2023北京丰台高三二模数学

2023北京丰台高三二模
数
学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项.
1. 已知集合A =-1,0，1,2 ,B ={x ∣-1<x ≤1}，则A ∩B =()
A . {1}
B . {0,1}
C . {-1,0,1}
D . {-1,0,1,2}
2. 若复数z =i (i -1)，则|z -1|=(
)
A . -2-i
B . -i
C . 5
D . 5
3. 已知数列a n 的前n 项和为S n ，若S n =n 2
-1，则a 3=(
)A . -5
B . 5
C . 7
D . 8
4. 若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为()
A .
3π
3
B .
2π3
C . 3π
D . 2π
5. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若E 为AD 的中点，则CE
=(
)
A . -14AB
-54
AC
B . -14AB -34
AC C . 14AB -54AC D . 14AB
-34AC
6. 已知圆C :x 2+y 2-6x +8=0，若双曲线y 2
-x 2m
2=1(m >0)的一条渐近线与圆C 相切，则m =(
)
A . 18
B . 24
C . 22
D . 8
7. 为了得到函数y =log 2(2x -2)的图象，只需把函数y =log 2x 的图象上的所有点()
A . 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B . 向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C . 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D . 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
8. 已知A ，B 是△ABC 的内角，“△ABC 为锐角三角形"是“sin A >cos B ”的()
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
9. 已知函数f (x )=12-1
2x +1
，f (x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是(
)
A . f (-x )-f (x )=0
B . f
(x )<0
C . 若0<x 1<x 2，则x 1f x 2 >x 2f x 1
D . 若0<x 1<x 2，则f x 1 +f x 2 >f x 1+x 2
10. 已知A ，B ，C 是单位圆上的三个动点，则AB ⋅AC
的最小值是()
A . 0
B . -1
2
C . -1
D . -2
第二部分(非选择题110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在(2x +1)4
的展开式中，x 2
的系数为__________．(用数字作答)
12. 已知点P (0,2)，直线l :x +2y -1=0，则过点P 且与直线l 相交的一条直线的方程是______．13. 若函数f (x )=sin x -cos2x ，则f π
6
=__________，f (x )的值域为__________．14. 在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
15. 已知函数f (x )=|cos2x |+1．给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的一条对称轴方程为x =
π
4
；③若函数g (x )=f (x )+b (b ∈R )在区间0,9π8
上有5个零点，
从小到大依次记为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，则x 1+2x 2+x 3+x 4 +x 5=5π；
④存在实数a ，使得对任意m ∈R ，都存在x 1,x 2∈-π6
,0 且x 1≠x 2，满足af x k =f (m )+
1
f (m )
(k =1,2)．其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在四边形ABCD 中，AB =1，CD =DA =2，BC =3，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD 的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
条件①：cos ∠DBC =
5
3
；条件②：∠DCB +∠DAB =π．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，平面ABF⎳平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1．
(1)求证：AF⎳DE；
(2)求点F到平面BCE的距离；
(3)过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度．
18. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；
(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为μ0，其中年龄在40岁以下(含40岁)教师得分的平均值记为μ1，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为μ2，请直接写出μ0,μ1,μ2的大小关系．(结论不要求证明)
19. 已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过两点A(-2,0),B3,12
.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点M(1，0)满足MF⊥ME，求证：P，O，Q三点共线．
20. 已知函数f(x)=(x+a)e x(a∈R)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)是增函数，求a的取值范围；
(3)证明：f(x)有最小值，且最小值小于f(1)．
21. 已知等比数列a n
的公比为q(q≠1)，其所有项构成集合A，等差数列b n
的公差为d(d≠0)，其所有项构成集合B．令C=A∪B，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列c n
．
(1)若集合C={1,3,4,5,6,7,9}，写出一组符合题意的数列a n
和b n
；
(2)若a n=2n-1n∈N*
，数列b n
为无穷数列，A∩B=∅，且数列c n
的前5项成公比为p的等比数列．当b1<a5时，求p的值；
(3)若数列b n
是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列a n
，使A⊆B”的充要条件是“d是正有理数”．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. B
2.C
3. B
4. A
5. D
6. C
7.D 8. A 9.D 10. B
第二部分(非选择题110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.24.
12.y =x +2(答案不唯一)．13.
