2020学年湖南省郴州市新高考高二数学下学期期末调研试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）
A ．201620172⨯
B ．201501822⨯
C ．201520172⨯
D ．201601822⨯
2．已知二项式21n
ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中的常数项为3
27n C ，则a =
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ．0.7 2.5ˆ0y x =+
B ．0.71ˆy x =+
C ．0.735ˆ0y x =+
D ．0.70.5ˆ4y
x =+ 4．已知向量(2,)a m =，(3,1)b =-，若()a a b ⊥-，则m =（ ） A ．－1
B ．1
C ．－2或1
D ．－2或－1
5．已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则a b -的最小值为（ ） A 5B 6
C 2
D 36．定义在上的奇函数
满足
，且在
上单调递增，则下列结论中正确的是（）
A. B. C.
D.
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
8．下列说法中：①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越弱；②
回归直线ˆˆˆy
bx a =+过样本点中心()
,x y ；③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越不好．④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确．．的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（ ）米．
A ．75
B ．85
C ．100
D ．110
10．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ） A ．3y x =-
B ．cos y x =
C ．1
y x x
=+
D ．||y x x =
11．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12
．若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A
．1
B ．2
C ．i
D ．2i
二、填空题：本题共4小题
13．若55432
543210(3)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则012345a a a a a a +++++=__________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点(1,1)A 的距离，记点P 的轨迹为Γ，给出下列四个结论：①Γ关于原点对称；②Γ关于直线y x =对称；③直线1y =与Γ有无数个公共点；④在第一象限内，Γ与x 轴和y 轴所围成的封闭图形的面积小于1
2
.其中正确的结论是________.（写出所有正确结论的序号）
15．已知函数()()()()02
203x a x f x a x a x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩
在R 上为增函数，则a 的取值范围是______. 16．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .
（1）证明：//CE 平面PAB ；
（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE . 18．假定某射手射击一次命中目标的概率为
2
3
．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：
（1）X 的概率分布； （2）数学期望E(X)．
19．（6分）已知关于x 的方程x 2+kx +k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．
20．（6分）已知{
}
2
|230A x x x =--≤，{|()(4)0}B x x k x k =--+≤. （1）若[]0,3A
B =，求实数k 的值；
（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q ⌝的充分条件，求实数k 的取值范围.
21．（6分）如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos a A b C c B =+. (1)求角A 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，求AD 的长.
22．（8分）已知函数()2
2f x x =+，()1g x x a x =---，a R ∈.
（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；
（2）若对任意12x x R ∈、，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …
第n 行的从右往左第一个数为：2
(1)2
n n -+⨯ ，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.
【分析】
二项展开式的二项式系数和为512，可得2512n =，使其通项公式为常数项时，求得6r =，从而得到关于a 的方程. 【详解】
展开式中各项的二项式系数和为512，∴2512n =，得9n =，
29191
()()r r r r T C ax x
-+=-91839(1)(0,1,
,9)r r r r C a x r --=-=，
当6r =时，633
79927T C a C ==，解得：3a =.
【点睛】
求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为2n . 3．C 【解析】
由题意可知， 4.5, 3.5x y ==，线性回归方程过样本中心(4.5,3,5)，所以只有C 选项满足．选C. 【点睛】
线性回归方程过样本中心(,)x y ，所以可以代入四个选项进行逐一检验． 4．C 【解析】 【分析】
根据题意得到a b -的坐标，由()
0a a b ⋅-=可得m 的值. 【详解】
由题，()1,1a b m -=-+，
()a a b ⊥-，()
()210a a b m m ∴⋅-=-++=
2m ∴=-或1，故选C
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数 5．C 【解析】
试题分析：由题意得，(1,1,)a b t t t -=----，所以(1a b -=--=，
当0t =时，a b -，故选C. 考点：向量的运算及模的概念.
试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此
()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。

考点：函数的性质。

7．A 【解析】 【分析】
根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】
由三视图可知，几何体为三棱锥
∴三棱锥体积为：111
5 2.448332
V Sh =
=⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高. 8．D 【解析】 【分析】
根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项. 【详解】
对于①，相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，所以①错误；
对于②，根据线性回归方程的性质，可知回归直线ˆˆˆy
bx a =+过样本点中心()
,x y ，所以②正确； 对于③，相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越不好，所以③正确； 对于④，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以④正确； 综上可知，正确的为②③④， 故选：D. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.
