上海市高三数学第一轮复习：集合与命题集合的概念

课题：集合的概念
教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规
处理方法．
教学重点：集合中元素的3个性质，集合的 3 种表示方法，集合语言、集合思想的运用．
知识点归纳：
1.集合
①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示：列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如 {a,b,c} 描
述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为： P={x ∣P(x)}.
如： { x yx 1}, { y yx 1}, { ( x, y) yx1}
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质确定性： a A或 a A 必居其一，
互异性：不写 {1 ，1，2，3} 而是 {1 ，2，3} ，集合中元素互不相同，
无序性： {1 ，2，3}={3 ，2，1}
2.常用数集
复数集 C 实数集 R 整数集 Z 自然数集 N 正整数集N（或 N+）有理数集 Q
3．元素与集合的关系：a A或a A
4．集合与集合的关系：
①子集：若对任意x A 都有 x B [或对任意 x B 都有 x A] 则 A 是 B 的子集。

记作：
A B
②真子集：若 A B ，且存在x0B, 但 x0 A ，则A是B的真子集。

记作：A B
③AB且BAAB
④空集：不含任何元素的集合，用表示
对任何集合 A 有A，若 A 则A
5．子集的个数
2n个，若 A { a1, a2 , a n } ，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为
2n1个和 2n2 个。

主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；
2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；
3．抓住集合中元素的3 个性质，对互异性要注意检验；
4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化。

例题精选：
例 1．（ 1）用适当符号填空： 0{0 ， 1} ；{ a， b}{ b， a} ；0；{3＋17 }{ x|x＞6＋3 } （2）用列举法表示 { y|y=x2－1，|x|≤ 2， x Z}=.
（3）M={ x|x2＋2x－ a=0，x∈R} ≠，则实数a的取值范围是
（4）已知集合 A={ x|x2－px＋15=0}， B={ x|x2－5x＋ q=0} ，如果 A∩ B={3} ，那么 p＋q=. （5）已知集合 A={ x|－1≤x≤2} ， B={ x|x＜ a}，如果 A∩ B=A，那么 a 的取值范围是 .（6）已知集合 A={ x|x≤2} ，B={ x|x＞ a}，如果 A∪B=R，那么 a 的取值范围是 .
（7）已知 P={0 ，1} ，M={x ∣x P} ，则 PM
（8）设集合M { x x k 1
, k Z}, N { x x k
1
, k Z}，则M N
2 4 4 2
例 2、设集合 A 1,a,b , B a, a2 , ab ，且 A B ，求实数a, b的值。

例 3、（ 1）已知集合 A y y x 1,x R，集合B y y x2 2x 3, x R ，求AI B；（2）已知集合 A ( x, y) y x 1,x R ，集合 B (x, y) y x2 2x 3, x R ，求
AI B。

例 4、设全集 U x 0 x 10, x N * ，若AI B 3 ， A I C U B 1,5,7 ，
(C U A) I (C U B) 9 ,求A、B
例 5、已知集合 A x x2 ax 6a2 0, x R ， B x | x 2 | 1,x R ，当 B A 时，求实数 a 的取值范围。

例 6、设集合 A x x2 x 6 0 , B x mx 1 0 ，若B A ，求m的取值范围。

巩固练习：
1.选择：集合 P x2 2x 0 （）、Q x x2 2x 0（）、M y y x2 2x （）、
T { x, y y x2 2x 且y 0} ().
D.恰有一个元素
E. 1, F . 1,
2.（ 06 上海）已知集合 A 1,3,2 m 1，集合B 3,m2 ，若 B A ，则实数m的值为
3. 满足 a, b A a, b, c, d 的集合 A的个数有个；
满足 a,b ü A a,b,c, d 的集合 A 的个数有个 .
4．（ 05 湖北）设 P 、Q为两个非空实数集合，定义集合P Q { a b | a P, b Q} ，若P {0,2,5} ， Q {1,2,6} ，则 P Q 中元素的个数是（）
5. A x x2 px q 0, x R 2 ，则 p q
课后作业：
1.集合 P x x 2k, k Z ， Q x x 2k 1,k Z ， R x x 4k 1,k Z ，
a P ，
b Q ，设
c a b ，则有（）
A. c P
B. c Q
C. c R
D. 以上都不对
2.若 A 、 B 是全集 I 的真子集，则下列四个命题① A I B A；② AUB A ；
③ A I C I B ；④ AUB I .中与命题 A B 等价的有（）
个个C. 3 个D. 4 个
A.1
B. 2
3.集合M y | y 8 , x, y Z 的元素个数是（）
x 3
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
4.集合 { x, y y x2且y x}
5. 如图， I 为全集， M 、 P 、 S 是 I 的三个子集，则阴影部分所表示I P
SM 的集合是（）
7. 设集合 P { x | x2 x 6 0}，Q { x | x a 0}
(1) 若P Q ，求实数 a 的取值范围；(2)若 P I Q ；求实数 a 的范
围；
8. 设 M { x | 2 x2 5x 3 0}， N { x | mx 1}，若N M ，则实数m的取值集合是
9. 设集合 P x y, x y, xy ，Q x2 y2 , x2 y2 ,0 ，若 P Q ，求x, y的值及集合P、 Q ．走向高考：
1. （ 07 全国Ⅰ）设a、 b R ，集合 {1,a b, a}
b
（）{0, ,b} ，则 b a
a
2.（ 07 湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P Q { x | x P ，且 x Q} ，如果
P x | log2 x 1 ， Q x | x 2 1 ，那么 P Q 等于（）
3. ( 06 山东 ) 定义集合运算： A⊙ B z z xy x y , x A, y B ，设 A 0,1 ，
B2,3 ，则集合 A⊙ B 的所有元素之和为（）
4.（ 06 江苏）若 A、B 、C为三个集合， AUB BI C ，则一定有（）
5.（ 06 上海文）已知 A { 1,3, m} ， B {3,4} ，若B A , 则实数m
6.（ 05全国Ⅰ）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1U S2U S3 I ，则下面论断正确的是（） A. C I S1I（S2 U S3） B. S1（C I S2I C I S3）
7.（ 04 湖北）设 P { m | 1 m 0} ， Q { m R | mx2 4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立 } ，
则下列关系中成立的是（）。