辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2021届高三12月联考数学(文)试题

辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考数
学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{}2|40A x x x =->，{}2,2,4,6B =-，则A B =（ ）
A ．∅
B ．{}2,4,6
C ．{}2,4,6-
D ．{}2,6- 2．若i 为虚数单位，则复数132i z i
--=
-的虚部为（ ） A ．76 B ．76- C ．75 D ．75- 3．“0x ∀>，2sin x x >”的否定是( )
A ．0x ∀>，2sin x x <
B ．0x ∀>，2sin x x ≤
C ．00x ∃≤，002sin x x ≤
D ．00x ∃>，002sin x x ≤ 4．cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒︒
等于（ ） A
． B ．12- C ．12 D
5．若实数x ，y 满足不等式组20,210,0,x y x y y ++≥⎧⎪++<⎨⎪≥⎩1(,)1m y x =+，1(,2)1n x =-+，则m n ⋅的取值范围为（ ）
A ．1(,)2+∞
B ．[2,)+∞
C ．1[,2)2-
D ．1
(,)[2,)2-∞-+∞
6．将函数()cos()6f x mx π=-
（0m >）的图象向左平移6π
个单位长度后得到函数图
象的解析式为（ ） A ．1()cos()6
m f x mx π-=+ B ．()cos f x mx = C ．1()cos()6m f x mx π+=- D ．()cos()3f x mx π
=-
7．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入x 的值为（ ）
A ．0
B ．1-或1
C ．1-
D ．1
8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点(,0)a 到渐近线b y x a =的距离为2b ，则双曲线C 的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）
A ．3
B ．3
C ．163π
D ．43
π 10．已知函数()2ln ||f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知抛物线22y px =，直线l 过抛物线焦点，且与抛物线交于A ， B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定 12．已知函数3()|log |f x x =，32()694g x x x x a =-+-+，若对任意[]11,3x ∈，均存在[]21,3x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,4
B ．(,1)-∞
C ．(4,)
+∞
D ．(,1)(4,)-∞⋃+∞
二、填空题
13．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________． 14．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________.
15．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =75A =︒，
cos 2
B =，则b =__________． 16．设12,F F 分别是椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．
三、解答题
17．已知在数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．
18．“糖尿病”已经成为日渐多发的一种疾病，其具有危害性大且难以完全治愈的特征．为了更好的抑制“糖尿病”多发的势头，某社区卫生医疗机构针对所服务居民开展了免费测血糖活动，将随机抽取的10名居民均分为A ，B 两组（A 组：
4.3,
5.1,4.6,4.1,4.9；B 组：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5）．
（1）通过提供的数据请判断哪一组居民的血糖值更低；
（2）现从B 组的5名居民中随机选取2名，求这2名中至少有1名的血糖值低于4.5的概率．
19．如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，
22AB EF ==，
沿着AB 将图形折成图2，其中90AED ∠=，,AE ED H =为AD 的中点.
（Ⅰ）求证：EH BD ⊥；
（Ⅱ）求四棱锥D ABFE -的体积.
20．已知以点C 2(,)t t
（t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．
（1）求证：△OAB 的面积为定值；
（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 21．已知函数22ln ()mx m x x f x x
--=，2()e g x x =． （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；
（2）当0m >时，若存在[]01,x e ∈使得00()()f x g x >成立，求实数m 的取值范围． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C
：,x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C
：
y t x t
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．
（1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；
（2）若点P 在曲线1C 上，求点P 到直线l ：0x y +-=距离的最大值．
23．已知函数()()240f x x m x m m =--+>.
（1）当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；
（2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】 集合{}
240A x x x =- ()()4,,0=+∞⋃-∞,{} 2,2,4,6B =-，则{}2,6A B ⋂=-,故选D.
点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2．D 【解析】复数131322i i z i i --+=
=-- ()()()()13217225i i i i i ++-+==-+-,虚部为75-,故选D. 3．D
【分析】
通过命题的否定的形式进行判断．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是“00x ∃>， 002sin x x ≤”.
故选D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属基础题.
4．C
【解析】 ()
1cos 25cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos3012cos 25cos 25cos 252+++===，故选C 。

5．A
【解析】
画出可行域如图所示,令z m n =⋅=
211
y x x -++,化简得()12y z x =++,即过定点(-1,2)的直线系的斜率的取值范围,由图知当直线过定点(-1,2)与交点(-3,1)连线时斜率为12,此时斜率最小,则m n ⋅的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,故选A.
6．A
【解析】
()1cos cos 666m f x m x mx πππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 7．C
【解析】
当0x ≤时，2
10y x =-+=，则1x =-；
当0x >时，320x y =+=，无解，
所以1x =-，故选C ．
8．A
【解析】
2b d =
=，所以12
a c =，即2c e a ==，故选A ． 9．B 【解析】
设AC m =，则BC ，
1114433
B A AC
C V m -=⨯=
所以当11B A ACC V -体积最大， ()22
422m m +-=≤=，当且仅当m =
所以，AC BC ==D ===
所以R =3433
V R π==，故选B 。