分析：设出P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B ，由题意求出三角函数中的参数A ，B ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （35）的值即可． 详解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））， 由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T=2π
ω
=21，∴ω=
221
π
， 即 f （t ）=50sin （
221
π
t+φ）+60， 又因为f （0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=
32
π， ∴f （t ）=50sin （221πt+32π）+60， ∴f （35）=50sin （221π×35+32
π
）+60=1．
故选B ．
点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式
(1)max min max min ,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 10．D 【解析】 【分析】
由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案． 【详解】
解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确； 对于C ，1
y x x
=+
在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数， 而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题． 11．C 【解析】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为
【点睛】
本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力. 12．A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，可得出复数z 的虚部. 【详解】
()21222z i i i i i =+=+=-+，因此，复数z 的虚部为1，故选A.
【点睛】
本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．-32 【解析】 【分析】
通过对原式x 赋值1，即可求得答案. 【详解】
令1x =可得5
54321033(1)2a a a a a a -=+++=-++，故答案为-32. 【点睛】
本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大.
【解析】 【分析】
由题意可得当xy ≥0，可得xy+x+y ﹣1＝0，当xy ＜0时，﹣xy+x+y ﹣1＝0，画出P 的轨迹图形，由图形可得不关于原点对称，关于直线y ＝x 对称，且直线y ＝1与曲线有无数个公共点；曲线在第一象限与坐标轴围成的封闭图形的面积小于边长为1的等腰三角形的面积，即可得到正确结论个数． 【详解】
解：动点P （x ，y ）到两坐标轴的距离之和等于 它到定点A （1，1）的距离， 可得|x|+|y|22(1)(1)x y =-+-， 平方化为|xy|+x+y ﹣1＝0， 当xy ≥0，可得xy+x+y ﹣1＝0， 即y 11x x -=
+，即y ＝﹣12
1x
++， 当xy ＜0时，﹣xy+x+y ﹣1＝0， 即有（1﹣x ）y ＝1﹣x ． 画出动点P 的轨迹为图： ①Γ关于原点对称，不正确； ②Γ关于直线y ＝x 对称，正确；
③直线y ＝1与Γ有无数个公共点，正确；
④在第一象限内，Γ与x 轴和y 轴所围成的封闭图形的面积小于1
2
，正确． 故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查曲线的方程和图形，考查曲线的性质，画出图形是解题的关键，属于中档题． 15．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
由分段函数在R 上为增函数,则012023a a a a
⎧⎪>⎪
->⎨⎪⎪≥⎩
,进而求解即可.
【详解】
因为()f x 在R 上为增函数,
所以01202
3a a a a
⎧
⎪>⎪->⎨⎪⎪≥⎩
,解得312a <≤,
故答案为:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查已知分段函数单调性求参数范围,考查指数函数的单调性的应用. 16．4π 【解析】 【分析】
根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果. 【详解】
由三视图可知，几何体为底面半径为1
∴
4= ∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=
本题正确结果：4π 【点睛】
本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】
(1)先证明面//PAB 面CDE ，从而可得//CE 平面PAB .
（2）设BC 的中点为M ，以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，
z 轴，建立坐标系，设()0DE λλ=>,
易知平面PAC 的法向量为()
3,3,0m
BD ==-，求出平面PCE 的法向量，根据法向量垂直可求解. 【详解】
证明：（1）：∵//AB CD ，CD ⊂面CDE ，AB ⊄面CDE ， ∴//AB 面CDE .
同理//PA 面CDE ，又AB PA A ⋂=，AB 面PAB ，AP ⊂面PAB ，
∴面//PAB 面CDE ，又CE ⊂面CDE ， ∴//CE 平面PAB .
（2）∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒，∴AC AB =， 设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥.
以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -.
则()002P ,
,，()3,1,0C ，()0,2,0D ，令()0DE λλ=>，则()0,2,E λ， ()3,1,2PC =-，()3,1,CE λ=-.
设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =，则00
n PC n CE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
即11111132030
x y z x y z λ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，则()113222x z λλ⎧=⎪-⎪
⎨⎪=⎪-⎩， ∴()2,1,232n λλ⎛⎫
= ⎪ ⎪
--⎝⎭
. 易知平面PAC 的法向量为()
3,3,0m BD ==-， 当平面PAC ⊥平面PCE 时，()
()
2
31300232n m λλ⋅=⨯-+⨯+⨯=--，
解之得1λ=.
所以当1DE =时，平面PAC ⊥平面PCE .
【点睛】
本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.
