2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用滚动测试卷二(第一_五章)

滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟 满分:150分)滚动测试卷第5页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019广东中山一中高三下学期冲刺)已知集合A={x|y=log 2(x-2)},B={x|x 2≥9},则A ∩(∁R B )=( ) A.[2,3) B.(2,3) C.(3,+∞) D.(2,+∞) 答案:B解析:由题意可知,A={x|x>2},B={x|x ≤-3或x ≥3}, 所以∁R B={x|-3<x<3}, 所以A ∩(∁R B )={x|2<x<3}.2.(2019广东深圳高三二模)已知复数z 1=3+4i,z 2=34+i,则z 1·z 2等于( ) A.254 B.43iC.254−43iD.-254i答案:A解析:由已知得,z 2=34-i,所以z 1·z 2=(3+4i)(34-i)=254.3.下列结论正确的是( ) A.若命题p :∀x>0,都有x 2>0,则p :∃x 0≤0,使得x 02≤0B.若命题p 和p ∨q 都是真命题,则命题q 也是真命题C.在△ABC 中,a ,b ,c 是内角A ,B ,C 所对的边,则a<b 的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x 2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x ≠-2或x ≠1,则x 2+x-2≠0” 答案:C解析:若命题p :∀x>0,都有x 2>0,则p :∃x 0>0,使得x 02≤0.故A 项错误;若命题p 和p ∨q 都是真命题,则命题q 可能是真命题,也可能是假命题.故B 项错误;在△ABC 中,由a<b 可知0<A<B<π,而y=cos x 在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B ,C 项正确; 命题“若x 2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x ≠-2且x ≠1,则x 2+x-2≠0”.故D 项错误.故选C .4.命题“存在x ∈[0,2],x 2-x-a ≤0为真命题”的一个充分不必要条件是( ) A.a ≤0B.a ≥-1C.a ≥-14D.a ≥3答案:D解析:∵存在x ∈[0,2],x 2-x-a ≤0为真命题,∴a ≥(x 2-x )min =[(x -12)2-14]min=-14.因此上述命题的一个充分不必要条件是a ≥3.故选D .5.(2019广东汕头高三二模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,满足f (1+x )=f (1-x ),且f (1)=a ,则f (2)+f (3)+f (4)=( ) A.0 B.-a C.a D.3a 答案:B解析:由f (1+x )=f (1-x ),且f (x )是R 上的奇函数,可知f (x )是周期为4的周期函数,f (0)=0,所以f (4)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-a ,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,所以f (2)+f (3)+f (4)=0-a+0=-a.6.函数f (x )=A sin(ωx+φ)(其中A >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f (x )的图象( )可得g (x )=sin (2x +π4)的图象.A.向右平移π12个单位长度 B.向左平移π24个单位长度 C.向左平移π12个单位长度 D.向右平移π24个单位长度答案:D解析:由函数f (x )=A sin(ωx+φ)的部分图象知,A=1,T4=7π12−π3=π4, ∴T=2πω=π,解得ω=2,由五点法画图知,2×π3+φ=π,解得φ=π3,∴f (x )=sin (2x +π3), 又y=sin [2(x -π24)+π3]=sin (2x +π4),∴将函数f (x )的图象向右平移π24个单位长度,可得g (x )=sin (2x +π4)的图象,故选D . 7.函数y=ln (1-x1+x )+sin x 的图象大致为( )答案:A解析:易知f (x )=ln (1-x1+x )+sin x 的定义域为(-1,1),且f (-x )=ln (1+x1-x )+sin(-x )=-ln (1-x1+x )-sin x=-f (x ),即函数f (x )是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D;又f (12)=ln 13+sin 12=sin 12-ln3<0,故排除选项B,所以选A .8.(2019河北邯郸大名一中高三模拟)已知菱形ABCD 的边长为2,∠DAB=60°,点E ,F 分别为BC ,CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3 B.1 C.3√32D.32答案:D解析:因为点E 为BC 的中点,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为点F 为CD 的中点,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 因为菱形ABCD 的边长为2,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 又因为∠DAB=60°,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠DAB=34×2×2×12=32.故选D .9.若不等式tt +9≤a ≤t+2t 在t ∈(0,2]上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[16,1] B.[213,1]C.[16,413]D.[16,2√2]答案:B解析:∵函数y=t+2t 2=1t +2t 2在t ∈(0,2]上为减函数, ∴当t=2时,y=t+2t 2的最小值为1. 令f (t )=tt 2+9,则f'(t )=9-t 2(t 2+9)2.当t ∈(0,2]时,f'(t )>0,故f (t )在区间(0,2]上为增函数,故当t=2时,f (t )=tt +9的最大值为213. 故由题意知(tt +9)max≤a ≤(t+2t )min,即213≤a ≤1.10.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=( ) A.-45 B.