10．A
【解析】 当0x <时，()()2ln f x x x =--，()()11'2120f x x x
=-⋅-=->-，所以()f x 在(),0-∞单调递增，则B 、D 错误；
当0x >时，()2ln f x x x =-，()121'2x f x x x -=-=，则()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，所以A 正确，故选A 。

点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象。

由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象。

图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项。

11．C
【解析】
取AB 的中点M,分别过A,B,M 作准线的垂线AP,BQ,MN,垂足分别为P,Q,N,如图所示,由抛物线的定义可知, ,AP AF BQ BF ==,在直角梯形APQB 中, ()12MN AP BQ =+()1122
AF BF AB =+=,故圆心M 到准线的距离等于半径,所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,故选C.
点睛:本题考查直线与圆的位置关系以及抛物线的定义的应用,属于中档题. 以线段AB 为直径的圆的圆心为AB 中点M,圆心到抛物线准线的距离为MN,由图可知MN 为梯形APQB 的中位线,即()12
MN AP BQ =+,再根据椭圆的定义可得2AB r AF BF AP BQ ==+=+,圆心M 到准线的距离等于半径,故直线与圆相切. 12．A
【解析】
()f x 的值域为[]0,1，
()()()2'3129313g x x x x x =-+=--，则()g x 在[]1,3单调递减，则()g x 的值域为[]4,a a -，
由题意，[][]0,14,a a ⊆-，所以401a a -≤⎧⎨≥⎩
，得14a ≤≤，故选A ． 点睛：本题中首要要正确理解任意存在型的问题，得到()f x 的值域包含于()g x 的值域，然后两个值域的求解要求学生对函数图象性质掌握，()f x 为对数函数的绝对值函数，直接求出值域，()g x 为三次方函数，通过求导得到值域，通过包含关系，解出参数范围． 13．7
【解析】
【详解】
由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 14．2
【分析】
先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a ，]b 的长度的最小值． 【详解】
∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，又2
0231339===，，∴0∈[a ，b ].2和
－2至少有一个属于区间[a ，b ]，
故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a ，b ]长度的最小值为2. 故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，属于中档题. 15．2 【解析】
由cos 2B =，可得1sin 2B =,根据正弦定理得sin sin a b A B =,
12b
=,解得
b=2,故填2. 16．15. 【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】
由椭圆方程可得：a =5,b =4,c =3.∴F 1(−3,0),F 2(3,0)，如图所示， 由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10，
∴|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)⩽10+|MF 2
|=10=15， 则|PM |+|PF 1|的最大值为15. 故答案为15.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．(1) 12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
是奇，是偶．
(2) 当n 为奇数时，214n n S -=；当n 为偶数时，2
4n n
S =.
【解析】
试题分析: （1）因为12n n n a a +=，所以当2n ≥时，1
12n n n a a --=，所以
1
1
2n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列,按照n 为奇数和偶数分别写出数列
的通项公式即可;(2) 因为11a =，12n
n n a a +=，2log n n b a =，所以1n n b b n ++=, 按照n 为
奇数和偶数分别写出数列的和,根据等差数列的求和公式计算出结果. 试题解析:
（1）因为12n n n a a +=，所以当2n ≥时，1
12n n n a a --=，所以
1
1
2n n a a +-=， 所以数列{}n a 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列． 又11a =，21
2
2a a =
=， 所以当n 为奇数时，11
2
212
2
n n n
a --=⋅=；当
n 为偶数时，122222n n
n
a -=⋅=，
所以12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
是奇，是偶．
（2）因为11a =，12n
n n a a +=，2log n n b a =，所以1n n b b n ++=．
讨论： 当n 为奇数时，
()()()()21234511
02414
n n n n S b b b b b b b n --=+++++⋯++=+++⋯+-=； 当n 为偶数时，()()()()2123411314
n n n n S b b b b b b n -=++++⋯++=++⋯+-=. 18．(1) B 组居民的血糖值更低(2) 710
P =
【解析】
试题分析: （1）根据题中给出的数据分别计算A,B 两组的平均数,比较可得结果;(2) 从B 组5名居民中随机选取2名，基本事件总数为10，这2名居民中至少有1名的血糖值低于4.5对立事件是这2名居民的视力都不低于4.5，列举出基本事件,根据古典概型求出概率,再求出事件的对立事件即可. 试题解析:
（1）A 组5名居民血糖值的平均数 4.3 5.1 4.6 4.1 4.9
4.65
A x ++++=
=，
B 组5名居民血糖值的平均数 4.5 5.1 4.0 4.0 4.9
4.55
B x ++++=
=， 从计算结果看，B 组居民的血糖值更低．
（2）从B 组5名居民中随机选取2名，基本事件总数为10，
这2名居民中至少有1名的血糖值低于4.5对立事件是这2名居民的视力都不低于4.5，这2名居民的血糖值都不低于4.5，包含的基本事件有()5.1,4.5，()5.1,4.9，()4.9,4.5， 所以这2名居民的血糖值都不低于4.5的概率37
11010
P =-=． 19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1. 【分析】
（Ⅰ）由题可知，AB EA ⊥，AB AD ⊥，且EA AD A ⋂=，由线面垂直的判定定理可得
AB ⊥平面AED ,进而得到AB EH ⊥,又EH AD ⊥,可证出EH ⊥平面ABCD ，则EH BD ⊥；
（Ⅱ）将四棱锥分割，
D ABF
E E ABD B EFD V V V ---=+, 因为1
2
EFD FCD S S ∆∆=，且B CFD E ABD V V --=，所以1122B EFD B CFD E ABD V V V ---==，所以11
