湖北省荆州市高中毕业班数学理工农医类质量检查试卷(i)

湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检查（I ）数学（理工农医类）
本试卷共三大题21道小题，满分150分，考试用时120分钟。

11月19日下午3: 00－5: 00 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。

2．第1至10小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

第11至21题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上的无效。

3．考试结束，只交答题卡。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，多涂、不涂或涂错均得0分。

1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 5=1，S 10=3，则S 20= A ．8
B ．27
C ．15
D ．40
2．下列四个函数：y=tan4x ，y=cos4x 、y=sin8x 、y=cot(x+
87π)，其中图象以点(8π
,0)为对称中心的函数个数为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设U 是全集，M 、N 、P 是集合，“M ∩P=N ∩P ，且( U M)∩P=( U N)∩P ”是 “M=N ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若函数y=π
|x|
(x ∈[a,b])的值域为[1,π2]，则点(a,b)的轨迹是图中的
A ．线段A
B 和OA B ．线段AB 和O
C C ．线段AB 和BC
D ．点A 和点C
5．已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足)2()(OA OC OB OC OB -+⋅-=0，且△ABC
的形状一定为 A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．斜三角形
6．已知随机变量ξ只能取5个值：x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其概率依次为等差数列，则这个数列的公差的取值范围是
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-101,101
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,51
C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31
D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21
7．若3
5
2
3lim 221
=
--+--→x x a x x x ，则a= A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
8．设命题P:“R 上的可导函数f(x)在R 上是单调递增函数”的充要条件是“在R 上在f ′(x)>0”；
命题Q ：“x 2=y 2”的否定是“x ≠y 且x ≠－y ”，给出下列四个复合命题：(1)P 或Q ；(2)P 且Q ；(3) P ；(4) Q ，则以上四个复合命题中，真命题的个数有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．若点P 在曲线y=
21x 2+2
1
ln(x+1)2上运动，则点P 处切线的倾斜角的范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,43,2ππππ B ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,43arctan ,2πππ
C ．[]ππππ,3arctan 2,4-⎪⎭⎫⎢⎣⎡
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎢⎣⎡3arctan ,22,4ππππ
10．对于集合M 、N ，定义M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，M ○
+N= (M －N)∪(N －M)，设A={y|y=
1
122+-x x ,x ∈R}，B={y|y ＝－3x ,x ∈R},则M ○
+N= A ．(]0,1- B ．[)0,1- C ．(－∞,－1)∪[)1,0 D ．(－∞,－1)∪(]1,0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中相应的横线上。

11．计算
2
)
3(31i i +-= .
12．已知△ABC 的内角满足sinA+cosA>0，tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 .
13．一工厂生产某种产品，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定
采用分层抽样的方法进行抽样，抽取产品280件，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数恰好组成一个公比为2的等比数列，则属于乙生产线的有 件产品. 14．在锐角△ABC 中，若tanA=t+1，tanB=t －1，则t 的取值范围是 .
15．对于任意实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]=1，[－1.1]=－2，那么
∑=20071
2
][log
i i = .（注：∑是连加符号，如）
∑=10
1
n n
a
=a 1+a 2+a 3+……+a 10）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知x ∈R ，奇函数f(x)=x 3－ax 2－bx+c 在[)+∞,1上是单调函数。

(1)若f(x)在x=1处取极值，求a, b, c 的值。

(2)设x 0≥1，f(x 0)≥1，且满足f[f(x 0)]=x 0，求证：f(x 0)=x 0. 17．（本小题满分12分）
已知向量a=(cos α,sin α)，b=(cos β,sin β)，c=(sin α,cos α)，d=⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,21，若a+b=d ，求a ·b
与b ·c 。

18．（本小题满分12分）
投掷一枚各面分别标上1,2,3,4,5,6的骰子，向上的点数记为x ，再投掷一次，向上的点数记为y ，随机变量ξ表示x 与y 的和. (1) 求随机变量ξ的分布列及E ξ；
(2) 设ξ的取值从小到大依次为x 1,x 2,…,x n ，P i =p (ξ=x i )，i=1,2,…,n ，数列{a n }是首项为
1，公差为d 的等差数列，设S=a 1p 1+a 2p 2+…+a n p n ，当S=E ξ时，求d 的值。

