高三理科数学周日测验

高三理科数学周日测验
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．函数)
1(2
12
log -=
x
y 的定义域为( )
A ．]2,1()1,2[⋃--
B ．)2,1()1,2(⋃--
C ．]2,1()12[⋃--，
D ．)2,1()1,2(⋃-- 2．命题”“0332,,),,(<++∈∈∃y x R y R x y x 的否定是( ) A ．0332,,),(00000<++∈∈∃y x R y R x y x ， B ．0332,,),,(00000≥++∈∈∃y x R y R x y x C ．0332,,),,(≥++∈∈∀y x R y R x y x D ．0332,,),,(>++∈∈∀y x R y R x y x 3．”“6π
α=
是”“2
1
2cos =α的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知正三角形ABC 的顶点),3,1(),1,1(B A 顶点C 在第一象限，若点),(y x 在ABC ∆内部，则y x z +-=的取值范围是( )
A ．)2,31(-
B ．)2,0(
C ．)2,13(-
D ．)31,0(+ 5．当210≤
<x 时，都有x a x
log 4<成立，则a 的取值范围是( ) A ．)22,0( B ．)1,2
2
( C ．)2,1( D ．)2,2(
6．若正数y x ,满足,53xy y x =+ 则y x 43+的最小值是( )
A ．
524 B ．5
28 C ．5 D ．6 7．给出四个函数：,1)(x
x x f +=,33)(x x x g -+=,)(3
x x u =,sin )(x x v =其中满足条件：
对任意实数x 及任意正数m ，有)()(0)()(x f m x f x f x f >+=+-及的函数为( ) A ．)(x f B ． )(x g C ．)(x u D ．)(x v
8．设,25
sin 1πn n a n =
,21n n a a a S +++= 在10021,,,S S S 中，正数的个数是( ) A. 25 B ．50 C ．75 D ．100
二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9 - 13题）
9．设函数1
sin )1()(22+++=x x
x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M _________.
10. 已知,R b a ∈<且,50=ab 则|2|b a +的最小值为___________．
11．已知),3)(2()(++-=m x m x m x f ,22)(-=x
x g 若0)(,<∈∀x f R x 或,0)(<x g
则m 的取值范围是___________．
12．已知定义在R 上的奇函数),(x f 满足)()4(x f x f -=-且在区间]2,0[上是增函数，若
方程)0()(>=m m x f 在区间]8,8[-上有四个不同的根,,,,4321x x x x 则
=+++4321x x x x ___________．
13. 设,R a ∈若0>x 时均有,0)1](1)1[(2
≥----ax x x a 则=a ___________．
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14. 直线t t y t x (12⎩⎨
⎧-=+-=为参数）被圆θθθ
(sin 51cos 53⎩
⎨⎧+-=+=y x 为参数，))2,0[πθ∈所截得的弦 长为___________．
15. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点CE AD C ⊥,于D ，若,1=AD
,30 =∠ABC 则圆O 的面积是___________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题共12分）已知函数.),4
3cos()47sin()(R x x x x f ∈-++
=π
π ( I )求)(x f 的最小正周期和最小值； ( II )已知,54
)cos(=
-αβ,5
4)cos(-=+αβ⋅≤<<20πβα求：)(βf 的值.
17．（本小题共12分）某住宅小区为了使居民有一个优雅、
舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它 的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为200m 2的十字型区域，现计划在正 方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相 同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为 210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.
(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．
18. (本小题满分14分，(I)小问6分，(II)小问8分）
设函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中),0,0πϕπω<<->>A 在6
π
=x 处取得最大值
2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为.2
π
(I) 求)(x f 的解析式；
(II)求函数)
6
(1
sin cos 6)(24π
+
--=
x f x x x g 的值域.
