湖南省十二校高三数学第一次联考 文

湖南十二校2013届高三第一次联考数学（文）试题
由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门一
中；
澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中 联合命题
炎德文化审校、制作
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．已知集合2
{|20},{|1},A x x x B x x =->=>R 为实数集，则()R B A I ð= A ．[O ，1]
B ．（0，1]
C ．（一∞，0]
D ．以上都不对
2．i 是虚数单位，复数21i
i
-+的虚部为 A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
3．若函数2
1
()cos ()2
f x x x R =-∈，则()f x 是 A ．最小正周期为
2
π
的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为2π的偶函数
4．若S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，且S 8－S 4=12，则S 12的值为 A ．22
B ．36
C ．44
D ．64
5．在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,
(10,x y x a ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 A ．3 B ．2
C ．1
D ．－5
6．已知平面上不共线的四点O,A ，B,C ，若430OA OB OC -+=u u u r u u u r u u u r ，则||
||
AB BC u u u r
u u u r = A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．不等式“||1|1x -≥是”是“211og x >”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程22
221x y a b
-=表示焦点在x
轴上且离心率小于
3
2
的椭圆的概率为 A ．
1
2 B ．
1532
C ．
17
32
D ．
3132
9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x （l －y ）．若对任意x>2，不等式（x －a ）⊗x≤a+2都成立，
则实数a 的取值范围是 A ．[一1， 7] B ．（一∞，3] C ．（一∞，7] D ．（一∞，－
1]U[7，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．
10．直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是3cos ,
(1sin ,
x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）
，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 。

11．运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S 的值为 ．
12．观察下列不等式：
12<226
<32612< 则第5个不等式为 。

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 。

14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当
(,0)x ∈-∞时不等式，()'()0f x xf x +<恒成立，若
0.30.333113(3),(13)(13),1199a f b og f og c og f og ππ⎛
⎫⎛
⎫=== ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
则a ，b ，c 的大小关系（用“>”连接）是 。

15．设M 是△ABC 内一点，AB u u u r ·3,30AC BAC =∠=o
u u u r ，定义()(,,),f M m n p = 其中
,,m n p 分别是△MBC，△MAC，△MAB 的面积，若114()(,,),2f M x y a x y =+=则
22
a a
+的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b,c 分别是角A ，B,C 的对边，C= 2A ,cos A=3
4
．
（1）求cos B ，cos C 的值；
（2）若BA u u u r ·272
BC =u u u
r ，求边AC 的长．
17．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从批该零件中随机抽取20个，对
等级 1 2 3 4 5 频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2
个零件等级不相同的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥P —ABC 的侧面PAB 是等边三角形，
D 是AB 的中点，PC= BC=AC=2，2．
（1）求证：AB⊥平面PCD ； （2）求点C 到平面PAB 的距离. 19．（本小题满分13分）
某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广
告费为n 千元时比广告费为（n 一1）千元时多卖出
2
n b 千克*
()n N ∈． （1）当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量s ； （2）试写出销售量s 与n 的函数关系式；
（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
20．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
-=>>的右焦点与抛物线2
2:4C y x =的焦点F 重合，椭
圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，| PF|=5
3
（1）求椭圆C l 的方程；
（2）若过点A （－1，0）的直线与椭圆C 1相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=u u u u r u u u r u u u r
成立
的动点R 的轨迹方程；
（3）若点R 满足条件（2），点T 是圆2
2
(1)1x y -+=上的动点，求 ||RT 的最大值， 21．（本小题满分13分） 已知函数21
()()1(2
f x x a nx a =-+为常数）
． （1）若函数在x=1处的切线斜率为2，求该切线的方程； （2）当x∈（1，3）时，211
()22
f x x a a >+
--恒成立，求a 的取值范围．。