第二章 章末复习课

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研一研·题型解法、解题更高效
(2)如图，作 OE⊥BC 于 E，连接 AE.
∵平面 BC′⊥平面 ABCD， ∴OE⊥平面 ABCD，
本 ∴∠OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角．
课 时 栏 目 开
在 Rt△OAE 中，OE＝12，AE＝
∴tan∠OAE＝OAEE＝
5 5.
12＋122＝ 25，
课 时
证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定
栏 目
一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由
开
不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．
2．证明三点共线问题
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的
交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再
证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面
章末复习课
跟踪训练 3 如图，A，B，C，D 为空间四
点．在△ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝ 2，
等边△ADB 以 AB 为轴运动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD；
本 课
(2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的结论．
时 栏
解 (1)取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，因为
目
开 AB⊥平面 CDE，由 CD⊂平面 CDE，得 AB⊥CD.
综上所述，总有 AB⊥CD.
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章末复习课
题型四 空间角问题
1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的
本
夹角)．
课 时
2．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找
栏 目
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题型二 空间中的平行问题
1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定
义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α
本
课
⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒
所以 AD⊥平面 BCC1B1.
又 AD⊂平面 ADE，
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所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点，
所以 A1F⊥B1C1.
本 课
因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F⊂平面 A1B1C1，
平面 ABC，DB⊥平面 ABC，CE＝CA＝2BD，
M 是 EA 的中点，N 是 EC 的中点，求证：平
面 DMN∥平面 ABC.
本 课
证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点，∴MN∥AC，
时 又∵AC⊂平面 ABC，MN⊄平面 ABC，
栏 目
∴MN∥平面 ABC，
开 ∵DB⊥平面 ABC，EC⊥平面 ABC，
(3)面面垂直的判定方法：
时 栏
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90°)；
目 开
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
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例 3 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上 的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为
时
栏
a∥β)．
目
开 2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线
都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于
同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第
三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、
“线面平行”、“面林面老平师网行络编”辑的整理相互转化．
M⇒a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；
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⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．
本 课
射影)．
开 3．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；
(3)垂面法．
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例 4 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等
腰 梯 形 ， AB∥CD ， ∠DAB ＝ 60°， FC⊥ 平 面
ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
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跟 踪 训 练 1 如 图 ， O 是 正 方 体 ABCD －
A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心，M 是正方体对
角线 AC1 和截面 A1BD 的交点．求证：O、M、
本 课
A1 三点共线． 证明 ∵O∈AC，AC⊂平面 ACC1A1，
时
∴O∈平面 ACC1A1.
时 栏
故 BD⊥FG，
目 所以∠FGC 为二面角 F－BD－C 的平面角．
开 在等腰三角形 BCD 中，由于∠BCD＝120°，
因此 CG＝12CB.又 CB＝CF，
所以 GF＝ CG2＋CF2＝ 5CG，
故 cos∠FGC＝ 55， 因此二面角 F－BD－C
的余弦值为
5 5.
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(2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点，∴EF≠GH.
又 EF∥GH，∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M. EHGF⊂ ⊂面 面AABCCD⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD ⇒M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上⇒M∈AC.
∴GE 与 HF 的交点在直林线老师AC网络上编辑．整理
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
课
时 连接 HB，D1F，
栏
目 易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF.
开
∵HD1⊄平面 BDF，BF⊂平面 BDF， ∴HD1∥平面 BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.
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跟踪训练 2 如图，△ABC 为正三角形，EC⊥
B1C1 的中点．
本 课
求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
时 栏
(2)直线 A1F∥平面 ADE.
目 开
证明 (1)因为 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，
所以 CC1⊥平面 ABC.
又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E，
开 ∵AB⊥平面 BC′，OC⊂平面 BC′，
∴OC⊥AB，又 OC⊥BO，AB∩BO＝B.
∴OC⊥平面 ABO.又 OA⊂平面 ABO，∴OC⊥OA.