-35C.35D.45答案:A解析:y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=√5sin(πx+φ-α), 其中sin α=√5,cos α=√5.∵函数y 的图象关于直线x=1对称, ∴π+φ-α=π2+k π,k ∈Z , 即φ=α-π2+k π,k ∈Z .∴sin2φ=sin2(α-π2+kπ)=sin(2α-π+2k π) =sin(2α-π)=-sin2α=-2sin αcos α =-2×√5×√5=-45,故选A . 11.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若cos B=14,sinCsinA =2,且S △ABC =√154,则b=( ) A.4 B.3 C.2D.1答案:C解析:由cos B=14,0<B<π,得sin B=√154. 又sinCsinA =2,得ca =2,即c=2a. 由S △ABC =√154=12ac sin B=a 2·√154,得a=1.所以c=2.由b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×14=4,得b=2.12.已知函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x>0时,不等式f (x )+x ·f'(x )<0成立,若a=30.2f (30.2),b=(log π2)f (log π2),c=(log 214)f (log 214),则a ,b ,c 之间的大小关系为( )A.a>c>bB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c答案:C解析:构造函数g (x )=xf (x ),则g'(x )=f (x )+xf'(x ), 当x>0时,不等式f (x )+x ·f'(x )<0成立, ∴当x>0时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减. ∵函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数, ∴g (-x )=-xf (-x )=-xf (x )=-g (x ),∴g (x )在R 上是奇函数,∴g (x )在R 上是减函数.∵a=30.2f (30.2),b=(log π2)f (log π2),c=(log 214)f (log 214),log 214=-2,而-2<log π2<30.2, ∴c>b>a.故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知tan (x +π4)=-2,则sin 2x+2cos 2x= . 答案:45解析:∵tan (x +π4)=tanx+11-tanx=-2,∴tan x=3,则sin2x+2cos 2x=2tanx+2tan x+1=45. 14.设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 .答案:(-14,+∞)解析:由题意得当x>12时,2x+2x -12>1恒成立,即x>12;当0<x ≤12时,2x +x-12+1>1恒成立,即0<x ≤12;当x ≤0时,x+1+x-12+1>1,解得x>-14,即-14<x ≤0. 综上,x 的取值范围是(-14,+∞).15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为 米. 答案:4 062.5解析:由题意画出图形,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米, 在△ABC 中,由余弦定理得cos B=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2B =1213, 设△ABC 外接圆半径为R , 则由正弦定理有bsinB =2R ,R=b2sinB =75002×1213=4062.5米.16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则c= .答案:√2解析:由内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 可知AB=c ,AC=b ,BC=a.由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得cb cos A=ca cos B. 故由正弦定理,得sin B cos A=cos B sin A ,即sin(B-A )=0.因为-π<B-A<π, 所以B=A ,从而b=a.由已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得ac cos B=1. 故由余弦定理知ac ·a 2+c 2-b 22ac=1,即a 2+c 2-b 2=2,故c=√2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b .答案:(1)解因为a 与b -2c 垂直,所以a ·(b -2c )=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2. (2)解由b +c =(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b +c |=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2 =√≤4√2.又当β=k π-π4(k ∈Z )时,等号成立,所以|b +c |的最大值为4√2.(3)证明由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a ∥b .18.(12分)某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t 百万元,可增加销售额约为-t 2+7t 百万元.(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x (1≤x ≤5)百万元,可增加的销售额约为12x 2+4ln x 百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)解:(1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元, 则由f (t )=(-t 2+7t )-t=-t 2+6t=-(t-3)2+9(0≤t ≤4),∴当t=3时,f (t )取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大. (2)用于技术改造的资金为x 百万元,则用于广告促销的资金为(5-x )百万元, 设由此增加的收益是g (x )百万元.