(理)选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题

高二数学（理）选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题：(每小题5分，共60分)
1．若质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A (a,0)移动至点B (b ，0)，并设F 平行于x 轴，如果力F 是质点
所在位置的函数F ＝F (x )，a ≤x ≤b ，则F 对质点所作的功为( )
A.⎠⎛b a F (x )d x
B.⎠⎛a
b F (x )d x C ．F (x )(a －b ) D ．F (x )(b －a )
2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．0
3．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，
则()f x 与()g x 满足( ) A ．()()f x g x = B ．()()f x g x -为常数函数
C ．()()0f x g x ==
D ．()()f x g x +为常数函数
4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．0
D ．－4
5．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）
6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 （ ）
A 5
B ．5
C ．35
D ．0
8．曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A ．34y x =-
B ．32y x =-+
C ．43y x =-+
D ．45y x =-
9．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）
A ．0a >
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a ≤
10．曲线)230(cos π
≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（ ） x
y O 图1 x y O A x y O B x y O C y
O D
x
A ．4
B ．52
C ．3
D ．2 11．由定积分的几何意义知⎠⎛01(1－(x －1)2)d x ＝( ) A.12 B.π4 C.π－24 D.14
12．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，当a >b 时，下列不等式成立的是( )
A ．e a f (a )>e b f (b )
B ．e b f (a )>e a f (b )
C ．e b f (b )>e a f (a )
D ．e a f (b )>e b
f (a )
二、填空题：(每小题5分，共20分)
13．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .
14．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 . 15．若函数32
()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 16．设点P 是曲线3
233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 .
三、解答题：(六小题，共70分)
17．已知函数32
()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.(10分)
18. 当0>x 时，证明不等式22
11x x e x +
+>成立. (10分)
19．已知函数x bx ax x f 3)(2
3-+=在1±=x 处取得极值，讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；(12分)
20．(12分)已知函数323()(2)632
f x ax a x x =-++-； （1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

21. (12分)(2011·江西高考)设f (x )＝－13x 3＋12
x 2＋2ax . (1)若f (x )在⎝⎛⎭
⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163
，求f (x )在该区间上的最大值．
22．(14分)(2012·安阳高二检测)设函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .
(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
高二数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题参考答案：
一．选择题：
1. B
2. A
3. B
4. B
5. D
6. C
7. B
8. B
9. C 10. C 11.B 12.D
二．填空题：13. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞14. y=3x-5 15. [13，＋∞) 16.πππ,3
2[)2,0[Y ） 三．解答题：17. '2'2'2:()32(2)3(2)2(2)0
1240
(1)3231,8()(1,0)110
6
f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴=Q 3解又又过点,1
18. 证明：设(),2
112x x e x f x ---=则()x e x f x --=1'，令,1)(x e x g x --=则1)('-=x e x g ， 当0>x 时，()01'>-=x e x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，
∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立.
∴)(x f 在()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ∴,02
112>---x x e x 即0>x 时，22
11x x e x ++>成立. 19解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩
⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a .∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f .令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数.若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数.所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.
20.解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a
=-++=--()f x 极小值为(1)2a f =- （2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；
②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =->，()f x Q 的极小值为2()0f a
<， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；⑤若2a >，由（1）
知()f x 的极大值为22133()4()044
f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； 综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

21．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14
＋2a ，
当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19
. 所以，当a >－19
时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，
得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2
. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．
当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，
所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，
又f (4)－f (1)＝－277
＋6a <0，即f (4)<f (1)． 所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163
. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103
. 22. 解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )可得－m ln x ≥－x ，
即m ≤x ln x . 记φ(x )＝x ln x
， 则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min ，
求得φ′(x )＝ln x －1ln 2x
， 当x ∈(1，e)时；φ′(x )<0；
当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )>0.
故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值，
即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.
(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a 在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g (x )＝x －2ln x ，则g ′(x )＝1－2x
. 当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0.
∴g (x )在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．
故g (x )min ＝g (2)＝2－2ln 2，
又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln 3，
∵g (1)>g (3)， ∴只需g (2)<a <g (3)，
故a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。