在 Rt△AOC 中，OC＝ 22，AC＝ 2，sin∠OAC＝OACC＝12， ∴∠OAC＝30°.
即 AO 与 A′C′所成角的林度老师数网为络编3辑0整°.理
的交线上．
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3．证明三线共点问题
本
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证
课
时
明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上
栏
目
的问题．
开
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例 1 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，
目 △ADB 是等边三角形，所以 DE⊥AB.当平面
开
ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面
ABC ＝ AB ， 所 以 DE⊥ 平 面 ABC ， 可 知
DE⊥CE，由已知可得 DE＝ 3，EC＝1，在 Rt△DEC 中，
CD＝ DE2＋EC2＝2.
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F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在
BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H 四点共面；
本 课
(2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
时 栏 目
证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又 EF∥BD，∴EF∥GH，
开 ∴E、F、G、H 四点共面．
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题型三 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
本
课
②线面垂直的性质(若 a⊥α，b⊂α，则 a⊥b)．
时 栏
(2)判定线面垂直的方法：
目 开
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝
时 栏
所以 CC1⊥A1F.
目 开
又因为 CC1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD.
又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，
所以 A1F∥平面 ADE.
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所以 BD⊥平面 AED.
(2)解 如图，
取 BD 的中点 G，连接 CG，FG，
由于 CB＝CD，
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因此 CG⊥BD.
又 FC⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
所以 FC⊥BD.
本 课
由于 FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面 FCG， 所以 BD⊥平面 FCG，
栏 目
∵M∈AC1，AC1⊂平面 ACC1A1.
开
∴M∈平面 ACC1A1.
又已知 A1∈平面 ACC1A1，即有 O、M、A1 三点都在平面
ACC1A1 上， 又 O、M、A1 三点都在平面 AB1D 上，所以 O、M、A1 三点
都在平面 ACC1A1 与平面 A1BD 的交线上， 所以 O、M、A1 三点共线．
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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD.
证明如下：①当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC＝BC，AD＝BD，
本 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD.
课 时
②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE.
栏 又因 AC＝BC，所以 AB⊥CE.又 DE，CE 为相交直线，所以
(1)求证：BD⊥平面 AED；
本 课
(2)求二面角 F－BD－C 的余弦值．
时 (1)证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
栏 目
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
开 又 CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即 AD⊥BD.
又 AE⊥BD，且 AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面 AED，
∴OG 綊 BE，四边形 BEGO 为平行四边形． ∴OB∥GE. ∵OB⊂平面 BDD1B1， GE⊄平面 BDD1B1， ∴GE∥平面 BDD1B1.
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(2)由正方体性质得 B1D1∥BD， ∵B1D1⊄平面 BDF，BD⊂平面 BDF， 本 ∴B1D1∥平面 BDF.
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跟踪训练 4 如图，正方体的棱长为 1，
B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO 与 A′C′所成角的度数；
(2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值；
本 课
(3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数．
时 栏
解 (1)∵A′C′∥AC，
目 ∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC.
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例 2 如图，E、F、G、H 分别是正方体
ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点，
求证：(1)GE∥平面 BB1D1D；
本 课
(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
时 栏 目 开
证明 (1)取 B1D1 中点 O，连接 GO，OB， 易证 OG 綊12B1C1，BE 綊12B1C1，
∴BD∥EC，四边形 BDEC 为直角梯形， ∵N 为 EC 中点，EC＝2BD，∴NC 綊 BD， ∴四边形 BCND 为矩形，∴DN∥BC， 又∵DN⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
∴DN∥平面 ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面 DMN∥平面 ABC林.老师网络编辑整理
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本 课 时 栏 目 开
林老网络、结构更完善
本 课 时 栏 目 开
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画一画·知识网络、结构更完善
本 课 时 栏 目 开
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题型一 几何中共点、共线、共面问题
本 1．证明共面问题