19．（本小题满分12分）
如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS
的面积为S 2.
(1)用a 、θ表示S 1、S 2； (2)当a 固定，θ变化时，求
2
1
S S 取最小值时的角θ。

20．（本小题满分13分）
研究指数函数y=a x (a>0且a ≠1)与其反函数y=log a x 图象的公共点个数时，我们发现：当0<a<1时，以上两函数的图象始终有公共点；当a>1时，以上两函数的图象的公共点个数与a 的取值有关，请你给出a>1时，关于以上两函数图象的公共点个数与a 的取值范围的对应关系的结论，并说明理由。

21．（本小题满分14分）
已知曲线C ：y=x 1
，曲线C n ：y=n
x -+2
1(n ∈N*)，从C 上的点Q n (x n ,y n )作x 轴的垂线，交曲线C n 于点P n ，再从点P n 作y 轴的垂线，交曲线C 于点Q n+1(x n+1,y n+1)，已知x 1=1，
设△P n Q n Q n+1的面积为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n . (1)求Q 1、Q 2的坐标； (2)用n 表示x n+1－x n ；
(3)求证：T n <6
1. 荆州市2008届高中毕业班质量检查（I ）数学（理工农医类）参考答案及评分说明 一、选择题
CDBCC ABCDC 二、填空题
11．431i +-
12．⎪⎭
⎫
⎝⎛4
3,2π
π 13．80 14．t>2 15．18034
三、解答题
16．解：(1)∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0，得c=0 （2分） 又由f(－x)=－f(x)恒成立，得a=0
∵f(x)在x=1处取极值，∴f ′(1)=0，即3－b=0，得b=3 ∴a 、b 、c 的值为a=0 b=3 c=0（6分） (2)由(1)得f(x)=x 3－bx ∴f ′(x)=3x 2－b
∵f(x)在[)+∞,1是单调函数，∴f ′(x)=0的根不大于1，而f ′(x)=3x 2－b 这个二次函数开口向上。

∴在[)+∞,1上应有f ′(x)≥0，即f(x)在[)+∞,1是增函数，f(x 0)≥1， 当f(x 0)>x 0时，则有f(f(x 0))>f(x 0). 即x 0=f[f(x 0)]>f(x 0)，与f(x 0)>x 0矛盾 若f(x 0)<x 0时，则f[f(x 0)]<f(x 0) 即x 0=f[f(x 0]<f(x 0)，也出现矛盾。