①. 0
②. -98,2
14.80
15.②③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.【1】
选①，由余弦定理得cos ∠DBC =DB 2+BC 2-CD 22DB ⋅BC
=DB 2+9-46DB =5
3，
解得BD =5，
选②，在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠BAD =AB 2+AD 2-BD 22AB ⋅AD
=1+4-BD 24=5-BD 2
4，
在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠BCD =CD 2+BC 2-BD 22CD ⋅BC
=4+9-BD 212=13-BD 2
12，
因为∠DCB +∠DAB =π，所以cos ∠BAD +cos ∠BCD =0，即5-BD 24+13-BD 212
=0，解得BD =7.
【2】
选①，BD =
5，sin ∠DBC =1-cos 2∠DBC =
2
3
，故S △BCD =12BD ⋅CB sin ∠DBC =12×5×3×2
3
=5，
在△ABD 中，AB 2+AD 2=BD 2，所以AB ⊥AD ，故S △ABD =12AB ⋅AD =1
2
×1×2=1，
所以四边形ABCD 的面积为5+1；
选②，BD =7，故cos ∠BAD =5-74=-12，故∠BAD =2π
3
，
因为∠DCB +∠DAB =π，所以∠BCD =π
3
，
故S △ABD =12AB ⋅AD sin ∠BAD =12×1×2×32=3
2，
S △BCD =12BC ⋅CD sin ∠BCD =12×2×3×32=33
2
，
故四边形ABCD 的面积为32+33
2
=23.
17. 【1】
因为平面ABF ⎳平面CDE ，A ，D ，E ，F 四点共面，
且平面ABF ∩平面ADEF =AF ，平面CDE ∩平面ADEF =DE ，所以AF ⎳DE .【2】
因为DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，
如图建立空间直角坐标系，则F 2,0,1 ，B 2,2,0 ，C 0,2,0 ，E 0,0,2 ，
则CB =2,0,0 ，CE =0,-2,2 ，CF =2,-2,1 ，
设平面BCE 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅CB
=2x =0n ⋅CE
=-2y +2z =0
，令y =1，则n
=0,1,1 ，所以点F 到平面BCE 的距离d =n ⋅CF n
=2
2
.
【小问3详解】
因为过点F 与CE 垂直的平面交直线BE 于点P ，所以CE ⊥FP ，
设EP =λEB ，因为EB =2,2,-2 ，所以EP
=λ2,2,-2 =2λ,2λ,-2λ ，FE
=-2,0,1 ，
所以FP =FE +EP
=-2,0,1 +2λ,2λ,-2λ =2λ-2,2λ,1-2λ ，
所以CE ⋅FP =-2×2λ+2×1-2λ =0，解得λ=14
，
所以EP =14EB =14×22+22+-2 2=32
.
18. 【1】
根据表格中数据，完善表格，
可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为
7
100
，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为2000×
7
100
=140；
【2】
男女比例为20:80=1:4，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为820=2
5
，女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为
4080=1
2
，抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，
则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为2
5×1-
1
2
4=140，
1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为1-2 5
×C14×12×1-12
3=320，
故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为1
40+
3
20=
7
40；
【3】
μ0=7×0+45×2+48×4
100=2.82，μ1=1×0+19×2+35×4
55=
178
55，
μ2=6×0+26×2+13×4
45=104 45，
因为178
55>2.82>
104
45，所以μ1>
μ0>μ2.
19.
【1】
将A(-2,0),B3,
1
2
代入椭圆方程，
4
a2
=1
3
a2
+1
4b2
=1
，
解得
a2=4
b2=1
，故c2=a2-b2=4-1=3，c=3，
所以椭圆C的方程为
x2
4+y
2=1，离心率为c
a=
3
2；
【2】
法1：设点P x1,y1
，Q x2,y2
x1≠±2,x2≠±2
，
所以直线PA的方程为：y=
y1
x1+2x+2
，直线AQ的方程为：y=
y2
x2+2x+2
，所以点E0,
2y1
x1+2
，F0,2y2x
2
+2
．
ME
=-1,
2y1
x1+2
，MF =-1,2y2x
2
+2
因为ME⊥MF，所以ME
⋅MF
=0
即ME
⋅MF
=1+
4y1y2
x1+2
x2+2
=0①
当直线PQ无斜率时，设x=m，
则x1=x2=m，y1⋅y2=-y21=
m2
4-1
代入①得：1+4m 24
-1 m 2+4m +4
=0，解得：m =0，
所以P ，O ，Q 三点共线．
当直线PQ 有斜率时，设y =kx +n k ≠0 ，由y =kx +n
x 24
+y 2
=1
得：1+4k 2 x 2+8knx +4n 2
-4=0所以Δ=64k 2n 2-41+4k 2 4n 2-4 >0x 1+x 2=-8kn 1+4k 2
x 1⋅x 2=4n 2-41+4k 2
y 1⋅y 2=kx 1+n kx 2+n =k 2x 1x 2+kn x 1+x 2 +n 2=k 24n 2-4 1+4k 2-8k 2n 21+4k 2+n 2=n 2-4k 21+4k 2
，
代入(1)得：4n 2-41+4k 2-16kn 1+4k 2+4+4n 2-16k 2
1+4k
2
=0，解得：n =0或n =2k .
