广东省肇庆市实验中学高中数学选修4-4学案：第22课 极

【选修4-4】第22课极坐标与参数方程（综合训练5）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。

3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。

能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。

二、问题探究
■合作探究
例1．在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为
（为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值。

解：（1）点的极坐标化为直角坐标是；
∵点的直角坐标是满足方程，
∴点在直线上。

（2）∵点在曲线上，∴设，
点到直线的距离为：
当时，取最小值，
∴点到直线的距离的最小值是。

三、问题过关
1.设直线经过点，倾斜角为.
（1）求直线的参数方程；
（2）求直线和直线：的交点到的距离；
（3）求直线和圆的两个交点，到点的距离的和与积；（4）求直线被圆截得的弦长。

解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
（2）把直线的参数方程中的，代入直线的方程，
得，解得，
∴直线和直线：的交点到的距离为：。

（3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，得
，
化简，得，则
，，
∴两个交点，到点的距离的和为，距离的积为。

（4）由（3）知，，，
∴直线被圆截得的弦长为：。

2.已知点是圆
上的动点.
（1）求的取值范围；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围。

解：（1）把圆方程配方，得，圆心
，半径
，
设圆的参数方程为（为参数）.
则，
∴
∵，∴，
∴的取值范围是。

（2）∵，
当时，，
∵恒成立，即恒成立，
∴
， ∴实数的取值范围。

1．【10新课标（文23）】（本小题满分10分）已知直线1C ：1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩（t 为参数），
2C ：cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），
（Ⅰ）当3
π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【解】（Ⅰ）当3
π
α=
时，1C
的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=。

由22
1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1110x y =⎧⎨=⎩
，2
212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； ∴1C 与2C 的交点为(1,0)
，1(,2。

（Ⅱ）1C 的普通方程为：sin cos sin 0x y ααα--=。

∵OA 与直线1C 垂直，可得OA 的方程为cos sin 0x y αα+=；
由sin cos sin 0cos sin 0
x y x y ααααα--=⎧⎨+=⎩解得点A 的坐标为：2(sin ,sin cos )A ααα-； ∵P 为OA 中点，
∴当α变化时，P 点的轨迹的参数方程为：
21sin 2
1sin cos 2
x y ααα⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩（α为参数）； ∴P 点的轨迹的普通方程为22
1
1()4
16
x y -+=。

∴P 点轨迹是圆心坐标为1(,0)4，半径为1
4
的圆。

2．【11新课标（文23）】 (本小题满分10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程
为2cos 22sin x y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数）。

M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C 。

（Ⅰ）求2C 的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点的交
点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB 。

【解】（Ⅰ）设(,)P x y ，则由条件知(,)22
x y M 。

∵M 点在1C 上，
∴2cos 222sin 2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩；
∴2C 的参数方程为：4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）。

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=；曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3
π
θ=与1C 的异于极点的交点为A
的极径为14sin 3
π
ρ==， 射线3
π
θ=
与2C 的异于极点的交点为B
的极径为28sin
3
π
ρ==
∴21||||AB ρρ=-=
【另解】曲线1C 的普通方程为22(2)4x y +-=； 曲线2C 的普通方程为22(4)16x y +-=； 射线3
π
θ=
的普通方程为y =（0x ≥）。

解方程组22
(2)4y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩
，得射线3πθ=与1C
的异于极点的交点为A ；
解方程组22
(4)16
y x y ⎧=⎪
⎨
+-=⎪⎩，得射线3πθ=与2C
的异于极点的交点为B 。

∴||AB ==。

3．【12新课标（文23）】(本小题满分10分)已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩，（ϕ
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是
2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极
坐标为(2,
)3
π。

（Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围。

【解】（Ⅰ）∵点A 的极坐标为(2,)3
π
，且正方形ABCD 的顶点A ，B ，C ，D 依逆时针
次序排列，
∴点B ，C ，D 的极坐标分别为：5(2,
)6π，4(2,)3π，11(2,)6
π。

