高中数学 学业分层测评4 苏教版必修2

学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．经过空间任意三点可以作________个平面．
【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．【答案】一个或无数
2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；
②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
③∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.
其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．
【解析】①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③正确．
【答案】③
3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________．
①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线．
【解析】如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．
(1) (2)
【答案】②
4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
【答案】∈
5．如图1­2­10所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．
图1­2­10
①A，M，O三点共线；
②A，M，O，A1四点共面；
③A，O，C，M四点共面；
④B，B1，O，M四点共面．
【解析】因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．
【答案】④
6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
【解析】
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，
则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．
【答案】共线
7．如图1­2­11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)
图1­2­11
【解析】图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．
【答案】①③
8．如图1­2­12所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________. 【导学号：60420015】
图1­2­12
【解析】因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.
【答案】MN
二、解答题
9.如图1­2­13，点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG 交于点K，求证：点K在直线BD上．
图1­2­13
【证明】∵EH∩FG＝K，
∴K∈EH，K∈FG.
∵E∈AB，H∈AD，
∴EH⊂平面ABD，∴K∈平面ABD.
同理，K∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴K在直线BD上．
10．如图1­2­14，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
图1­2­14
【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC 的延长线交于H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H 共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．
[能力提升]
1．(2016·聊城高一检测)如图1­2­15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
图1­2­15
【解析】因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，
故DE是△ABC与平面α的交线．
又∵P在α内，也在平面ABC内，
故P点在△ABC与平面α的交线DE上．
【答案】P∈DE
2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.
【解析】如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.
又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.
【答案】直线PR
3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．
【解析】如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE═∥PQ，∴P，Q，E，R共面．
再取BB1，DD1的中点F，G.
∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，
∴截面图形为正六边形．
【答案】正六边形
4．在棱长是a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出交线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求点D1到l的距离．
【解】 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1
的一个公共点．连结QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .
(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝1
2
D 1N .
∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a
4，
∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝3
4
a .
(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． ∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a
2，
∴QN ＝QD 2
1＋D 1N 2
＝
17
2
a ， ∴D 1H ＝D 1Q ·D 1N
QN ＝2a ·
a
217
2a ＝21717a ，
即点D 1到l 的距离是217
17a .。