黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0} C．{x|x∈R，x≠0} D．∅
2．化简的结果是（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）
A．32 B．C．48 D．
4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）
A． B．C．D．
5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上
单调递减，则ω为（）
A．1 B．2 C．D．
7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1
8．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的
解集是（）
A．{x|2＜x＜3} B．{x|x≤2或x≥3} C．D．
9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取
到最大值，则实数a的取值范围（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）
10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C﹣ABD 的外接球表面积为（）
A．16π B．12π C．8πD．4π
11．已知数列{c n}的前n项和为T n，若数列{c n}满足各项均为正项，并且以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n}为“抛
物数列”．已知数列{b n}为“抛物数列”，则（）
A．{b n}一定为等比数列B．{b n}一定为等差数列
C．{b n}只从第二项起为等比数列D．{b n}只从第二项起为等差数列
12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）
A．一定小于
B．一定大于
C．可能大于
D．可能等于
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为．
14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）
= ．
15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是．
16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．
（1）求tanA；
（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．
18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：
（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．
（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；
（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．
20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：
（1）数列{a n+2n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．
2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0} C．{x|x∈R，x≠0} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】由集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，求出A∩B即可．
【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，
B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，
∴A∩B={0}；
故选：B．
2．化简的结果是（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）．
【解答】解： =，
故选C
3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）
A．32 B．C．48 D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得
该四棱锥是底面为正方形，高为2的正四棱锥；
所以该四棱锥的体积是×42×2=．
故选：B．
4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）
A． B．C．D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
【解答】解：∵由，
∴，
∴．
故选A
5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P（2，0）到此渐近线的距离为，可求出倾斜角α的值，进而得到a，b的关系，再由双曲线的基本性质c2=a2+b2得到a与c 的关系，得到答案．
【解答】解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α
所以⇒a=b，
因此，
故选A．
6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）
A．1 B．2 C．D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由单调区间可知f（）=1．
【解答】解：∵f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴f max（x）=f（）=1，且（，1）为f（x）在第一象限内的第一个最高点，
∴sin=1， =，∴ω=2．
故选B．
7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1
【考点】二次函数的性质．
【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．
【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，
得a2﹣2a﹣3=0，解得：a=﹣1（舍）或a=3．
再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．
则a+b=3+0=3．
故选：A．
8．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）
A．{x|2＜x＜3} B．{x|x≤2或x≥3} C．D．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由已知可知，ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣；根据一元二次方程根与系数的关系可求a，b，进一步解方程．
【解答】解：由题意ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣，
∴﹣+（﹣）=，﹣×（﹣）=﹣，
解得a=﹣6，b=5，
∴x2﹣bx﹣a≥0为x2﹣5x+6≥0，其解集为x≤2或x≥3，
故不等式的解集为{x|x≤2或x≥3}，
故选：B．
9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取
到最大值，则实数a的取值范围（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y 化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．
【解答】解：由题意作出其平面区域，
由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，
将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，
z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，
则﹣a，
则a，
故选C．
10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C﹣ABD 的外接球表面积为（）
A．16π B．12π C．8πD．4π
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的表面积．
【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，
如图所示：
则BC⊥CD，BA⊥AD；
三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD=2，
外接球的表面积为4πR2=π=8π．
故选：C．
11．已知数列{c n}的前n项和为T n，若数列{c n}满足各项均为正项，并且以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n}为“抛
物数列”．已知数列{b n}为“抛物数列”，则（）
A．{b n}一定为等比数列B．{b n}一定为等差数列
C．{b n}只从第二项起为等比数列D．{b n}只从第二项起为等差数列
【考点】数列的函数特性．
【分析】以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，可得T n=++．当n≥2时，c n=T n﹣T n﹣1，化为：（c n+c n﹣1）（c n﹣c n﹣1﹣1）=0，由于数列{c n}满足各项均为正项，可得c n﹣c n﹣1=1，即可得出．
【解答】解：∵以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线
上运动，
∴aT n=+c n+b，即T n=++．
当n=1时，ac1=+ac1+b，化为﹣c1+=0，解得c1=或
c1=．
当n≥2时，c n=T n﹣T n﹣1=++﹣，化为：（c n+c n﹣1）（c n
﹣c n﹣1﹣1）=0，
∵数列{c n}满足各项均为正项，
∴c n﹣c n﹣1=1，
∴数列{b n}为等差数列，公差为1，首项为c1．
故选：B．
12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）
A．一定小于
B．一定大于
C．可能大于
D．可能等于
【考点】导数的运算．
【分析】构造g（x）=f（x）sinx，根据已知条件判断g（x）与g′（x）的关系，再构造h
（x）=，判断h（x）的单调性，利用单调性得出结论．
【解答】解：∵[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．
