【数学】福建省莆田市2020学年高二数学上学期期末考试试题文

【关键字】数学
福建省莆田市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．在一个容量为的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为的样本，那么总体中的每个个体被抽到的概率为() A．B．C．D．
2．一个单位有职工人，其中有业务员人，管理人员人，
后勤服务人员人，要从中抽取一个容量为的样本，用分层
抽样方法抽出样本，则在人的样本中管理人员人数为 ( )
A． B． C． D．
3．某校名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图
如图所示．规定不低于分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数
是 ( ) A． B． C． D．
则与的线性回归直线的必过点 ( )
A． B． C． D．
5．如图是年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族
舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩
数据的平均数和方差分别为（）
A．，B．，C．，D．，
6．总体由编号为，，…，，的个个体组成，利用
下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第
列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个
个体的编号为（）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若要使输出的的值等于，
则输入的的值可以是（）
A．B．C．D．
8．曲线在点处的切线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
9．掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有，，，，，），记录朝上一面的两个数，那么
互斥而不对立的两个事件是 （ ） A ．“至少有一个奇数”与“都是奇数” B ．“至少有一个奇数”与“至少有一个偶数” C ．“至少有一个奇数”与“都是偶数” D ．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数” 10．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
由上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元 时销售额为 ( ) A ．万元 B ．万元 C ．万元 D ．万元
11．执行如右图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．从数字，，，、中任取个数字构成一个两位数，则这个
两位数大于的概率是 ( ) A ． B ． C ． D ．
13．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人
被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
14．右图中的程序运行后，输出的值为 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 15．从，，，，，，中任取一个数，则取出的数
大于或能被整除的概率为___ _____；
16．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，
用茎叶图分别记录如右上图，则 (1)这种抽样方法
是用 抽样法；(2)由茎叶图可看出 车间
生产的产品的重量比较稳定．
17．某企业三月中旬生产A B C 、、三种产品共3000件，根
据分层抽样的结果，企业统计员制作了如右的统计表
格，由于不小心，表格中A C 、产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本容量 比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是___ __件．
18．通过模拟试验，产生了20组随机数：683030137055 74307740 4422 7884 2604 3346
产品类别
产品数量(件) 样本容量
第17题图
0952680797065774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754，如果恰有三个数在1，2，
3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____ _．
三、解答题：本大题共5小题，共计60分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．
19．（本小题满分10分） 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况， 调查部门对某校6名学生进行问卷调查. 6人得分情况为：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数x ； (2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，记他们的得分分别为a b 、，将之组成一个样本，记为()a b ,，求该样本平均数2
a b
+与总体平均数x 之差的绝对值不超过0.5的概率． 20．（本小题满分12分）
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果评价一下甲、乙两名战士的射击情况．（谁的射击平均水平好？谁的成绩稳定？） 21．（本小题满分12分）【参考公式：
()()
()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn
n
i i i
i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y
n x y b
x
x x
n x
====---⋅⋅==
--⋅∑∑∑∑，ˆˆa y bx
=-】 假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的修理费用y 万元)，有如下的统计资料： 由
资料可知
y 与x 具有线
性相关关系． (1)求回归方程ˆˆˆy
bx a =+； (2)估计使用年限为10年时维修费用是多少．（参考数据：
5
2
222221
2345690i
i x
==++++=∑，
5
1
=2 2.23 3.84 5.55 6.567.0112.3i i
i x y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑）
22．（本小题满分12分）
哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数(单位：百元)进行调查，在调查的1000位游客中有100位哈尔滨本地游客，把哈尔滨本地游客记为A 组，外地游客记为B 组，按分层抽样从这
1000人中抽取A ，B 组人数如下表：
A 组：
使用年限x 维修费用y
消费指数（百元）
合计
B 组：
（1）请完善以上两频率分布
表；（2）分别在答题纸上完成A 组与B 组的频率分布直方图；（直接作图即可）
（3）分别估计A ，B 两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的1000名游客消费指数的平均数． 23．（本小题满分14分）
已知函数3211()3
2
a f x x x ax a -=+--，x R ∈，0a >， （I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（III ）当=1a 时，设函数)(x f 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，
记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值．