则g (x )=12x 2+4ln x+[-(5-x )2+7(5-x )]-5=-12x 2+3x+4ln x+5. g'(x )=-x+3+4x =-x 2-3x -4x=-(x -4)(x+1)x,1≤x ≤5.则当1≤x<4时,g'(x )>0;当4<x ≤5时,g'(x )<0.∴当x=4时,g (x )取得最大值.即4百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此增加的收益最大. 19.(12分)(2019广东蕉岭中学高三下学期第一次适应性考试)设函数f (x )=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的图象的一个对称中心为(π12,0),且图象的一个最高点与相邻最低点的距离为√π24+12. (1)求ω,φ的值; (2)若f (α2+π12)=√34(0<α<π2),求cos (α+π4)的值.解:(1)由函数图象的一个最高点与相邻最低点的距离为√π24+12得,(πω)2+12=π24+12, 解得ω=2.故f (x )=√3sin(2x+φ).因为函数f (x )=√3sin(2x+φ)的图象的一个对称中心为(π12,0),所以2×π12+φ=k π,k ∈Z . 又因为-π2<φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)知,f (x )=√3sin (2x -π6),所以f (α2+π12)=√3sin [2(α2+π12)-π6]=√3sin α=√34, 所以sin α=14.因为0<α<π2,所以cos α=√154. 所以cos (α+π4)=√22(cos α-sin α)=√22×√15-14=√30-√28. 20.(12分)已知函数f (x )=sin 2x-cos 2x+2√3sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=2,c=5,cos B=17,求△ABC 的中线AD 的长.解:(1)f (x )=-cos2x+√3sin2x=2sin (2x -π6), ∴T=2π2=π,∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知f (x )=2sin (2x -π6),∵在△ABC 中f (A )=2,∴sin (2A -π6)=1, ∴2A-π6=π2,∴A=π3, 又cos B=17,∴sin B=4√37, ∴sin C=sin(A+B )=√32×17+12×4√37=5√314, 在△ABC 中,由正弦定理csinC =asinA ,得5√314=√32,∴a=7,∴BD=72.在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD ·cos B=52+(72)2-2×5×72×17=1294,∴AD=√1292. 21.(12分)已知函数f (x )=x 3+ax 2-x+c ,且a=f'(23).(1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间; (3)设函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x ,若当x ∈[-3,2]时,函数g (x )单调递增,求实数c 的取值范围. 解:(1)由f (x )=x 3+ax 2-x+c ,得f'(x )=3x 2+2ax-1. 当x=23时,得a=f'(23)=3×(23)2+2a×23-1, 解得a=-1.(2)由(1)可知,f (x )=x 3-x 2-x+c , 则f'(x )=3x 2-2x-1=3(x +13)(x-1), 由f'(x )>0,得x<-13或x>1; 由f'(x )<0,得-13<x<1.所以f (x )的单调递增区间是(-∞,-13)和(1,+∞),f (x )的单调递减区间是(-13,1). (3)函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x =(-x 2-x+c )·e x ,有g'(x )=(-2x-1)e x +(-x 2-x+c )e x =(-x 2-3x+c-1)e x , 因为函数g (x )在x ∈[-3,2]上单调递增,所以h (x )=-x 2-3x+c-1≥0在x ∈[-3,2]上恒成立.故只要h (x )在区间[-3,2]上的最小值h (2)≥0即可,解得c ≥11,所以c 的取值范围是[11,+∞).22.(12分)已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R ).(1)若函数f (x )在x=2处的切线方程为y=x+b ,求a ,b 的值; (2)若函数f (x )在区间(1,+∞)内为增函数,求a 的取值范围; (3)讨论方程f (x )=0的解的个数,并说明理由. 解:(1)因为f'(x )=x-ax (x>0),又f (x )在x=2处的切线方程为y=x+b , 所以{2-a2=1,2-aln2=2+b ,解得a=2,b=-2ln2.(2)若函数f (x )在区间(1,+∞)内为增函数, 则f'(x )=x-ax ≥0在区间(1,+∞)内恒成立,即a ≤x 2在区间(1,+∞)内恒成立,所以a ≤1.(3)当a=0时,f (x )在定义域(0,+∞)内恒大于0,此时方程无解. 当a<0时,f'(x )=x-ax >0在区间(0,+∞)内恒成立,所以f (x )在区间(0,+∞)内为增函数. 因为f (1)=12>0,f (e 1a)=12e 2a -1<0, 所以方程有唯一解. 当a>0时,f'(x )=x-ax =x 2-a x=(x+√a )(x -√a )x.因为当x ∈(0,√a )时,f'(x )<0, 则f (x )在区间(0,√a )内为减函数; 当x ∈(√a ,+∞)时,f'(x )>0,则f (x )在区间(√a ,+∞)内为增函数.所以当x=√a 时,f (x )有极小值,即最小值为f (√a )=12a-a ln √a =12a (1-ln a ). 当a ∈(0,e)时,f (√a )=12a (1-ln a )>0,方程无解; 当a=e 时,f (√a )=12a (1-ln a )=0,此方程有唯一解x=√e . 当a ∈(e,+∞)时,f (√a )=12a (1-ln a )<0, 因为f (12)>0,且√a >1,所以方程f (x )=0在区间(0,√a )内有唯一解. 因为当x>1时,(x-ln x )'>0,所以x-ln x>1, 所以x>ln x.所以f (x )=12x 2-a ln x>12x 2-ax.因为2a>√a >1,所以f (2a )>12(2a )2-2a 2=0,所以方程f (x )=0在区间(√a ,+∞)内有唯一解. 所以方程f (x )=0在区间(e,+∞)内有两解. 综上,当a ∈[0,e)时,方程无解; 当a<0或a=e 时,方程有唯一解; 当a>e 时,方程有两解.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。