∴点A ，B ，C ，D
的直角坐标分别为：
，(
，(1,-
，1)-。

（Ⅱ）设00(,)P x y 。

∵P 点在曲线1C 上，∴00
2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ
为参数）。

∵22222000000||(1)(24PA x y x y x =-+=+--+，
22222000000||((1)24PB x y x y y =+-=++-+
22222000000||(1)(24PC x y x y x =++=++++
22222000000||((1)24PD x y x y y =++=+-++
∴2222||||||||PA PB PC PD +++=22
004416x y ++=220sin 32ϕ+，
∵20sin 1ϕ≤≤，∴23220sin 3252ϕ≤+≤，
∴2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围是[32,52]。

4．【13新课标Ⅰ（文23）】（本小题10分）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t
y t =+⎧⎨=+⎩
(t
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2sin ρθ=。

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）。

【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两
曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。

【解】（Ⅰ）将曲线1C 的参数方程45cos 55sin x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数）消去参数t ，
得曲线1C 的普通方程为22810160x y x y +--+=；
∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，
∴22(cos )(sin )8cos 10sin 160ρθρθρθρθ+--+= 即28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，
∴1C 的极坐标方程为：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=。

（Ⅱ）将2C 的极坐标方程为2sin ρθ=化为普通方程得：2220x y y +-=；
由2222
81016020
x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩；
∴1C 与2C 交点的极坐标)4π
，(2,)2
π。

5．【13新课标Ⅱ（文23）】（本小题满分10分）已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t
y t
=⎧⎨
=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

【解】（Ⅰ）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos 2,2sin 2)Q αα， ∴(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++，
∴M 的轨迹的参数方程为：cos cos 2sin sin 2x y αα
αα
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数，02απ<<）。

（Ⅱ）M 到坐标原点的距离：d =
=
∵当απ=时，0d =，∴M 的轨迹过坐标原点。

6．【14新课标Ⅰ（文23）】（本小题满分10分）已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨
=-⎩
(t 为参数）。

（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为030的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值。

【解】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数），
直线l 的普通方程为：260x y +-=。

（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为：
|4cos 3sin 6|5
d θθ=
+-，
∴0
|||sin()6|sin 305
d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4tan 3α=。

当sin()1θα+=-时，||PA ；
当sin()1θα+=时，||PA
7．【14新课标Ⅱ（文23）】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程2cos ρθ=，[0,]2
π
θ∈。

（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：2y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。

【解】（Ⅰ）∵半圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=，[0,
]2
π
θ∈，
∴半圆C 的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=（[0,2]x ∈，[0,1]y ∈）。

令1cos [1,1]x α-=∈-，sin y α=，[0,]απ∈，
∴半圆C 的参数方程为：1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（[0,]απ∈）。

（Ⅱ）∵曲线C 在D 处的切线与直线l
：2y +垂直， ∴直线CD 和直线l 平行，∴直线CD 和直线l 斜率相等； 设点D 的坐标为(1cos ,sin )αα+， ∵(1,0)C ，
∴
sin 0
(1cos )1
αα-=+-
解得tan α=[0,]απ∈，∴3
π
α=。

∴点D
的坐标为3(2。

8．【15新课标Ⅰ（文23）】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：
22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程。

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为4
π
θ=（R ρ∈），设2C ，3C 的交点为M ，N ，求2CM N ∆
的面积。

【解】（Ⅰ）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴1C 的极坐标方程为：cos 2ρθ=-；
2C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

（Ⅱ）由24
2cos 4sin 40
πθρρθρθ⎧
=
⎪⎨⎪--+=⎩
，解得1ρ=
，2ρ=
∴12||MN ρρ=-= ∵圆2C 的半径为1，
∴2C MN ∆
的面积为：20111sin 4522
C MN S ∆=⨯=。

9．【15新课标Ⅱ（文23）】在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t α
α=⎧⎨
=⎩
(t 为参数，且0t ≠），
其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C ：2sin ρθ=，3C
：
ρθ=。

（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A , 1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值。

【解】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=， 曲线3C
的直角坐标方程为：220x y +-=。

由2
2
22
200
x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩
或232
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)
，3)2。

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为：θα=（R ρ∈，0ρ≠），其中0απ≤<； ∴点A 极坐标为(2sin ,)αα，点B
极坐标为,)αα；
∴|||2sin |4|sin()|3
AB π
ααα=-=-，
∵0απ≤<，∴23
3
3
π
π
πα-≤-
<
， ∴当3
2
π
π
α-=
，即56
π
α=
时，||AB 取得最大值，最大值为4。