高中数学第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程学案新人教B版选修4-4(2021学年)

201７-2018学年高中数学第一章坐标系1.3 曲线的极坐标方程学案新人教B版选修4-4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２017-2０18学年高中数学第一章坐标系 1.３曲线的极坐标方程学案新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为201７-２0１8学年高中数学第一章坐标系 1.3 曲线的极坐标方程学案新人教B版选修4-４的全部内容。

1。

３曲线的极坐标方程
［对应学生用书P8］
［读教材·填要点］
1.曲线的极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程Ｆ（ρ,θ)=0。

如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有的点组成的,则称此二元方程Ｆ(ρ，θ)=0为曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程
(１)当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0,则l的方程为θ=θ０。

（2)当直线ｌ过点M（ｄ,０）且垂直于极轴时，l的方程为ρcos θ＝ｄ.
（3)当直线l过点M(d，错误!）,且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d．
（4）极点到直线l的距离为ｄ,极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α,此时直线ｌ的方程为ρｃos＿(α－θ）＝d。

[小问题·大思维］
１.在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么,在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
提示:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如，给定曲线ρ＝θ,设点P的一极坐标为错误!，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标错误!就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,确定某一个点Ｐ是否在某一曲线C上，只需判断点Ｐ的极坐标中是否有一对坐标适合曲线Ｃ的方程即可．
2．在直线的极坐标方程中,ρ的取值范围是什么?
提示：ρ的取值范围是全体实数.
[对应学生用书P８]
极坐标方程与直角坐标方程的互化
［例1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1）y2=４ｘ;(２)ｙ2＋x2-2x-１＝0；
(3)ρcos2错误!=1；(4）ρ2cos 2θ=４;（５)ρ=错误!。

[思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
［精解详析] （１）将x=ρcｏs θ，y＝ρsiｎθ代入y2＝４x,
得(ρsｉn θ）２=4ρcos θ．
化简,得ρｓｉｎ２θ＝4cos θ．
（2）将x＝ρcos θ，y=ρsｉn θ代入y2＋x2－2ｘ－1=0，
得（ρsｉn θ）2＋(ρｃoｓθ)2-2ρcｏs θ-１＝０。

化简，得ρ2－2ρcｏs θ－1＝0.
(3)∵ρcoｓ２错误!＝1，
∴ρ·＼ｆ（1+ｃｏｓθ,2)＝1,
即ρ+ρcｏs θ＝2
∴＼r(x2＋y2)＋x=2.
化简,得y2＝－４（ｘ-1).
(4)∵ρ2ｃｏs 2θ＝4，
∴ρ2cos2θ-ρ2sｉｎ２θ＝4，
即ｘ2－y２=4．
（5)∵ρ＝＼f(１,2-cos θ)，
∴2ρ－ρcos θ=１.
∴２错误!－x=1.
化简，得３ｘ2+4y2-2x-1＝0。

直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式ｘ＝ρcｏs θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρｃos θ,ρsin θ,ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时,方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
1．求极坐标方程ρcos错误!=１所表示的直角坐标方程．
解：将ρcｏs错误!＝1化为错误!ρｃos θ＋错误!ρｓin θ=１。

将ρcos θ＝x,ρｓin θ=y代入上式,得错误!ｘ+错误!＝１，
即错误!x＋y-2=0．
求曲线的极坐标方程
［例2] 在直角坐标系xＯy中,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos错误!=1,M,Ｎ分别为C与ｘ轴、y轴的交点.
（1）写出C的直角坐标方程，并求Ｍ，N的极坐标；
(２)设MN的中点为P,求直线OＰ的极坐标方程.
［思路点拨] （1）利用两角差余弦公式展开,结合互化公式可得直角坐标方程.
（2）先求出Ｐ点的直角坐标,再求出ＯＰ的极坐标方程.
[精解详析］(1）由ρcos错误!=1
得ρ错误!=1．
从而C的直角坐标方程为错误!x＋错误!y=1,
即x+错误!y=2。

