二次型在二次曲面研究中的应用

6x12 3 y12 8x1 6 y1 8z1 10 0
配方得:
6(
x1

8)2 3

3(
y1

1)2

8(
z1

17 ) 72

0
令
x~
x1

8 3
, ~y
y1 1
, ~z
z1

17 72
则原方程化为标准方程: 6x~2 3~y 2 8~z 0
该曲面为椭圆抛物面.
于是方程(2)可化为
1x12 2 y12 3z12 k1x1 k2 y1 k3z1 c 0 (3)
第二步, 作平移变换 ~y y y0 ,将方程(3) 化为标准方程, 其中 ~y ( x~, ~y, ~z ) , 这里只要用
配方法就能找到所用的平移变换.以下对 1,2 ,3
A


a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33

其中 aij a ji 利用二次型的表示方法，方程
（1）可表示成下列形式：
xT Ax bT x c 0 （2）
为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次 曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进 行.
1 2 0
0 0
0

0
xT A x bT x 0
A E ( 1)( 1)
22
A的特征值为
1


1 2
, 2
1 2
,
3 0 , 分别
求出它们所对应的特征向量, 并单位化得:

1 2

ห้องสมุดไป่ตู้p1




1
2

,
0
(d ) 1x~2 d 0 若1与d异号，表示两个
平行平面；若1与d 同号，图形无实点，若
d 0，表示 yoz 坐标面.
例13 二次曲面由以下方程给出, 通过坐标 变换, 将其化为标准型，并说明它是什么曲面. 2x2 3y2 4z2 4xy 4 yz 4x 2 y 12z 10 0
对实对称矩阵T ,存在正交矩阵 P 使得
P 1T P 1

2
故椭圆的标准方程为 1x12 2 y12 1
椭圆的两半轴分别为 1 , 1 ,
1 2 故其面积为： 1 1 .
1 2 ac b2
o
图6.18
x1
y
y1
x
注：
所作的正交变换实际上是一个旋转变换，z 轴不动，逆z 轴方向看去，x 轴，y 轴顺时针方向 旋转45 0角.
例15 求 xoy 面上的椭圆 ax2 2bxy cy2 1
的面积. 其中 a ＞ 0 , ac b2 ＞0 .
a ET
b 2 (a c) ac b2
例14 将二次曲面 z = x y 的方程化为标准
方程, 并说明它是什么曲面.
解 z = x y 可写成 xy – z = 0 , 令
x
0
0
1 2
0
x y , b 0 ,
z
1
A
该曲面方程用矩阵形式表示为:


(6-2)表示椭圆抛物面. 当 1,2 异号时, 方程
(6-2)表示双曲抛物面, (6-3) 表示柱面.
(3) 当 1,2 ,3中有两个为0 , 不妨设
2 3 0 , 方程(3) 可化为下列情况之一: (a) 1x~2 p~y q~z 0 ( p,q 0)
此时, 再作新的坐标变换:
（2）当 1,2 ,3 中有一个为0，设 3 0
方程（3）可化为：
1x~2 2 ~y 2 k~z (z3 0) 1x~2 2 ~y 2 d (k3 0)
(6-2) (6-3)
根据 1,2 与d 的正负号, 可具体确定方程(6-2)
(6-3)表示什么曲面. 例如当 1,2 同号时, 方程
b c
解 设二次型 f ( x, y) a x2 2bxy c y2
其系数矩阵 T a b , 由于 a ＞ 0 , b c
a b ac b2 ＞0 , 知T 正定,故特征值全大于0, bc 其特征多项式为:
特征方程有两个正的实根: 1, 2 且 1 2 ac b2.
第一步，利用正交变换x = Py 将方程（2）左 边的二次型xTAx的部分化成标准形：
xT Ax 1x12 2 y12 3z12
其中P为正交矩阵，y =(x1, y1, z1)T,相应地有
bT x bT Py bT P y k1x1 k2 y1 k3z1
是否为零进行讨论:
(1)当 1,2 ,3 0 时, 用配方法将方程(3)化为
标准方程:
1x~2 2 ~y 2 3~z 2 d
(6-1)
根据 1,2 ,3 与d 的正负号，可具体确定方程 （6-1）表示什么曲面. 例如 1,2 ,3 与d 同号，
则方程（6-1）表示椭球面.


1 2

p1



1
2

,
0

0 p3 0
1
取P= ( p1 , p2 , p3 ) ，则P为正交矩阵. 作正交变换
x = Py , y x1, y1, z1T , 则有：
xT
A
x


1 2
x12

1 2
y12

A 的特征值为 1 6 , 2 3 ,3 0 ,分别求出
它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：

1 3

p1


2 3

,

2 3


2 3

p2



1 3

,

2 3


2 3

p3


x x~ y p~y q~z z q~y p~z
p2 q2
p2 q2
(实际上是绕 x~ 轴的旋转变换), 方程可化为:
1x2 p2 q2 y 0 表示抛物柱面; (b) 1x~2 p~y 0 ( p 0) 表示抛物柱面; (c) 1x~2 q~z 0 (q 0) 表示抛物柱面;
一般方程为：
a11 x 2 a22 y 2 a33z 2 2a12 xy 2a13 xz
2a23 yz b1 x b2 y b3z c 0
（1）
其中aij ,bi , c(i, j 1,2,3) 都是实数.我们记
x ( x, y, z)T , b (b1,b2,b3)T ,
1 2
bT x 0, 0, 1

1 2
0

1 0
2 1 2 1
0


x1 y1



z1
0


z1


因此，所给二次曲面化成标准方程为：

1 2
x12

1 2
y12

z1

0
即
z1


1 2
x12

1 2
y12
表示双曲抛物面（马鞍面）.
z( z )


2 3


1 3

取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换
x = Py , 其中 y x1, y1, z1T , 则有:
xT A x 6x12 3 y12 bT (bT P) y 8x1 6 y1 8z1
因此, 原方程可化为:
解 将二次曲面的一般方程写成矩阵形式： xT Ax bT x 10 0
x


x y

，
z
b


4 2

，
2 A 2
2 3
0 2
12
0 2 4
A E 3 92 18 ( 3)( 6)
为研究一般二次曲面的性态我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程为此分两步进第一步利用正交变换xpy将方程2左第二步作平移变换将方程3化为标准方程其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换
§6.4 二次型在二次曲面研究中的应用
前面所讲的二次曲面，它们的方程都是特殊
形式，称为二次曲面的标准方程，而二次曲面的