18．（1）分布列见解析；（2）期望为4027
．
【解析】
分析：（1）先写出X 的所有可能取值，再求出每一个值对应的概率，再写出X 的分布列.(2)直接利用数学期望的公式求E(X)．
详解：（1）耗用子弹数X 的所有可能取值为1，2，3，1．
当X ＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X ＝1)＝
2
3
； 当X ＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标， 则P(X ＝2)＝(1－
23)×23＝29
； 当X ＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中， 则P(X ＝3)＝(1－
23)×(1－23)×23＝227
； 当X ＝1时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中， 则P(X ＝1)＝(1－
23)×(1－23)×(1－23)×23＋(1－23)×(1－23)×(1－23)×(1－23)＝127
． 所以X 的分布列为
(2)由题得E(X)＝1×
3＋2×2
9＋3×27
+1×27＝4027．
点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的关键是计算概率，本题主要涉及独立事件的概率，一般地，如果事件12,,,n A A A 相
互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅．
19．1 【解析】
分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.
详解：由题意，得(
)
2
2
2
423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或8
3
k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ，
21==1z z ，得12=1z z ⋅，
212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．
所以1k =-
点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 20．（1）4k =（2）7k >或1k <- 【解析】 【分析】
（1）求解出集合B ，再根据交集范围计算k 的值；（2）由p 是q ⌝的充分条件，得到集合A B 、之间的关系，然后再计算k 的取值. 【详解】
解：{|13}A x x =-，
{}|4B x k x k =-，
（1）[]0,3A B =
∴40
3
k k -=⎧⎨
⎩
∴43k k =⎧⎨⎩
∴4k =；
（2）∵p 是q ⌝的充分条件， ∴{|4R
A B x x k ⊆
=<-或}x k >，
∴43k ->或1k <- 即7k >或1k <-. 【点睛】
现有集合A B 、，且:p x A ∈，:q x B ∈，若集合A 是集合B 的充分条件，则有：A B ⊆；若集合A 是集合B 的必要条件，则有：A B ⊇.
21． (1)3
A π
=；(2)AD =
. 【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1
cos 2
A =，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得AD AB
DC BC
=，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,
∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=，
∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =
，∵()0A π∈，，∴3
A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，
即21642AC AC =+-,
解得1AC =+,
或1AC = ∵BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，
∴
12AD AB DC BC ==
,∴13AD AC ==22． (1){}
|11x x x -或；(2)13a -≤≤. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）当4a =时，2
241x x x +>---.()34 41251431x g x x x x x x -≥⎧
⎪=---=-+<<⎨⎪≤⎩
，，，，，，对x 解
析分类讨论，可求不等式()()f x g x >的解集；
（2）当1a >时，()112111a x a g x a x x a a x -≥⎧
⎪
=+-<<⎨⎪-≤⎩
，，，，，， ()g x 的最大值为1a -，
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-；
当1a ≤时，()112111a x g x x a a x a x a -+≥⎧⎪
=--<<⎨⎪-≤⎩
，，，，，， ()g x 的最大值为1a -，
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-，由此可求实数a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当4a =时，2
241x x x +>---.
()3441251431x g x x x x x x -≥⎧⎪
=---=-+<<⎨⎪≤⎩
，，，，，，
①当4x ≥时，223x +>-恒成立，∴4x ≥；
②当14x <<时，2225x x +>-+，即2230x x +->，即1x >或3x <-. 综合可知：14x <<；
③当1x ≤时，223x +>，则1x >或1x <-，综合可知：1x <-. 由①②③可知：{|1x x <-或1}x >.
（Ⅱ）当1a >时，()112111a x a g x a x x a a x -≥⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≤⎩
，，，，，， ()g x 的最大值为1a -，
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-， 则3a ≤，∴13a <≤；
当1a ≤时，()112111a x g x x a a x a x a -+≥⎧⎪
=--<<⎨⎪-≤⎩
，，，，，， ()g x 的最大值为1a -，
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-， ∴1a ≥-，从而11a -≤≤. 综上讨论可知：13a -≤≤.