当n =2k 时，直线PQ 的方程：y =k x +2 ，不符合题意．故n =0，所以P ，O ，Q 三点共线．综上，P ，O ，Q 三点共线．
法2：设点P x 0,y 0 x 0≠±2 ，点F 0,n ，直线PA 的方程为：y =
y 0
x 0+2
x +2 ，所以点E 0,
2y 0
x 0+2 ．
ME =-1,2y 0x 0+2 ，MF =-1,n ，
因为ME ⊥MF ，所以ME ⋅MF
=0，
所以1+2y 0n x 0+2=0，即n =-x 0+2
2y 0
，
所以直线AF 的方程为：y =-x 0+2
4y 0
x +2 ，
要证P ，O ，Q 三点共线，由椭圆的对称性，只需证Q -x 0,-y 0 在直线AF 上．
又因为x 204
+y 20=1，所以x 20-4=-4y 20，所以-x 0+24y 0-x 0+2 =
x 02
-44y 0
=-y 0，所以Q -x 0,-y 0 在直线AF 上，所以P ，O ，Q 三点共线．
法3：由题意得A -2,0 ，不妨令E 点在x 轴上方，因为MF ⊥ME ，所以∠EMO +∠FMO =90°，
又因为∠EMO +∠MEO =90°，所以∠FMO =∠MEO ，所以Rt △EOM ∽Rt △MOF ，故
EO MO
=
MO OF
，即OE ⋅OF =1，
设OE =m ，则OF =
1
m
，则直线AE 方程为y =m 2x +m ，与x 2
4+y 2=1联立得1+m 2 x 2+4m 2x +4m 2-4=0，
设P x 1,y 1 ，则-2x 1=4m 2-41+m 2，解得x 1=2-2m 21+m 2，则y 1
=m 2⋅2-2m 21+m 2+m =2m
1+m 2
，直线AF 方程为y =-12m x -1m ，与x 2
4+y 2=1联立得m 2+1 x 2+4x +4-4m 2=0，
设Q x 2,y 2 ，则-2x 2=4-4m 2m 2+1，解得x 2=2m 2-2m 2+1，则y 2=-12m ⋅2m 2-2m 2+1-1m =-2m
m 2+1，故x 1+x 2=0，y 1+y 2=0，
所以P ，Q 关于原点对称，P ，O ，Q 三点共线.20.【1】
当a =0时，f (x )=
x e x ，f (1)=e ，
f (x )=12x
+x
e x ，故f
(1)=12+1
e =3e
2
，所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -e =3e 2x -1 ，
即y =3e 2x -e
2
；【2】
f (x )=(x +a )e x (a ∈R )定义域为0,+∞ ，f (x )=1
2x
+x +a e x ，
若f (x )是增函数，则f
(x )≥0恒成立，故12x
+x +a ≥0，
即12x +x ≥-a ，其中12x +x ≥212x ⋅x =2，当且仅当12x
=x ，即x =12时，等
号成立，故2≥-a ，解得a ≥-2，
a 的取值范围是-2,+∞
【3】
f (x )=(x +a )e x (a ∈R )定义域为0,+∞ ，
f (x )=12x +x +a e x =2x +2a x +12x
⋅e x
，
结合(1)可知，当a ≥-2时，f (x )是增函数，故f (x )在x =0处取得最小值，且最小值小于f (1)，
当a <-2时，令f
(x )=0得，2x +2a x +1=0，该方程有两个正实数根，设为x 1,x 2,x 1<x 2，由韦达定理得
x 1⋅x 2=
12，即x 1x 2=1
4
，令f
(x )>0得，x <x 1，或x >x 2，令f
x <0得，x 1<x <x 2，随着x 的变化，f
x ,f x 的变化情况如下：
x 0,x 1 x 1
x 1,x 2 x 2
x 2,+∞
f x +0-0+f x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f x 的极小值为f x 2 ，故f x 的最小值为min f 0 ,f x 2 ，记为f x 0 ，
当x 2≠1时，若x 1>1，则x 2>1，此时与x 1x 2=1
4
矛盾，舍去，所以x 1∈0,1 ，则1∈x 1,x 2 或x 2,+∞ ，
故f x 2 <f 1 ，所以min f 0 ,f x 2 肯定小于f 1 ，所以f x 0 <f 1 ，当x 2=1时，f
1 =0，所以a =-32，此时f 0 =-32，f (1)=-1
2
e ，
f 0 -f 1 =-32+1
2
e <0，即
f 0 <f 1 ，故此时f x 0 <f 1 ，综上，f (x )有最小值，且最小值小于f (1)21.【1】
取a n 为4,6,9；b n 为1,3,5,7，
则a n 满足：64=9
6
，故4,6,9为等比数列.
