2019年北师大版必修一高中数学同步辅导 (6)

【思维·引】 明确纵轴与横轴的意义,结合图像分析.
【解析】(1)图像表示了时间与距离两个变量的关系, 时间是自变量,距离是因变量. (2)10时和13时,分别离家10千米和30千米. (3)他在12时至13时离家最远,离家30千米.
(4)李明离家的距离是时间的函数,因为对于某一个确 定的时间,与之对应的离家距离是唯一确定的;时间不 是离家的距离的函数,因为对于某一个确定的离家距离, 与之对应的时间不是唯一确定的.
【思维·引】 1.分析当一个变量改变时,另一个变量是如何变化的来 确定是什么关系. 2.结合图像分析,由变量的变化情况和符号,根据问题 下结论.
【解析】1.选C. 企业利润y与广告费x、数学成绩y与 物理成绩x、女生的体重y与女生的身高x之间不具有确 定性关系,不是函数关系,正方形的周长y=4x是函数关 系.
【内化·悟】 依赖关系与函数关系的联系是什么? 提示:函数关系是确定性关系,依赖关系不一定是函数 关系,但函数关系一定是依赖关系.
【类题·通】 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤
【习练·破】 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪些 是函数关系? (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却,并将一温 度计放入茶杯中,每隔一段时间,观察温度计示数的变 化,冷却时间与温度计示数的关系.
【思考】 (1)变量与变量之间一定存在依赖关系吗? 提示:不一定.因为只有一个变量发生变化,另一个变量 随之发生变化时,两个变量才具有依赖关系.
(2)常量y与变量x能构成函数关系吗? 提示:可以.实数x发生变化,变量y都有唯一的值与之对 应.
【素养小测】 1.思维辨析 (1)水稻产量y与施肥量x是依赖关系. ( ) (2)圆的面积S与半径r是函数关系. ( ) (3)两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系. ( )
第二章 函 数 §1 生活中的变量关系
1.依赖关系和函数关系
依赖关系
函数关系
在某变化过程中,如果其 中一个变量的值发生了变 化,另一个变量的值也会 随之发生变化.
在某变化过程中,如果变 量具有依赖关系,对于其 中一个变量的每一个值, 另一个变量都有唯一确定 的值与之对应.
2.非依赖关系 在某变化过程中,如果其中一个变量的值发生了变化, 另一个变量的值不受任何影响.
次序 项目
1
2பைடு நூலகம்
3
4
5
6
7
8
温度(℃) 15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4
(1)请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力F随温度t变 化的图像. (2)根据上述数据以及得到的图像,你能得到怎样的实 验结论呢?
【解析】(1)口香糖黏附力F随温度t变化的图像如图:
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函 数 D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m 的函数
【解析】选C.由依赖关系及函数关系的定义知A、B正 确;对于C、D,如m=n2,则n=± m ,不是函数关系,故C 错误,D正确.
3.苹果的单价一定,那么购买苹果的钱数y与苹果的质 量x是________关系(填“依赖”、“非依赖”、或 “函数”). 【解析】苹果的单价一定,那么购买苹果的钱数y与苹 果的质量x是函数关系. 答案:函数
2.(1)上午8时气温约是0 ℃,全天最高气温大约是9 ℃, 全天最低气温大约是-2 ℃. (2)大约在0时、8时和22时,气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间,气温在0 ℃以上,变量0≤t≤24, 变量-2≤T≤9,由于图像是连续的,可知它们之间具有 随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势.T与t 具有依赖关系,也具有函数关系.
(2)商品的销售额与广告费之间的关系. (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系. (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.
【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系,根 据函数的定义知,二者之间存在函数关系,且冷却时间 是自变量,温度计示数是因变量.反之不行.
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存 在依赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比 如产品的质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额 与广告费之间是不确定性关系,即不是函数关系.
(2)通过表格来反映两个变量之间关系,解决这类问题 时,需根据表中两个变量对应数据,分析其变化情况,做 出判断.
【习练·破】 向平静的湖面投一块石子,便会形成以落水点为圆心的 一系列同心圆. (1)在这个变化过程中,有哪些变量?
(2)若圆的面积用S表示,半径用R表示,则S和R的关系是 什么?它们是常量还是变量? (3)若圆的周长用C表示,半径用R表示,则C与R的关系式 是什么?
提示:(1)√.水稻产量随着施肥量的变化而变化,所以 它们是依赖关系. (2)√.对于半径r都有唯一的面积S与之对应,所以圆 的面积S与半径r是函数关系. (3)×.只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一 个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有函数关 系.
2.下列说法不正确的是 ( ) A.依赖关系不一定是函数关系 B.函数关系是依赖关系
类型一 变量间关系的判断 【典例】1.下列各对变量x, y中,y与x是函数关系的 是( )
A.企业利润y与广告费x B.数学成绩y与物理成绩x C.正方形的周长y与边长x D.女生的体重y与女生的身高x
2.如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.
(1)上午8时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分 别是多少? (2)大约在什么时刻,气温为0 ℃? (3)大约在什么时刻,气温在0 ℃以上?两个变量有什么 特点,它们具有怎样的对应关系? 世纪金榜导学号
【解析】(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积 都是变量.
(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系,对于半径R的每 一个取值,都有唯一的面积S与之对应,所以圆的面积S 是半径R的函数,其函数关系式是S=πR2.圆的面积S、 半径R都是变量. (3)因为圆的周长为C,半径为R,则C=2πR.
【加练·固】口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香 糖有很多益处,但其残留物也会带来污染,为了研究口 香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过试验,测定 了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力, 得到了如表所示的一组数据:
【内化·悟】 图形上的点的位置与点的坐标的关系是什么? 提示:图形上的每一个点都有唯一的有序实数对和其对 应.
【类题·通】 表示变量的关系的两种常用方法
(1)借助图像反映生活中两个变量的关系,使其之间的 变化情况相吻合,以达到用图的目的.解决这类问题时, 需从图中找到两个变量,并判断它们之间相互依赖关系 的变化情况.
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系, 更不具有函数关系.
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变 量存在依赖关系,且对于每一个时间的值,路程是唯一 确定的,因此它们之间存在函数关系,且时间是自变量, 路程是因变量.反之也是.
综上可知,(1)(4)中的变量间具有依赖关系,且是函数 关系;(2)中变量间存在依赖关系,但不是函数关系; (3)中两个变量不存在依赖关系,也不具有函数关系.
类型二 变量关系的表示 【典例】如图所示,李明某天9时骑自行车离开家,15时 回到家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况.
(1)图像表示了哪两个变量的关系?哪个是自变量?哪个 是因变量? (2)10时和13时,他分别离家多远? (3)他在什么时间内离家最远?离家多远? (4)李明离家的距离是时间的函数吗?反过来,时间是离 家的距离的函数吗? 世纪金榜导学号
(2)实验结论: ①随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减小; ②当温度在37 ℃时,口香糖的黏附力最大.(答案不唯 一,合理即可)