浙江省温州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

浙江省温州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=+=+,
可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=++=+
,
48
a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
2．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174
【答案】C
【解析】
【分析】
根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝
⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.
【详解】
由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩
其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304
k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．
①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44
x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π 2.5π44
x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44
x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为1054
． 故选:C
【点睛】
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
3．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．
A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】
解：根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了
(21)
(1)(2)()
2
n k k
n n n k
--⨯
-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下
(1)
123(1)
2
k k
k
⨯-
+++⋯⋯-=件邮件，
则
(21)(1)
()
22
k
n k k k k
a k n k
--⨯⨯-
=-=-，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．
4．设实数满足条件则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
5．已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln21--
B ．1ln2-+
C ．ln 2-
D ．ln 2 【答案】A
【解析】
令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，
令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12
x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．
6．函数()1log 1
a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】
()()()log 11log log 101log 0.a a a a
x x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，， 故选C ．
【点睛】
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 7．已知函数()(N )k f x k x
+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．5 【答案】A
【解析】
【分析】 根据条件将问题转化为ln 11x k x x
+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x
的范围，进一步得到k 的最大值.
【详解】
()(N )k f x k x
+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，
∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k c c
+>-恒成立， ln 11x k x x
+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1
x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x
'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，
故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=，
当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减；
当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.
000min 00ln ()()1
x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得： 000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴==
=-， N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，
3k ∴≤
故选：A
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 8．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
【答案】B
【解析】
【分析】
通过27.218
K≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:27.218 6.635
K≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
9．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数
频率
求出
班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是
18
0.30
=60（人）.
故选：D. 【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=
频数
样本容量
的应用问题，属于基础题
10．已知12log 13a =1314
12,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
【答案】D
【解析】
【分析】 由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.
【详解】 根据指数函数的图像与性质可知1314
120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，
由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；
而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-
lg13lg14lg12lg13
=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13
-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦
，代入上式可得 ()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13
⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅ 221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅
11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13
⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅
(
(lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=
>⋅
所以a c >，
综上可知a c b >>，
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.
11．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43
π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A ．22
B ．3
C ．212
D ．312
【答案】D
【解析】 【分析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】 设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，
由题意，球的体积为
43
π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1， 2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12， 利用球的性质可得2221
31()2O O '=-=， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为
12， 31312++=. 故选：D.
【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
12．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( )
A ．3
B ．13-
C ．12-
D ．1-
【答案】B
利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案.
【详解】
由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13a =-.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。

问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。

问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.
【答案】10 900
【解析】
【分析】
由题意列出方程组，求解即可.
【详解】
由题意可得100100900
x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得10y 900x ==，. 故答案为10 900
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.
14．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =
，c =
，cos 2
A =，则b =_____________
【答案】2或4
【解析】
试题分析：由cos A =
，则可运用同角三角函数的平方关系：1sin 2A ==， 已知两边及其对角，求角C
．用正弦定理；
001sin 2,sin 60120sin sin 2a c c A C C A C a
=====或， 则；0000030,60120,9030,A C B ===或或可得24b =或．
考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）
15．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为1
6
，则实数a =____。

【答案】13
a =或1 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与x 轴和x a =的交点，由三角形的面积公式可得所求值． 【详解】
3y x =的导数为23y x '=，
可得切线的斜率为3，切线方程为13(1)y x -=-，
可得32y x =-，可得切线与x 轴的交点为2
(3
，0)，切线与x a =的交点为(,32)a a -，
可得121·32236a a --=，解得1a =或13。

