(x)+f(x)gᶄ(x),立即想到[f(x)g(x)]ᶄ>0,当x<0时,f(x)g(x)是增函数㊂另一方面,考虑运用函数的奇偶性分析x>0的情形㊂因为f(x),g(x)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)g(x)是定义在R上的奇函数,所以它在x<0时是增函数,则在x>0时也是增函数㊂
最后利用已知条件,由于g(1)=0,所以f(1)㊃g(1)=0,g(-1)=0,所求解集为(-ɕ,-1)ɣ(0,1)㊂
(二)条件中给出函数或其导数的约束 构造新的函数
这种题目非常灵活,题目会给出f(x)及其导函数的一些约束,这时我们可以根据这些性质和所求问题构造新的函数,需要学生细心观察和有很高的熟练度,一般都是化为某个函数的导数,再与0比较大小关系,下面举一个简单例子说明思路㊂
例3如果定义在R上的函数f(x)满足f(x)+ fᶄ(x)>1,f(0)=2018,则不等式f(x)>2017e x+1的解集为()㊂
解析注意到题目条件形式,移项得f(x)+ fᶄ(x)-1>0,如果可以找到一个函数,它的导函数是f(x)+fᶄ(x)-1就好了,但是f(x)需要再求原函数,所以考虑在前面整体乘一个e x,试着找出e x[f(x)+ fᶄ(x)-1]的原函数㊂
令g(x)=e x f(x)-e x,则gᶄ(x)=e x[f(x)+ fᶄ(x)-1],g(x)在R上是单调增函数,故解集的不等式变形为e x f(x)-e x>2017,即g(x)>2017,又因为g(0)=f(0)-1=2017,所以本题答案为x>0㊂
二㊁结语
解决关于抽象函数的题目一般很有技巧性,需要从题目的条件中识别解题所需模型,再灵活运用模型使其适用于本题,综合体现了函数的思想和导数公式的灵活运用㊂解答这类问题,要熟悉模型,具备清晰的构造思路和开阔的解题视角,注意知识的整合和活用,从而解决问题㊂
㊃63㊃。