15. 57
； 16.⑴ 系统 ，⑵ 甲 ； 17. 800 ； 18. 0.25 ；
三、解答题：
19. （本题满分10分）
解：(1)总体平均数为1
=(5678910)7.56
x +++++=； 3分
(2)从6名学生成绩中，抽取2个，全部可能的基本结果()a b ,有：(56),，
(57),，(58),，(59),，(510),，(67),，(68),，(69),，(610),，(78),，(79),，(710),，(89),
，(810),，(910),，共15个等可能性发生的基本结果．（6分） 设A 表示事件“样本平均数
2
a b
+与总体平均数之差x 的绝对值不超过0.5”， 即
7.50.52
a b
+-≤，∴1416a b ≤+≤，（7分） 事件A 包括的基本结果有：(59),，(510),，(68),，(69),，(610),，(78),，(79),， 共有7个基本结果，（8分） ∴7
()15
P A =，（9分） ∴所求的概率为
715
．（10分） 20. （本题满分12分）
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
消费指数（百元）
合计
人数 频率
解：(1) 1
(28262759104)710
x =
⨯+⨯+⨯++++=甲(环)， 1
(26472859)710
x =
⨯+⨯+⨯++=乙(环)． （4分） (2) 2
22222221
[2(87)2(67)2(77)(57)(97)(107)(47)] 3.010
S =
⨯-+⨯-+⨯-+-+-+-+-=甲(环2)， 2222221
[2(67)4(77)+2(87)(57)(97)] 1.210
S =
⨯-+⨯-⨯-+-+-=乙(环2) （8分） (3)∵x x =甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又22
S S >甲乙，
说明甲战士射击成绩比乙战士射击的成绩波动大， 因此乙战士射击的成绩比甲战士射击的成绩稳定．（12分） 21. （本题满分12分） 解：参考公式：
()()
()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn
n
i
i i
i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
n x y b
x
x x
n x
====---⋅⋅==
--⋅∑∑∑∑，
ˆˆa
y bx =-
参考数据： 5
2222221
2345690i i x ==++++=∑，
1(23456)45x =++++=，1
(2.2 3.8 5.5 6.57.0)55
y =++++=，
（3分） 5
2
2222212345690i
i x
==++++=∑， （4分）
51
=2 2.23 3.84 5.55 6.567.0112.3i i
i x y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑ （5分）
∴
5
1
5
2
2
2
1
5112.3545
ˆ 1.23
90545i
i
i i
i x y
x y b
x
x
==-⋅⋅-⨯⨯==
=-⨯-⋅∑∑， （7分）
ˆˆ=5 1.2340.08a
y bx =--⨯=， （8分） ∴回归方程为ˆˆˆ 1.230.08y
bx a x =+=+； （9分） (2)由回归方程ˆ 1.230.08y
x =+知， 当10x =时，ˆ 1.23100.0812.38y
=⨯+= (万元)． （11分） 故估计使用年限为10年时维修费用是12.38万元． （12分） 22. （本题满分12分）
解：（1）频率分布表如下：A 组：
消费指数（百元）
合计
人数 频率
B 组：
消费指数（百元）
合计
人数 频率
（4分）
（2）频率分布直方图如下图： （8分） （3）由频率分布直方图，估计A 组游客消费指数的平均数为：
33547695112
3.45220220220220220
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）
，（10分） B 组游客消费指数的平均数为：
6.5180
921518054213180722111803629180927=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元） （11分） 则1000名游客消费的平均数为3.450.1 5.60.9 5.385⨯+⨯=（百元）．（12分） 23．（本题满分14分） 解：（I ）∵32
11()32
a f x x x ax a -=
+--，0a >， ∴ 2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-，0a >，令()0f x '=， ∴ x a =或1x =-，
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
极大值
极小值
故函数)(x f 的单调增区间为(,1)-∞-，(,)a +∞，减区间为(1,)a -；（4分） （II ）由（I ）得：()f x 在区间(2,1)--上递增，在区间(1,0)-上递减，
又2(2)3f a -=-
-，11
(1)62
f a -=-，(0)f a =-，又函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，故当且仅当2(2)0311(1)062(0)0f a f a f a ⎧
-=--<⎪⎪
⎪
-=->⎨⎪
=-<⎪⎪⎩
， 即23130a a a ⎧
>-⎪⎪
⎪
<⎨⎪
>⎪⎪⎩
，∴103
a <<
，∴a
的取值范围为1(0,)3； （8分）
（III ）∵[,3]x t t ∈+，[3,1]t ∈--，∴3[0,2]t +∈， 又当=1a 时，31()13
f x x x =
--，[3,2]x ∈-，∴2
()1(1)(1)f x x x x '=-=+-， ∴1(1)(2)3f f -==-，5(1)(2)3
f f =-=-，
由（I ）得：()f x 在区间[3,1]--上递增，在区间[1,1]-上递减，在区间[1,2] 上递增，
⑴当[3,2]t ∈--时，3[0,1]t +∈，∴()f x 在区间[,1]t -上递增，在区间
[1,1]-上递减，∴函数)(x f 在区间[,3]t t +上的最大值为1()(1)3
M t f =-=-，
又3311
(3)()(3)(3)1(1)3(1)(2)33
f t f t t t t t t t +-=+-+----=++，
又[3,2]t ∈--，∴10t +<，20t +<，∴(3)()0f t f t +->， ∴(3)()f t f t +>，∴函数)(x f 在区间[,3]t t +上的最小值
31()()13m t f t t t ==--，∴1
()()()()3
g t M t m t f t =-=--，
又()f t 在[3,2]--递增，∴()g t 在[3,2]--递减，
∴()g t 在[3,2]--的上的最小值为1
154
(2)(2)3333
g f -=---=-+
=；
（11分）
⑵当(2,1]t ∈--时，3(1,2]t +∈，∴()f x 在区间[,1]t -上递增，在区间
[1,1]-上递减，在区间[1,3]t +上递增，又()f x 在[2,1]--上递增，
又(2,1]t ∈--，∴(2)()(1)f f t f -<≤-，又5(1)(2)3
f f =-=-
∴(1)()f f t <，∴函数)(x f 在区间[,3]t t +上的最小值5()(1)3
m t f ==-， 又()f x 在[1,2]上递增，又3(1,2]t +∈，∴(1)(3)(2)f f t f <+≤， 又1(1)(2)3
f f -==-，∴(3)(1)f t f +≤-，∴函数)(x f 在区间
[,3]t t +上的最大值为1()(1)3
M t f =-=-
， ∴154()()()333
g t M t m t =-=-+=
，∴()g t 在(2,1]--的上的最小值为4
3，
∴综上所述，函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为4
3
． （14分）
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