而3-1=5-3=7-5=2，故1,3,5,7为等差数列，
故此时a n ，b n 符合题意.【2】
因为集合C 中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列c n ，故c n 中各项均为正数，所以b n 中的各项均为正数，而b n 为无穷等差数列，故d >0.
设c n 的前5项为：1,p ,p 2
,p 3
,p 4
p >1 ，
因为b 1<a 5，a 1=c 1=1，A ∩B =∅，所以b 1∈p ,p 2
,p 3
,p 4
，
此时必有c 2=b 1=p ，事实上，若c 2=a 2，则c n 的前5项即是a n 的前5项，与b 1∈p ,p 2
,p 3
,p 4
矛盾．所以c 3=a 2或c 3=b 2．若c 3=a 2，则p 2=2，所以p =2，此时c n 的前5项为1，2，2，22，4，即b 1=
2，b 2=22，所以数列b n 的公差为d =b 2-b 1=2，
因为b 3=32>a 2，所以p =2符合题意；
若c 3=b 2，则c 4=b 3或c 4=a 3
①c 4=b 3时，有p ，p 2
，p 3
成等差数列，所以2p 2
=p +p 3
，解得p =1，与p >1矛盾；②c 4=a 3时，有p 3
=2，所以p =
3
2，所以c n 的前5项为1，32，3
4，2，232，
因为23
2∉A ，所以23
2∈B ，即b 3=23
2，所以b 1+b 3=
3
2+232=332,2b 2=234，故b 1+b 3≠2b 2，与b n 为等差数列矛盾．所以c 3=b 2不可能．综上，p 的值为2．
【3】
因为数列b n 是首项为1的无穷数列，由(2)知，数列b n 是递增的数列；对于公比不为1的无穷数列a n ，必有a 1≥1，q >1．否则，若q 为负，则a n 相邻两项必有一项为负，这与c n 中的最小项为c 1=1矛盾；
若0<q <1，则当n >1-ln a 1ln q
时，a 1q n -1
<a 1q 1-ln a
1
ln q -1=1，
即a n <1，这与c n 中的最小项为c 1=1矛盾．先证明充分性：
当d 是正有理数时，因为数列b n 是递增的等差数列，所以d >0，
设d =
s t
(s ，t ∈N *，s ，t 互质)，则s =td ，令a n =1+s n -1，则a 1=1，a 2=1+s =1+td =b t +1，当n ≥3时，
a n =1+C 1n -1s +C 2n -1s 2+⋯+C r n -1s r +⋯+C n -1n -1s
n -1=1+C 1n -1+C 2n -1s +⋯+C r n -1s r -1+⋯+C n -1n -1s
n -2 td 所以数列a n 的第n 项是数列b n 的第C 1n -1+C 2n -1s +⋯+C r n -1s r -1+⋯+C n -1n -1s
n -2 t +1项，所以数列a n 中的项都是数列b n 的项，即A ⊆B ．
再证明必要性：假设d 是正无理数，因为A ⊆B ，即数列a n 中的项都是数列b n 的项，故b 1=1.令a 1=b i +1，a 2=b j +1，a 3=b k +1(i ，j ，k ∈N )，则a 1=1+id ，a 2=1+jd ，a 3=1+kd ，且i <j <k ，因为a 22=a 1a 3，即1+jd 2=1+id 1+kd ，整理得：2jd +j 2d 2=i +k d +ikd 2，约去d 有2j +j 2d =i +k +ikd ，因为i ，j ，k ∈N *，且d 是无理数，所以2j =i +k j 2=ik
，消去j 并整理得i -k 2=0，故i =k ，与i <j <k 矛盾，所以假设不成立，即d 是有理数．综上所述，“存在数列a n ，使A ⊆B ”的充要条件是“d 是正有理数”
·11/11·。