19. 设曲线1:2
2
=-y x C 上的点P 到点),0(n n a A 的距离的最小值为,n d 若
*,2,010N n d a a n n ∈==-
(I)求数列}{n a 的通项公式；
(II)求证：;222644212125331++-+++<+++n n n n a a
a a a a a a a a a a
(III)是否存在常数M ，使得对*,N n ∈∀都有不等式：M a a a n
<+++332311
11 成立？ 请说明理由．
20.（本小题满分14分）已知等比数列}{n a 的首项,20121=a 公比,2
1
-
=q 数列}{n a 前n 项和记为,n S 前n 项积记为).(n ∏ (I)求数列}{n S 的最大项和最小项；
(II)判断)(n ∏与|)1(|+∏n 的大小，并求n 为何值时，)(n ∏取得最大值；
(III)证明}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这 些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为,,,,321n d d d d 证明：数列}{n d 为等比数列.（参考数据）1024210
=
21.（本小题满分14分）
已知,)(1x x f =且对任意的,1)1(,*
=∈n f N n 且)(')()('1x xf x f x f n n n +=+ (1) 求)(x f n 的解析式； （2）设,)
1)(()
()(2
+=
x f x f x F n n n 求证：;1)2()2()2(21<+⋅⋅⋅++n F F F （3）若)()1()(3)(2)(22
11
x f C n x f C x f C C x g n n
n n n n n +++++= , 是否存在实数x ,使
得,)1)(1()()()(21n
n x n x g x g x g ++=+++ 说明理由。

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分） 9．2； 10．20； 11．(－4,0) ； 12．；8- 13．;2
3
14.;82 15．π4. 8. 答案：D. 解析：∴=
,25
sin 1π
n n a n 当24≤n 时，
均有,0,025=>a a n 所以可知2521,...,S S S 均大于0，又,261
25sin 2612526sin 261126a a -=-==ππ 0 (26)
25252126>+++=∴a a a S 而,27
2252sin 2712527sin 271227a a -=-==ππ ,0227>+∴a a 同理可得 ,0,...02449328>+∴>+∴a a a a 而51a 到74a 均为正项，075=a ,76a 到99a 均为负
项，,0,,...,,100749952775176=<<<a a a a a a a 故}{n S 中前100项均为正数。

考点定位：本题考查三角函数的值，意在考查考生寻找三角函数值之间的规律.
16．解：(I)4
3sin
sin 43cos cos 47sin cos 47cos
sin )(π
πππx x x x x f +++= ),4
sin(2cos 2sin 2π
-=-=x x x ………4分
)(x f ∴的最小正周期,2π=T 最小值.2)(m in -=x f …………6分
(II)由已知得,54
sin sin cos cos =+βαβα5
4sin sin cos cos -=-βαβα
两式相加得,0cos cos 2=βα ,2
0π
βα≤
<<
,0cos =∴β则⋅=
2
π
β ……………………10分
.2)4
2sin(2)(=-=∴π
πβf ……………………12分
17．解 (1)设,y DQ =则.4200,200422
x x y xy x -==+
).2100(400000
40003800021480421042002
222<<++=⨯⨯+⨯+=x x
x y xy x S (2),118000101623800040000040003800082
2
=⨯+≥++=x x S 当且仅当,40000040002
2
x x =即10=x 时，118000m in =S （元）
， 即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
18. (I) 由题设条件知)(x f 的周期,π=T 即
,2πω
π
=解得2=ω
因)(x f 在6
π
=x 处取得最大值2，所以,2=A 从而,1)6
2sin(=+⨯
ϕπ
所以,,22
6
2Z k k ∈+=
+⨯
ππ
ϕπ
又由πϕπ<<-得6
π
ϕ=
故)(x f 的解析式为)6
2sin(2)(π
+
=x x f (II)=+--=)2
2sin(21sin cos 6)(24πx x x x g )1cos 2(2)
2cos 3)(1cos 2(2cos 22cos cos 62
2224-+-=-+x x x x x x 1cos 232+=x )2
1(cos 2=/x 因],1,0[cos 2∈x 且21cos 2
=/x 故)(x g 的值域为].2
5
,47()47,1[
19. (I) 设点),,(y x P 则,12
2
=-y x 所=
-+=
2
2)(||n n a y x PA ,22222
2
n n a a y ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
因为,R y ∈ 所以当2n
a y =时，||n PA 取得最小值,n d 且,2
22n n a d +=
又,21-=n n d a 所以,21n n d a =+ 即12
1
+=n n a d
将12
1
+=n n a d 代入222
n
n a d +=
得222
1
2
1:
n n a a +=+
两边平方得,22
2
1=-+n n a a 又,2,02
10==a a 故数列}{2n a 是首项,22
1=a 公差为2的等差数列，
所以,22
n a n =因为,021>=
-n n d a 所以.2n a n = …………………………6分
(II) 因为,02)12(2)12)(22(<-=+--+n n n n 所以)12(2)12)(22(+<-+n n n n 所以,)12(2)12)(22(+<
-+n n n n 所以n n n n a a a a 2121222+-+<
所以,2221212++-<n n n n a a a a 所以2
2212126453
4231,,,++-<<<n n
n n a
