北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题答案

0,2,0)， 不妨设 AB AP 2 ，可得 B (2, 0, 0) ， C (2, 2, 0) ， D ( P( 0,0,2).
由 E 为棱 PD 的中点，得 E (0,1,1) . 向量 BD ( 2, 2,0) , PB (2,0, 2) . 设 n ( x, y , z ) 为平面 PBD 的法向量，则 n BD 0
1
解得 a1 1 所以 an 2
．
n 1
.
…………………9 分
（Ⅱ）因为 bn an 2n ， 所以

b i 1 ai i 1 2i 2 n n (n 1) 1 ． i 1 i
n n n
………………13 分
（16） （本小题共 13 分） 已知函数
P E D A
2
PA 底面 ， AB AP , E 为棱 PD 的中点.
（Ⅰ）证明: AE CD ； （Ⅱ）求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值；
C B
（Ⅲ）若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点 M ，使得 FM AC ，若存在， 求出
PM 的值，若不存在，说明理由. MC
f (x) sin2 x 2 3sin xcos x cos2 x (xR) ．
（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期和在 [0, π] 上的单调递减区间； （Ⅱ）若 为第四象限角，且 cos
2
3 7π ，求 f ( ) 的值. 2 12 5
2
解： （Ⅰ）由已知 f ( x ) sin x 2 3 sin x cos x cos x
（10）
1 ;
2 3 （11） 58
（12） 1 ; 0 （13） x y 1 0
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15） （本小题共 13 分） 设 {an } 是一个公比为 q ( q 0, q 1) 等比数列， 4a1 ,3a2 , 2a3 成等差数列,且它的 前 4 项和 s4 15 . （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）令 bn an 2n, (n 1, 2,3......) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 解： （Ⅰ）因为 {an } 是一个公比为 q ( q 0, q 1) 等比数列， 所以 an a1q
（Ⅰ）证明：因为 PA 底面 ABCD ， 所以 PA CD ． 因为 AD CD ， 所以 CD 面PAD . 由于 AE 面PAD ， 所以有 CD AE ． …………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系（如图） ，
z P E y B x C
D A
3 sin 2 x cos 2 x π 2sin(2 x ). 6
所以 最小正周期 T = 由
2π 2π = = π. ω 2
π π 3π + 2 kπ £ 2 x - £ + 2 kπ, k Î z. 2 6 2 2π + kπ ＃ x 3 10π + kπ, k 6 z
得
故函数 f ( x ) 在 [0, π] 上的单调递减区间 π, （Ⅱ）因为 为第四象限角，且 cos
1 3
5 π 6
…………9 分
3 4 ，所以 sin ． 5 5 7π π 7π 8 所以 f ( ) 2sin ．…………………13 分 ) = 2sin( 5 2 12 6 6
（17） （本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，
uur
uuu r
uuu r
uuur
uur
uuur
uuu r uuur
AC ，得 FM AC 0 ，
因此， (1- 2 ) 2 (2 - 2 ) 2
0 ，解得 3 .
4
3
所以
PM 1 . MC 3
…………………13 分
（18） （本小题共 13 分） 已知椭圆
…………………11 分
（Ⅲ）解：向量 CP ( 2, 2, 2) ， AC (2, 2,0) ， AB (2,0,0) . 由点 M 在棱 PC 上，设 CM CP , (0 1) . 故 FM FC CM (1 2 , 2 2 , 2 ) . 由 FM
第一部分（选择题
要求的一项. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 C
共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
5 B
6 B 共 110 分）
7 A
8 D
第二部分（非选择题
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
（9） 2 2 （14）①④
东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测参考答案 高三数学（理科） 2016.1
学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
n 1
．
因为 4a1 ,3a2 , 2a3 成等差数列，
2 所以 6a2 4a1 2a3 , 即 q 3q 2 0 ．
解得 q 2, q 1 (舍) . 又它的前 4 和 s4 15 ，得
a1 (1 q 4 ) 15 ( q 0, q 1) ， 1 q
uuu v AE (0,1,1)
uuu r
uur
r
n PB 0
即 2 x 2 y 0 ．
2x 2z 0
不妨令 y = 1 ，可得 n 所以 cos AE , EF
（1,1,1）为平面 PBD 的一个法向量.
6 . 3
3
uuu v uuu v
所以，直线 EF 与平面 PBD 所成角的正弦值为 6 .