22
B EFD B CFD E ABD V V V ---==，计算三棱锥E-ABD 的体积即可. 【详解】
（Ⅰ）证明：由题可知，AB EA ⊥，AB AD ⊥，且EA AD A ⋂=，EA ，AD ⊂平面AED ，所以AB ⊥平面AED ．
因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥．
因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥．
又AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ，
又因为BD ⊂平面ABCD ，所以EH BD ⊥． （Ⅱ）解：D ABFE E ABD B EFD V V V ---=+， 其中11122213263
E ABD V AB AD EH -=
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=． 因为
1
2EFD FCD S S ∆∆=，且B CFD E ABD V V --=，所以1122
B EFD B CFD E ABD V V V ---==， 所以221
1332
D ABF
E E ABD B EFD V V V ---=+=+⨯=． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.
①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．
20．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【分析】
（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋
2
2
)y t
-（＝t 2＋2
4
t ，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据21
2
t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程． 【详解】
（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋
2
4t . 设圆C 的方程是（x －t ）2＋
2
2
)y t
-（＝t 2＋2
4t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝
4t
； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ， 所以S △OAB ＝
12OA ·OB ＝1
2×|2t |×|4t
|＝4， 即△OAB 的面积为定值．
（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN .
因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12
. 所以
21
2
t =t ，解得t ＝2或t ＝－2.
当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1），OC ，
此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
符合题意，此时，圆的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5.
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1），OC C 到直线y ＝－2x ＋4的距离
d
>.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．
所以圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5. 【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．(1) ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；(2) 2
4(,)1
e
e +∞- 【解析】
试题分析: （1）当1m =时，()1
2ln f x x x x
=-
-，对函数求导,令()'0f x ≥解出x 的范围,可得函数的单调递增区间为()0,+∞，即定义域内单调递增;(2) 据题意，得
()()0f x g x ->在[]1,e 上有解，设()()()F x f x g x =-,则()F x 的最小值大于0,对函
数求导判断单调性,进而得出最小值,解出m 的范围即可. 试题解析:
（1）当1m =时，()12ln f x x x x =--，所以()212'1f x x x =+- ()2
2
1x x -=
．
所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≥，
所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞，不存在单调递减区间． （2）据题意，得()()0f x g x ->在[]
1,e 上有解，
设()()()F x f x g x =- 22ln m e mx x x x
=-
--， 则()()2
222222'mx m e x m e F x m x x x x
++-=+-+=，所以当0m >，[]1,x e ∈时，()'0F x >，
所以()F x 在区间[]1,e 上是增函数，所以当[]
1,x e ∈时，()()max 0F x F e =>， 解得2
41e m e >
-，所以m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
． 点睛: 本题考查函数导数与单调性,恒成立有解问题.方程的有解问题可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
22．（1）22132y x +=，y x =-+2）max d =
【解析】
试题分析：（1）利用参数方程之间的内在联系，写出普通方程；（2）由距离公式
d =
max d =
试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为22
132
y x +=，
曲线2C 的普通方程为y x =-+
（2）设点)
P
θθ，则
点P 到直线l 的距离d =
max d =
点睛：参数方程转化为普通方程通过寻找参数方程的内在联系，得到x y ，的关系，即曲线的普通方程；距离的求解采取参数设法，得到距离方程为三角函数关系，利用三角函数的化简技巧，得到距离最大值。

23．（1）(]
2,-+∞ （2）1
02
m <≤ 【解析】
试题分析：（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集． （2）
“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ，()()max min 21f x t t ≤-++ ”．
试题解析：
（1）当2m =时，()48f x x x =--+.所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+，所以2x ≥-，即所求不等式解集为[
)2,-+∞.
（2）“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ，
()()max min 21f x t t ≤-++ ”，因为246x m x m m --+≤，213t t -++≥.
所以63m ≤，即1
2
m ≤
，又0m >，所以102m <≤.。