提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(
)3
5
2()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
2．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A ．(－10,2,8)
B ．(－10,2,－8)
C ．(5,2,－8)
D ．(－10,3,－8)
3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2
1.36
v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2
275
v L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258
C ．15750
D ．355113
5．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A ．5，10，15，20，25 B ．2，4，8，16，32 C ．1，2，3，4，5 D ．7，17，27，37，47
7．5
4212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中含5x 项的系数为（ ）
A ．160
B ．210
C ．120
D ．252
8．集合{}{}
2
1,3,5,7,|40A B x x x ==-≤，则A B =（ ）
A ．()1,3
B ．{}1,3
C ．()5,7
D ．{}5,7
9．数列{}n a 满足()11n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )
A ．100
B ．-100
C ．-110
D ．110
10．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点
(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫
+⋅- ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．5
10
-
B ．
510
C ．
62
4
- D ．
26
- 11．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60 B ．70 C ．80
D ．90 12．设集合，
，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题
13．已知实数x ，y 满足条件210201x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z=x+3y 的最小值是_______________.
14．直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，已知(8,8)A ，则线段AB 的中点到准线的距离为___________________． 15．已知函数()3
x
x
1f x =x 2x+e -e
-，其中e 是自然数对数的底数，若()()
2
f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。

16．设某弹簧的弹力F 与伸长量x 间的关系为100F x =，将该弹簧由平衡位置拉长0.1m ,则弹力F 所做的功为_______焦.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm ），经统计其增长长度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，
[27,29)，[29,31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm 及以上的产品为优
质产品．
（1）求图中a 的值；
（2）已知这120件产品来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：
将联表补充完整，并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由； 下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
（3）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X 的分布列和数学期望E(X)．
18．同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求： （1）侧面积的比； （2）体积的比；
（3）角12αα+的最大值． 19．（6分）设函数3
221()23(01)3
f x x ax a x b a =-
+-+<<． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)若当[]1
2x a a ∈++，时，恒有()f x a '≤，试确定a 的取值范围； (Ⅲ)当2
3
a =
时，关于x 的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围． 20．（6分）已知函数32
(),3
=+-∈m f x x x x m R .
（1）当3m =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为减函数，求实数m 的取值范围.
21．（6分） “初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了
了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6. （1）完成22
⨯列联表（应适当写出计算过程）；
（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关. 统计数据如下表所示：
参考公式：
2
2
()
,
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
其中.
n a b c d
=+++
22．（8分）为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共100名进行调查，调查结果如下：
（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；（2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取5人，从抽取的5人中再随机地抽取3人赠送小礼品，记这3人中持“支持”态度的有ξ人，求ξ的分布列与数学期望.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
参考数据：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据题意，用赋值法，在(
)3
5
2()
x x a -+中，令1x =可得()5
21(1)32a -+=，解可得a 的值，即可得
答案． 【详解】 根据题意，(
)3
5
2()x
x a -+的展开式的各项系数和为32，
令1x =可得：()5
21(1)32a -+=，
解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用． 2．B 【解析】 【分析】
直接利用中点坐标公式求解即可. 【详解】
设点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(),,x y z ,
根据中点坐标公式可得100
2432
252x y
z
+⎧=⎪⎪
+⎪=⎨
⎪-+⎪=-⎪⎩
，解得1028x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 所以点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B. 【点睛】
本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题. 3．C 【解析】
试题分析：如图，设抛物线方程为2
2y px =，,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标
为22，则A 点横坐标为
4
p ，即4OC p
=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2
2
2
2
AC OC AO r +==，即
222
24(5)()(22)()2p p
+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.
考点：抛物线的性质.
4．B 【解析】
试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75
2
31
ππ=， 所以2
75
831ππ=
，即π的近似值为258，故选B.
考点：《算数书》中π的近似计算，容易题. 5．D 【解析】 【分析】
在频率等高条形图中，a a b +与c
c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论． 【详解】
在频率等高条形图中，
a a
b +与
c c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强， 故选D ． 【点睛】
本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 6．D 【解析】 此题考查系统抽样
系统抽样的间隔为：，只有D 的抽样间隔为10
答案 D
点评：掌握系统抽样的过程 7．D 【解析】 【分析】
先化简3255
2
42(1)[12]x x x x x ⎛⎫++ ⎪+=⎝⎭
，再由二项式通项1k n k k n n T C a b -+=，可得5
x 项的系数． 【详解】
51042
2
112x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()102203110101C C r
r r r r
r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，当=5r 时，555610C 252T x x ==.故选D. 【点睛】
本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数． 8．B 【解析】
{}{}
21,3,5,7,|40{|04}A B x x x x x ==-≤=≤≤,{} 1,3A B ⋂=，故选B.
9．B 【解析】 【分析】
数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．
则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()
101192
⨯+=-=-1．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】
首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3
()2f x x bx =++.利用导数的切线过
点(2,7)得到1
2
b =
，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2
π
απα+-计算即可.
