2024(新教材)【人教A版】20版必修二1向量的加法运算.pptx [修复的]

结合律呢？
如图，作 = Ԧ ， = ，以AB，AD为邻边作▱，
Ԧ
D
Ԧ
A
C
Ԧ + Ԧ
Ԧ
Ԧ
B
容易发现 = ， = Ԧ ，故 = + = Ԧ + .
又 = + = + Ԧ ，所以Ԧ + = + Ԧ .（交换律）
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
向量的加法运算
学习目标：
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法运算规律；
2.理解平面向量的加法运算的几何意义.
教学重点：
平面向量的加法运算法则及其几何意义.
教学难点：
对平面向量加法运算的几何意义的理解.
1.向量的定义： 既有大小，又有方向.
2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量
能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相
同.因此，位移可以看成是位移与合成的.从运算的角度看，可
以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
Ԧ
故Ԧ + ( + )
Ԧ = (Ԧ + ) + Ԧ .（结合律）
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
交换律：Ԧ + = + Ԧ .
结合律：Ԧ + ( + )
Ԧ = (Ԧ + ) + Ԧ .
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，
一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15
如果向量，共线，它们的加法与数的加法类似.令
Ԧ
= ，
Ԧ
= .
当，共线且同向时，|
Ԧ
Ԧ + | = ||
Ԧ + || ，如图.
Ԧ + Ԧ
O
Ԧ
A
Ԧ
B
当，共线且反向时，不妨设
Ԧ
Ԧ > || ，则 Ԧ + = Ԧ − || ，如图.
Ԧ
O
Ԧ + Ԧ
B
3.向量加法的平行四边形法则；
4.向量形式的三角不等式；
用，作出这个物体所受的合力F.
B
2
O
1
C
F
A
合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等
于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是1 与2 的和，即力
的合成可以看作向量的加法.
例1 如图，已知向量，，求作向量
Ԧ
Ԧ + .
Ԧ
Ԧ
作法1：在平面内任取一点O，作 = ，
Ԧ
A
问题2：结合例1，探究|Ԧ + |，||，
Ԧ
||之间的关系.
如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以
Ԧ
|Ԧ + | < ||
Ԧ + ||.
O
Ԧ
A
Ԧ
B
综上可知，|Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||，当且仅当，方向相同时等号成
Ԧ
立.
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作
Ԧ
= ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + ，即Ԧ + = + =
.
Ԧ
C
Ԧ
Ԧ
A
Ԧ
B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，
称为向量加法的三角形法则.
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作
Ԧ
所以，当，反向时，
Ԧ
Ԧ + = Ԧ − ||（或|| − ||）.
Ԧ
3.根据图示填空：
Ԧ
（1）Ԧ + =_______；
Ԧ
（2）Ԧ + Ԧ =_______；
Ԧ
（3）Ԧ + + Ԧ =_______；
Ԧ
（4）Ԧ + Ԧ + Ԧ =_______.
4.如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是
Ԧ
= ，则 = +.
Ԧ
Ԧ
O
A
Ԧ
B
作法2：在平面内任取一点O，作 = ，
Ԧ
= ，则 = +.
Ԧ
以OA，OB为邻边作▱，连接OC，则 = + = Ԧ + .
Ԧ
O
A
Ԧ
B
C
问题1：如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？
Ԧ
作出向量Ԧ + .
否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×” ）.
（ × ）
（ √ ）
（ × ）
5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的
大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际
航行速度的大小与方向.
1.向量的加法；
2.向量加法的三角形法则；
km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船
实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果
保留小数点后一位）与方向（用与江水速度
间的夹角表示，精确到1°）.
解：（1）如图，表示船速，表示江水速
D
C
A
B
度，以，为邻边作▱，则 表示船实际
验证：Ԧ + ( + )
Ԧ = (Ԧ + ) + .
Ԧ
D
Ԧ
Ԧ + + Ԧ
+ Ԧ
Ԧ +
A
Ԧ
C

B
如图， = + = Ԧ + ， = + = + .
Ԧ
在∆中， = + = Ԧ + + ，
Ԧ
在∆中， = + = Ԧ + ( + )，
间的夹角约为68°.
1.如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量
Ԧ
Ԧ + .
解：
2.当向量，满足什么条件时，
Ԧ
Ԧ + = Ԧ − ||（或|| − ||）？
Ԧ
解：当，反向且
Ԧ
Ԧ ≥ ||时， Ԧ + = Ԧ − ||；
当，反向且
Ԧ
Ԧ ≤ ||时， Ԧ + = − ||.
航行的速度.
（2）在Rt △ 中，||=6，|| = 15，
于是|| =
D
C
A
B
||2 + ||2 = 62 + 152 = 261 ≈ 16.2.
因为∠ =
||
||
5
= 2 ，所以利用计算工具可得∠ ≈ 68°.
因此，船实际航行速度的大小约为16. 2 km/h，方向与江水速度