当θ=0时,ρ＝2，所以Ｍ（2，0）．
当θ＝＼f(π,2）时，ρ=错误!,所以N错误!。

(２）∵M点的直角坐标为(2,0),
N点的直角坐标为错误!,
所以Ｐ点的直角坐标为错误!。

则P点的极坐标为错误!，所以直线ＯＰ的极坐标方程为θ＝错误!(ρ∈Ｒ)．
2.设Ｍ是定圆Ｏ内一定点,任作半径OA，连接MA，自M作MＰ⊥MA交OA于P,求P点的轨迹方程．
解:以O为极点,射线OM为极轴，建立极坐标系,如图．
设定圆O的半径为r,OＭ=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点．
∵MP⊥MA,∴｜ＭA|2＋｜MＰ|２=｜ＰA｜2．
由余弦定理,可知｜MA|2=a2＋ｒ2－2arｃos θ，
|MP|２＝a2+ρ２－2aρcos θ．而｜PA｜＝ｒ-ρ，
由此可得a2＋r2-2ar cos θ+ａ2+ρ2-2aρcos θ＝(ｒ-ρ)2.
整理化简,得ρ＝错误!。

求直线的极坐标方程
[例3] 求出下列直线的极坐标方程:
(1)过定点Ｍ（ρ0,θ0)，且与极轴成α弧度的角;
(2)过定点M（ρ０,θ0),且与直线θ=θ0垂直.
［思路点拨] 本题考查直线的极坐标方程的求法.解答本题需要根据已知条件画出极坐标系,然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．
[精解详析] (1）设P(ρ,θ)为直线上任意一点（如图），且记∠OPＭ＝∠1，∠OＭP=∠2,
则∠1＝α－θ，∠2＝π-(α-θ0).
在△ＯMP中应用正弦定理得
错误!＝错误!,
即ρ=ρ0·＼ｆ(sｉnπ-∠2，sin ∠1)＝ρ0·错误!。

即直线方程为ρsiｎ（θ-α）=ρ0sin(θ0－α）．
(2)设P(ρ，θ）为直线上任意一点(如图所示)，△OMP为直角三角形，显然有ρcos (θ－θ0）＝ρ0.这就是所求直线方程．
求直线极坐标方程的步骤:
(1）设(ρ,θ)为直线上任一点的极坐标．
（2）写出动点满足的几何条件．
（3)把上述条件转化为ρ，θ的等式.
（4)化简整理．
3．求过A错误!且和极轴所成角为错误!的直线方程．
解：如图所示，Ａ错误!，
即|OＡ｜=３,∠AOＢ＝＼ｆ(π,3)。

设M（ρ,θ）为直线上任一点，
由已知得∠ＭBx＝＼ｆ（3π，4），
∴∠OAＢ＝错误!－错误!=错误!。

∴∠ＯＡＭ=π-＼ｆ(5π,12)＝错误!。

∠OMA＝∠ＭBｘ-θ＝错误!－θ．在△MOA中,根据正弦定理,得错误!=错误!。

sｉn错误!＝sin错误!=错误!，
将sin错误!展开，化简上面的方程,
可得ρ（sｉn θ+cos θ)＝＼f（33,2)＋错误!.
∴过Ａ错误!且和极轴所成角为错误!的直线方程为
ρ(ｓin θ+coｓθ）＝＼f(３3,2)+错误!。

[对应学生用书P10]
一、选择题
1.极坐标方程coｓθ＝错误!(ρ≥0)表示的曲线是( )
A.余弦曲线ﻩ
B.两条相交直线
Ｃ．一条射线ﻩ D.两条射线
解析:选D ∵cｏs θ＝错误!，∴θ＝±错误!＋2ｋπ(k∈Ｚ).
又∵ρ≥0，∴coｓθ=错误!表示两条射线．
2．在极坐标系中与曲线Ｃ:ρ＝４sin θ相切的一条直线的方程为( ）
A．ρｃos θ=２ﻩ B.ρsin θ＝2
Ｃ.ρ=4ｓｉｎ错误!Ｄ．ρ=４ｓin错误!
解析：选A ρ=4ｓin θ的普通方程为x2＋（y-2）２=4,ρcos θ=2的普通方程为ｘ=２,圆x2＋（y－２)2=4与直线x＝2显然相切.
3.直线θ＝α和直线ρsｉｎ（θ－α）=１的位置关系是( ）
A．垂直ﻩB．平行
C.相交但不垂直ﻩ
D.重合
解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y=xｔaｎα，ρｓin(θ-α）＝１化为ρsin θcoｓα－ρｃos θsin α＝1,即ｙ=ｘtaｎα+错误!。