∴f(x 0)=x 0，即f(x 0)=x 0 （12分） 17．解：由a+b+d 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=+)
2(31sin sin )1(2
1cos cos βαβα
(1)2+(2)2得：2+2(cos αcos β+sin αsin β)=36
13
∴cos αcos β+sin αsin β=－
7259 即cos(α－β)=－72
59 ∴a ·b= cos αcos β+sin αsin β= cos(α－β)=－
72
59
（6分） (1)×(2)得：cos αsin α+cos βsin β+cos αsin β+cos βsin α=6
1
（3） 又∵cos αsin α+cos βsin β=21sin2α+2
1
sin2β =
21(sin[(α+β)+(α－β)]+ sin[(α+β)－(α－β)]) = sin (α+β)cos(α－β)= －7259
sin (α+β) （4） (9分)
∴(4)代入(3)得
－
72
59sin (α+β)+ sin (α+β)= 61，∴sin (α+β)=1312
∴b ·c=sin αcos β+cos αsin β=sin (α+β)= 13
12
（12分） 18．解：(1)ξ的分布列为
∵E ξ=2×
361+3×362+4×363+5×364+…+12×36
1=7（6分） (2)依题意 S=a 1×361+a 2×362+a 3×363+…+a 11×361
又S= a 11×
361+ a 10×362+a 9×363+…+a 1×36
1
∴2S=(a 1+a 11)×
361+(a 2+a 10)×362+(a 3+a 9)×363+…+(a 11+a 1) ×36
1
∵{a n }是等差数列，∴a 1+a 11=a 2+a 10=a 3+a 9=…= a 11+a 1 ∴2S=(a 1+a 11)×(361+362+363+…+36
1
)
=(a 1+a 11)即S=
d a a a 52
111
1+=+ （10分） 由(1) E ξ=7，又∵a 1=1，∴d=5
6
（12分）
19．解：(1)因为BC 为直径 ︒=∠∴90BAC
θθsin cos a AC a AB =⋅=∴
θ2sin 4
1
2121a AC AB S =⋅=
(2分)
设正方形PQRS 的边长为x,则有θθθθθθcos sin 1cos sin ,tan cot +==++a x a x x x 即θ
θ2sin 22sin +=a
2
22)sin 22sin (
θ
θ+==∴a x S
(6分)
(2))42sin 42(sin 412sin )sin 2(41)2sin 2()2sin (2sin 4122
2
2
21++=+⋅=+=θθθθθθθ
a a S S (8分)
]1,0(2sin ),,0(2),2,0(∈∈∴∈θπθπ
θ从而
令,],1,0(,2sin 2
1S S y t t =∈=设则θ则有
),44
(41++=
t
t y 此函数在]1,0(上是减函数 1=∴t 当时,y 取最小值
21S S ∴
取最小值时,4
,12sin πθθ==则 (12分)
20．解当y=a x 与y=log a x 的交点不位于y=x 时，我们设其交点为(m, n)，则必有另一个交点
(n, m)，从而有
a m =n ，a n =m ，不妨设m>n ，∵a>1
∴a m >a n ，即n>m 出现矛盾.
∴y=a x 与y=log a x 的交点都位于y=x 上，本题可以转化为研究y=a x 与y=x 的图象交点的个数。

设f(x)=a x －x ，则f ′(x)=a x
·lna －1
由f ′(x)=0得x 0=log a (log a e) 且x 0=log a (log a e)时，f(x)取极小值 又f(x 0)=log a e －log a (log a e)
当f(x 0)>0时，可得y=a x 的图象始终在y=x 的图象上方，∴没有交点； 当f(x 0)=0时，可得y=a x 与y=x 的图象只有一个交点； 当f(x 0)<0时， y=a x 与y=x 的图象有两个交点. 由f(x 0)=0得：e=log a e ，∴a e
=e ，即e
e a 1=
当e
e a 1
>
时，e>log a e ，f(x 0)>0
当，e
e a 1<时，e<log a e ，f(x 0)<0 （10分） ∴当1<e
e a 1<时，y=a x 与y=log a x 有两个交点.
当e e a 1=时，y=a x 与y=log a x 只有一个交点.
当e
e a 1>
时，y=a x 与y=log a x 没有交点. （13分）
21．解：(1) ∵x 1=1，∴y 1=
1
1
x =1，即Q 1为(1,1) P 1点的坐标为(1,
32)，Q 2应为 (23,3
2
) （2分） (2)当Q n 的坐标为(x n , y n )时，P n 的坐标为（x n ,
n
n x -+2
1）
从而y n+1=
n
n x -+21，∴x n+1=x n +2－
n
∴x n+1－x n =2
－n
（6分
(3)由(2)得：x n =2－(
2
1)n －1
∴y n+1=122)
2
1(211-=-+n n
n y n =
1
221--n n
y n －y n+1=
1
221--n
n －
1
221-+n n =
)
12
)(22
(21
1
--++n n n
(8分)
△P n Q n Q n+1的面积为
S n =21(x n+1－x n )·(y n －y n+1)= 21·2－n
·)
12)(22(21
1--++n n n =
21
·)
12)(22(111--++n n (10分) ∵2n+1－1≥3，2n+1－2≥2n
∴S n =21
·)12)(22(111--++n n ≤1231+⋅n
∴Tn ＝S 1＋S 2＋…＋Sn ≤
+⋅+⋅322
31231 (1)
231
+⋅n =61
)2121(31)2
12121(311132<-=+++++n n （14分）。