【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。

16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
213
x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实
数p 的值为________. 【答案】14
【解析】 【分析】
求出双曲线2
213
x y -=的右准线与渐近线的交点坐标，
并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数p 的方程. 【详解】
双曲线2213x y -=的半焦距为2
，则双曲线22
13x y -=的右准线方程为32x =，渐近线方程为
y x =，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为3,2⎛ ⎝⎭
.
由题意得2
3
222p ⎛⎫±=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
，解得14p =.
故答案为：14
. 【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°. （1）求△ABC 的面积；
（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠. 【答案】（1
）2；（2
）
434
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，可得△ABC 为直角三角形，然后可计算b ，可得结果.
（2）计算,AE AD ，然后根据余弦定理，可得cos DAE ∠，利用平方关系，可得结果. 【详解】
（1）△ABC 中，由csinC ＝asinA+bsinB ，
利用正弦定理得c 2＝a 2+b 2，所以△ABC 是直角三角形. 又a ＝3，B ＝60°
,
所以tan 60b a ==o 所以△ABC
的面积为12S ab =
=
. （2）设D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝EC ＝
1.
AE ==
AD ==
所以222cos 2AE AD DE DAE AE AD +-∠==
⋅
所以sin 434
DAE ∠==. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属基础题.
18．试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
． 【答案】y ＝2sin2x ． 【解析】
【分析】
计算MN 11
10002202010
2⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
，计算得到函数表达式. 【详解】
∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin2x ． 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力. 19．已知函数2()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）
（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()
211221
m x x f x f x x x -->恒成立，求
出实数m 的取值范围.
【答案】（1）极小值为2-，极大值为5
ln 24
--.（2）(],1710-∞- 【解析】 【分析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数a ，再对函数求导，即可求得函数的极值； （2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数()()m
h x f x x
=-，根据()h x 是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果. 【详解】
（1）函数2
()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞，
1
()23f x ax x
'=
+-，(1)1230f a '=+-=，1a =， 可知2
()ln 3f x x x x =+-，21231
()230x x f x x x x
-+'=+-==，
解得11x =，21
2
x =
，
可知在10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-， 极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=--
⎪⎝⎭
. （2）()()()211221m x x f x f x x x -->
可以变形为()()12
1
2m m f x f x x x ->-， 可得()()1212
m m
f x f x x x -
>-， 可知函数()m
f x x -
在[]1,10上单调递减 2()()ln 3m m
h x f x x x x x x =-=+--，
21()230m
h x x x x
'=+-+≤，
可得3223m x x x ≤-+-， 设3
2
()23F x x x x =-+-，
2
211()6616022F x x x x ⎛
⎫'=-+-=--+< ⎪⎝
⎭，
可知函数()F x 在[]1,10单调递减，
32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，
可知1710m ≤-，
可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-. 【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
20．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥
平面
, ,2,PAB PA PB AB BC AD BD =====
（1）求证：PA ⊥平面PBC ；
（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析（26
【解析】 【分析】
（1）根据BC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的定义可得BC PA ⊥，再由PA PB ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证出.
（2）取AB 的中点O ，连接,OP OD ，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz -求出平面PAD 的一个法向量，利用空间向量法即可求解. 【详解】
()1因为BC ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，
所以BC PA ⊥
由PAB ∆为等腰直角三角形， 所以PA PB ⊥
又PB BC B ⋂=，故PA ⊥平面PAB .
()2取AB 的中点O ，连接,OP OD ，
因为, PA PB AD BD ==， 所以,PO AB DO AB ⊥⊥， 因为BC ⊥平面PAB ， 所以PAB ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面,ABCD PO OD ⊥，
如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz - 则 1AO BO PO ===， 22 2DO AD AO =
-=，
又,BC AB DO PA ⊥⊥， 所以//OD BC 且,OD BC =于是
()()()(),,0,0,10,1,02,0,02,10,,P A D C - ()()()2,1,10,1,12,,,,10PC AP AD =-==u u u r u u u r u u u r
， 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r
，则 ·0·20n AP y z n AD x y ⎧=+=⎨=+=⎩
u u u v v u u u v v 令1x =得平面PAD 的一个法向量()1,2,2n =-r
设直线PC 与平面PAD 所成的角为α，
则
6
sin cos ,63PC n PC n PC n
α====u u u r r
u u u r r g u u u r r g g
【点睛】
本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.
21．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
安全意识强 安全意识不强 合计
男性 女性 合计
（Ⅰ）求a 的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数X 的分布列及期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
()2P K k ≥ 0.010 0.005
0.001 k
6.635
7.879
10.828
【答案】（Ⅰ）0.016a =.0.2（Ⅱ）见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，
25
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.
（Ⅱ）完善列联表，计算297.879K =>，对比临界值表得到答案. （Ⅲ）X 的取值为0,1,2,，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
（Ⅰ）10(0.00420.0080.0220.028)1a ⨯+++⨯+= ，解得0.016a =.
所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率0.160.040.2P =+=. （Ⅱ）
22
(1646434)10097.87920805050
K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关 （Ⅲ）X 的取值为0,1,2,
21622060(0),95C P X C ===1116422032
(1),95C C P X C ===242203
(2),95
C P X C ===
所以X 的分布列为
期望()95955
E X =+=. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数()()2
ln 2f x a x x x x =-+-．
（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值； （2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：
()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】
【分析】
首先确定函数的定义域和()f x '；
（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明12
112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论. 【详解】
由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x
-+⎛⎫
'=-
+-= ⎪⎝
⎭， （1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x
--'=
，
∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，
()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，
()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.
（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即证：()()()1212122x x f x f x f x x '
+⎛⎫
-<-
⎪⎝⎭
， 即证：()()22
112222
11ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝
⎭， 化简可得：()121212
2ln
a x x x a x x x ->+．
0a >Q ，
()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭>+， 设12
1x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()
2
2
101t h t t t -'=>+，
()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112
221ln 1x x
x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，
从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题. 23．已知圆M
：
(
2
264x y ++=
及定点()
N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G
在MA 上，且满足2NA NB =u u u r
u u u r
，0GB NA ⋅=u u u r u u u r
，点G 的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程；
（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线1
2y x =和12
y x =-分别交于P 、Q 两点.当1
2
k >
时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】（1）22
1164
x y +=；
（2）()8,+∞. 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到GB 是线段AN 的中垂线，从而GM GN +为定值，根据椭圆定义可知点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，即可求出曲线C 的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围. 【详解】
（1）20NA NB B GB NA ⎧=⇒⎨⋅=⎩
u u u v u u u v
u u u v u u u v 为AN 的中点，且GB AN GB ⊥⇒是线段AN 的中垂线， AG GN ∴=
，又
8GM GN GM GA AM MN
+=+==>=，
∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，
设椭圆方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
则4a =
，c =
，2b ∴=，
所以曲线C 的方程为22
1164
x y +=. （2）设直线l ：y kx m =+（12
k ≠±）， 由22416
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以()()2222644144160k m k m ∆=-+-=，22164m k =+.①
又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭；同理可得2,1212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由原点O 到直线PQ
的距离为d =
P Q PQ x =-， 可得22
111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.② 将①代入②得222224181441OPQ
m k S k k ∆+==--， 当2
14k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞.
【点睛】
此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.。