a a a a a
a a a a
a a 以上n 个不等式相加得⋅+++<+++++-2
22644212125331n n n n a a
a a a a a a a a a a ……………10分
(III) 因为
,221
133k a k ⋅= 当2≥k 时， ,1)1)(1(1)1()1(1)1(112
3k k k k k k k
k k ⋅+-=+-=-< 因为
,111
12
221--+=++-<=k k k k k k
所以
11
11)11()1)(1(11)1)(1(1+--=--++-<⋅+-k k k k k k k k k
所以,11113
+--<k k k
2111112111111123
2+<+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--<∑∑==k k k k k
n
k n k 所以⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++<+=∑∑==22
41211221221122122113
231k a n k i
n
i 故存在常数,22
41+=M 对,*N n ∈∀都有不等式：M a a a n
<+++33231111 成立．…14分
20．解：(I) ])21(1[32)21(1]
)21
(1[11n n n a a S --=----= ①当n 是奇数时，],)2
1(1[321n n a S += 单调递减，,32
112531a s S S S n >>>>>∴-
②当n 是偶数时，],)2
1(1[321n n a S -= 单调递增，;32
12642a s S S S n <<<<<∴
综上，当n = l 时，n S 有最大值为;20121=S 当n =2时，有最小值为.10062=S ……4分
(II)|,)(|321n a a a a n =∏ n n a n n )21
(2011|)(||)1(|1==∏+∏∴+，,2
20121220121011<<
则当10≤n 时，；|)(||)1(|n n ∏>+∏ 当11≥n 时，|,)(||)1(|n n ∏<+∏……7分 又,0)12(,0)9(,0)11(,0)10(>∏>∏<∏<∏
|)(|n ∏∴的最大值是)9(∏和)12(∏中的较大者， ,1])2
1(2011[)9()12(3103
11121110>-===∏∏a a a a
),9()12(∏>∏∴ 因此当n =12时，)(n ∏最大． …………………9分
(Ⅲ)||n a 随n 增大而减小，数列}{n a 的奇数项均为正数且递减，偶数项均为负数且递增， ①当n 是奇数时，调整为，n n n a a a ,,21++则,2)
2
1()2
1
(1
1
111n
n n
n n a a a a a =
-+-=+-+ ,2)2
1(221112n n n a
a a =-=++n n n n n n a a a a a a ,,,22121++++=+∴成等差数列；………11分 ②当n 是偶数时，调整为;,,12++n n n a a a 则,2)2
1()21(11111n n n n n a
a a a a -=-+-=+-+ ,2)2
1(221112n n n a
a a -=-=++1221,,,2++++=+∴n n n n n n a a a a a a 成等差数列;
综上可知，数列}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列．…12分
① n 是奇数时，公差;23])2
1()21
[(1
1112+++=
---=-=n n n n n a a a a d ②n 是偶数时，公差⋅=---=-=+-++11111223])2
1()21[(n n n n n n a
a a a d
无论n 是奇数还是偶数，都有,
231
1+=n n a
d 则,211=-n n d d 因此，数列}{n d 是首项为,431a 公比为2
1
的等比数列． …………………14分
21．解：(1)),(')()(1x xf x f x f n n n +=+ 即),(')()(11x xf x f x f n n n --+=)]'([)('1x xf x f n n -=∴
a x xf x f n n +=∴-)()(1 令,1=x 上式可化为,)1()1(1a f f n n +=-
,0,1)1(=∴=a f n n n n x x x x f x x f =⋅=∴⇒-11)(,)(
(2),)1()
1)(()()(22+=+=n n
n n n x x x f x f x F )1
21
121(2)12)(12(22)12)(12(22)12(2)2(11112+-+=++⋅<++⋅=+=----n n n n n n n n n n n F
=+++∴)2()2()2(21n F F F )1
21
121121*********(
212110+-++++-+++-+-n n 1)1
21
21(2<+-=n
(3))()1()(3)(2)(22110x f C n x f C x f C C x g n n
n n n n n +++++=
)'()()1(321322102210+++++=+++++=n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x f C n x C x C C 1
122110)1](1)1[()1()1()]'([--+++=+++=++++=n n n n n n n n n x x n x nx x x C x C x C C x 设)()()()(21x g x g x g x S n n +++=
则1
)
1](1)1[(...)1)(13()12()(-+++++++++=n n x x n x x x x S ……………①
n n x x n x x x x x S x )1](1)1[()1)(13()1)(12()()1(2++++++++++=+ ……②
①－②得 n n n x x n x x x x x x xS )1](1)1[()
1()1()12()(1
+++-++++++=--
n n x x n x x x x x )1](1)1[(11]
)1(1)[1()12(1+++---+-+++=-
n n x x n x x x )1](1)1[(])1(1)[1()12(1+++-+-+-+=- x n x x n )1()1(++-=)1()1(1+++-=∴n x S n n
∴不存在实数x 使得.)1)(1()()()(21n n x n x g x g x g ++=+++。