所以两直线平行.
４.过点A（5，0)和直线θ＝＼f(π,４)垂直的直线的极坐标方程是( ）
A．ρsin错误!＝５ﻩ B.ρcos错误!＝错误!
Ｃ.ρsin错误!=错误!ﻩ D.ρｓin错误!=错误!
解析：选C 直线θ＝错误!即直线ｙ＝x,∴过点A(5，0）和直线θ＝错误!垂直的直线方程为ｙ=-x＋５,其极坐标方程为ρsin错误!=错误!．
二、填空题
５.在极坐标系中,直线l的方程为ρｓｉn θ＝3,则点错误!到直线ｌ的距离为____＿__＿.
解析:将直线l的极坐标方程ρsiｎθ=3化为直角坐标方程为y＝3，点错误!在直角坐标系中为(＼r(３)，１)，故点错误!到直线ｌ的距离为２.
答案：2
6．在极坐标系中,圆ρ＝４被直线θ=错误!分成两部分的面积之比是__＿_____.
解析：∵直线θ=＼f(π,４)过圆ρ＝4的圆心,∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1。

答案：1∶1
7.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<２π)中，曲线ρ=2sin θ与ρcoｓθ=-1的交点的极坐标为＿_______．
解析:由ρ=2sin θ，得ρ2=2ρｓin θ,
其普通方程为x２+ｙ2=2y．
ρcos θ=-1的普通方程为ｘ=-1。

联立错误!解得错误!
点（－１,1）的极坐标为错误!．
答案:错误!
8.在极坐标系中,定点Ａ（1，错误!)，点B在直线l:ρcoｓθ+ρｓin θ＝0上运动.当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsiｎθ＝0化为直角坐标方程为x+y=0,点Ａ错误!化为直角坐标得Ａ（0,1).如图，过Ａ作ＡＢ⊥直线l于B。

因为△ＡOＢ为等腰直角三角形，又因为|OＡ|＝1，
则|OB|=错误!，θ=错误!,故B点的极坐标是Ｂ错误!.
答案:错误!
三、解答题
9．求过(－2，３)点且斜率为２的直线的极坐标方程．
解:由题意知,直线的直角坐标方程为y-3=2(x＋2),
即2ｘ-y+7＝0。

设M(ρ，θ)为直线上任意一点,
将x=ρcos θ,y＝ρsｉn θ代入直角坐标方程
２x-y＋7=０，得2ρcｏｓθ-ρｓｉn θ＋7=0。

这就是所求的极坐标方程．
10.在极坐标系中,曲线C:ρ＝10ｃos θ和直线l:3ρcos θ－4ρsin θ－30=０相交于Ａ,Ｂ两点，求线段｜AB|的长．
解:分别将曲线C和直线ｌ的极坐标方程化为直角坐标方程:
圆Ｃ:x2＋y2=10x,即(x－５)2＋y２＝25,圆心C(5，０).
直线ｌ:３x－4y－3０=0．
因为圆心C到直线l的距离ｄ＝错误!＝3，
所以|AＢ|＝２２5－d2＝8。

１１．如图，点A在直线x＝4上移动,△ＯPA为等腰直角三角形，△OP Ａ的顶角为∠OPA(O,P，Ａ依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状.
解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为ρcos θ=4。

设Ａ(ρ0，θ0)，P(ρ,θ).
∵点Ａ在直线ρcｏｓθ=４上，
∴ρ0coｓθ０=4.①
∵△OPＡ为等腰直角三角形,且∠OPA＝＼ｆ(π,２),
而｜OP｜＝ρ,|OA|＝ρ０,以及∠PＯA＝＼ｆ(π,4）,
∴ρ0＝２ρ，且θ0＝θ－错误!．②
把②代入①,得点P的轨迹的极坐标方程为
＼r(2)ρcos错误!＝4.
由＼r（２)ρcoｓ错误!=4得ρ(cos θ+sｉn θ)=4．
∴点P轨迹的普通方程为x+y＝4，是过点(４，0）且倾斜角为错误!的直线.。