【详解】
因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.
所以3
()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.
2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.
切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.
因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12
b =. 所以3
1()22f x x x =+
+，21()32
f x x '=+. 1(0)tan 2
f α'=
=，所以5sin α=.
所以515
cos()tan()sin tan 2
5210
π
απααα+-==
⨯=
. 故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】
根据题意画出韦恩图即可得到答案． 【详解】
根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为106070+=人
故选B.
【点睛】
本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题． 12．D 【解析】 试题分析：由，所以
，故选D ．
考点：集合的运算． 二、填空题：本题共4小题 13．-5 【解析】
作可行域,则直线z=x+3y 过点A(1,-2)取最小值-5
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 14．
254
【解析】 【分析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标，设B 点坐标为(,)B B x y ，进而可得直线AB 方程，把B 点代入可求得B 点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案． 【详解】
由题意，抛物线2
8y x =知4p =，
设B 点坐标为(,)B B x y ，由AB 直线过焦点F ，所以直线AB 的方程为4
(2)3
y x =
-， 把点(,)B B x y 代入上式得2
44(2)(2)338
B
B B y y x =-=-，
解得2B y =-，所以12
B x =
， 所以线段AB 中点到准线的距离为1
8252224
+
+=，
故答案为25
4
.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，着重考查了推理与运算能力，属于中档题. 15．1[1,]2
- 【解析】
因为3
1()2()x
x f x x x e f x e
-=-++
-=-，所以函数()f x 是奇函数，
因为22'()32320x x f x x e e x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2
(1)(2)0f a f a -+≤，即2
(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112
a -≤≤
，故实数a 的取值范围为1[1,]2-．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．
16．1 【解析】 【分析】
用力F 沿着力的方向移动x ，则所做的功为W Fx =，代入数据求得结果. 【详解】
弹力F 所做的功为：1000.10.11W =⨯⨯=焦 本题正确结果：1 【点睛】
本题考查函数值的求解，关键是能够明确弹力做功的公式，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.025；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出a 的值. （2）首先根据频率分布直方图中的数据计算A,B 这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可.（3）以样本频
率代表概率，则属于二项分布，利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可. 【详解】
（1）根据频率分布直方图数据，得：
2(20.20.2)1a a a ++++=，
解得0.025a =．
（2）根据频率分布直方图得：
样本中优质产品有120(0.10020.0252)30⨯+⨯=， 列联表如下表所示：
∴22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2
120(10302060)10.28610.82870503090⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
∴没有99.9%的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系． （3）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是
1
4
， 随机抽取4件中含有优质产品的件数X 的可能取值为0，1，2，3，4，且1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴4
04381(0)4256P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， 3
1413108(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
224
1354(2)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3
341312(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 4
44
11(4)4256
P X C -⎛⎫===
⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：
E(X) 414
=⨯= 【点睛】
本题考查频率分布直方图，独立性检验以及二项分布的分布列和期望值的计算，同时考查了学生分析问题的能力和计算能力，属于中档题.
18．（1）21cos :cos αα（2）12tan :tan αα（3）4
arctan 3
π- 【解析】 【分析】
分别计算出其侧面积，再计算比值。

分别计算出其侧体积，再计算比值。

根据tan x 在(0,)2
π
单调递增，通过计算12tan()αα+的最大值，求出角12αα+的最大值。

【详解】
解：（1）设O 为球心，1O 为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q,取BC 的中点D,则,,PD BC AD BC ⊥⊥∴∠1PDO 是侧面与底面所成二面角的平面角，
∴∠1PDO 1α=，同理1QDO ∠=2α．11,cos DO PD α∴=
1
2
cos DO QD α=， 1113
3.22cos P ABC DO S BC PD BC α-∴=⋅⋅=⋅侧
1213
322cos Q ABC DO S BC QD BC α-=⋅⋅=⋅侧．
P ABC S -∴侧:Q ABC S -侧=21cos :cos αα．
(2)111112tan ,tan PO DO QO DO αα=⋅=⋅, 这两个三棱锥的底都是三角形ABC ∆，
1112::tan :tan .P ABC Q ABC V V PO QO
αα--∴=
=
（3）设ABC ∆边长为a,1OO h =,则1111
tan ,PO R h
DO DO α-=
= 1211tan ,QO R h
DO DO α+=
=而111,33DO AD ===
12.3AO AD ==222
21
1,3R h AO a -==。