令g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）﹣g（x）＞0．
令h（x）=，则h′（x）=＞0．∴h（x）是增函数．
∴h（ln）＜h（ln），即＜，化简得f（ln）
sin（ln）＜0.6f（ln）sin（ln）．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为x2+（y+1）2=1 ．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），根据垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出m，n的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆C的标准方程．【解答】解：圆A（x﹣1）2+y2=1的圆心A（1，0），半径等于1，设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），
则有=﹣1，且=﹣，解得 m=0，n=﹣1，故点C（ 0，﹣1）．
由于对称圆C的半径和圆A（x﹣1）2+y2=1的半径相等，
故圆C的方程为 x2+（y+1）2=1，
故答案为 x2+（y+1）2=1．
14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）
= 1 ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ，再利用两角差的正切公式求得tan（α+β）的值．
【解答】解：∵tanα=﹣，cosβ=，α∈（，π），β∈（0，），∴sinβ=
=，tanβ==2，
∴tan（α+β）===1，
故答案为：1．
15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是[﹣8，+∞）．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
【分析】由题意可得﹣a≤x+（x＞0）的最小值，运用基本不等式，可得右边函数的最小
值，解不等式即可得到a的范围．
【解答】解：对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，
即为﹣a≤x+（x＞0）的最小值，
由x+≥2=8，当且仅当x=4取得最小值8，
即有﹣a≤8，解得a≥﹣8．
故答案为：[﹣8，+∞）．
16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为（2，+∞）．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），利用=a+b，可得cosθ=acosα+bcosβ，
sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos （α﹣β）]＞a（1﹣2ab），即可得出结论．
【解答】解：由题意，圆的位置不影响向量的大小，
可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），
∵=a+b，
∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，
平方相加，可得1=a2+b2+2abcos（α﹣β）＜（a+b）2，
∴a+b＞1，
∴a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），
∴＞＞＞2，
∴的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．
（1）求tanA；
（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，利用三角函数恒等变换的应用进一步化简可得，结合范围0＜A＜π，即可得解．
（2）由已知及余弦定理可得1=AC2+AB2﹣AC•AB，利用基本不等式解得AC•AB≤1，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，
即，
∴，
∴，
∵0＜A＜π，
∴．
（2）在△ABC中，BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，且BC=1，
∴1=AC2+AB2﹣AC•AB，
∵AC2+AB2≥2AC•AB，
∴1≥2AC•AB﹣AC•AB，
即AC•AB≤1，当且仅当AC=AB=1时，AC•AB取得最大值1，
此时．
18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：
（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点，即可得出结论；
（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．
【解答】（1）证明：直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0 令，解得x=y=2
∴直线l恒过定点A（2，2），
（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，
∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交
（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l
∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圆心C（3，4），半径为3
∴CA的斜率为2，
∴l的斜率为﹣
∵直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率为
∴=﹣
∴t=﹣
∵|CA|==
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2=4．
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．
（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；
（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，
∵M、N分别为棱AA1、CC1的中点，
∴MN∥AC，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∵BB1⊥AC，
∴MN⊥BB1，
∵BB1∩BD=B，
∴MN⊥平面BB1D．
（2）∵AA1⊥AB，
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，
则M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），
易求得面MDN的一个法向量为，
则面QMD的一个法向量为，
则，
所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值为．
20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：
（1）数列{a n+2n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】（1）证明：∵a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），
∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1+2n﹣1=（a n+1），
∴a n+2n﹣1=，
化为a n+1=3a n+2n，
变形为：a n+1+2n+1=3，
∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为3，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a n+2n=3n，
∴a n=3n﹣2n，
∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1+．
21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【分析】（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点
代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；
（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及直线方程的运用，即可得到定值．
【解答】解：（1）椭圆E：的焦点为（±，0），
设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
可得c==，
点代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=2，b=，
即有椭圆C的方程为；
（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．
故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），则，
设点P（x1，y1），则P1（x1，﹣y1），
设Q（x2，y2），则P1Q方程为，
令y=0，
则
，由得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4=0，
则．则
，
故，所以mn=4．所以mn是定值，定值为4．
22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．
【解答】解：（1）
①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；
②当b＞0时，减区间为，增区间为．
（2）由题意得e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）
显然a≤0时，e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=e x+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，
当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）为增函数，
所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；
当a＞1时，h′（0）=2﹣2a＜0，又，
所以一定存在，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），
所以h（x）在（0，x0）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，
x∈（0，x0），不满足题意．
综上，a取值范围为（﹣∞，1]．。