山西省阳泉市部分学校2024届九年级3月联考数学试卷(含解析)

山西省阳泉市部分学校2024年九年级中考3月联考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣D．
解析：解：|﹣|＝．
故选：D．
2．（3分）如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．（3分）全球变暖是当今世界面临的重大挑战之一，它不仅影响着我们的环境和生态系统，还对我们的经济发展和社会稳定造成了巨大的影响．为了减少二氧化碳的排放，我国积极地推行太阳能发电，截至去年12月底，全国累计发电装机容量约29.2亿千瓦．数据“29.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．29.2×108B．2.92×109
C．0.292×1010D．2.92×1010
解析：解：29.2亿＝2920000000＝2.92×109，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a10B．（﹣3a）2＝﹣9a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a9÷a7＝a2
解析：解：A、a5•a2＝a7，故此选项不符合题意；
B、（﹣3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；
D、a9÷a7＝a2，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，将一张半圆形纸片绕着虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：如图，将一张半圆形纸片绕着虚线旋转一周，得到的立体图形是球．
故选：B．
6．（3分）如图，四边形ACBD内接于⊙O，连接AB，CD，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝28°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．82°B．72°C．62°D．52°
解析：解：∵∠ADC＝28°，
∴∠ABC＝∠ADC＝28°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
故选：C．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
8．（3分）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，横面由四块大小相同的正方形瓷砖构成，若蜘蛛停留的位置是随机的，则它停留在阴影区域内的概率是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：设每小格的面积为1，
∴整个瓷砖的面积为4，
阴影区域的面积为2，
∴最终停在阴影区域上的概率为：＝．
故选：B．
9．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h ＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球从飞出到落地要用4s
解析：解：20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间，
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2，
∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20，故D错误；
∴t＝3时，h＝15，此时小球继续下降，故B错误；
∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4，
∴t2﹣t1＝4，
∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确．
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点F，再以点B为圆心，
BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知AB＝，AD＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π+C．﹣1D．﹣
解析：解：由题意可知，BE与扇形DAF只有一个交点，则BE与扇形DAF相切，设这个切点为G，连接AE，AG，则AG⊥BE．
过点E作EH⊥AB，交AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，DC＝AB＝．
由题意可得，BE＝AB＝，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：
CE＝＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝﹣1，
∵CE＝BC＝1，
∴∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝45°，
即扇形BAE的圆心角为45°．
在Rt△DAE和Rt△GAE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△GAE（HL），
∴EG＝DE＝﹣1，
∴BG＝1，
∴∠GAF＝∠CBE＝45°，
即扇形AGF的圆心角为45°．
∴S阴影＝S扇形AGF+S△AEG+（S扇形BAE﹣S△ABE）
＝+AG×EG+（﹣AB×EH），
＝+×（﹣1）+（﹣）
＝
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
解析：解：原式＝＝．
故答案为：．
12．（3分）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I （A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．当I＝8.8A时，该台灯的电阻R是　25　Ω．
解析：解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系，
设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I＝，
∵点（50，4.4）在函数I＝的图象上，
∴，
解得：k＝220，
∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I＝，
当I＝8.8时，8.8＝，
∴R＝25．
故答案为：25．
13．（3分）随着国家提倡节能减排，新能车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能车，
去相距200km的古镇旅行，原计划以v km/h的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了0.5h到达，则可列方程　＝0.5　．
解析：解：根据题意得：＝0.5．
故答案为：＝0.5．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板（∠BCA＝90°，∠A＝30°）按如图所示放置，其中B（0，1），C（2，0），则点A的坐标为　（2+，2）　．
解析：解：过点A作AD⊥x轴交x轴于点D，
由已知可得，BO＝1，OC＝2，
在Rt△BOC中，
BC＝＝，
∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴tan A＝，
∴＝，
∴AC＝，
∵∠OBC+∠BCO＝∠BCO+∠ACD＝90°，
∴∠OBC＝∠ACD，
∴△OBC∽△DCA，
∴＝＝，
∴，DA＝2，
∴OD＝OC+CD＝2+，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2+，2）．
故答案为：（2+，2）．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF
交DC于点G，连接DF，则的值为 ．
解析：解：延长BG与AD的延长线交于点H，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴BE＝CG，
∵E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝CD，AB＝2BE，
∴CG＝CD，
∴CG＝DG，
在△BCG和△HDG中，
，
∵△BCG≌△HDG（ASA），
∴BC＝DH＝AD，
即点D为AH的中点，
∵BF⊥AE，
∴DF＝AD＝DH，
设BF＝a，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠1＝∠1，
∴△ABE∽△AFB，
∴AB：AF＝BE：BF，
∴2BE：AF＝BE：a，
∴AF＝2a，
在Rt△ABF中，AF＝2a，BF＝a，
由勾股定理得：AB＝＝，
∴DF＝AD＝，
∴＝＝．
故答案为：..
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答题应写出解题步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：．
（2）计算：（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）2+4．
解析：解：（1）
＝﹣2+（﹣1）﹣1﹣4
＝﹣8；
（2）（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）2+4
＝x2﹣4﹣（x2﹣4x+4）+4
＝x2﹣4﹣x2+4x﹣4+4
＝4x﹣4．
17．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，∠ACB＝60°．
（1）实践操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，交CD于点M．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段AM与CM的数量关系，并证明你的猜想．
解析：解：（1）如图，AM即为所求．
（2）AM＝CM．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°．
∵AM是∠DAC的平分线，
∴，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴AM＝CM．
18．（9分）某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和服务质量满意度的问卷调查．随机抽取200名学生进行问卷调查，调查问卷如下．
XX餐厅饭菜品质和服务质量的满意度问卷调查
1．您对本校餐厅服务的整体评价为_____．（单选）
A．很满意
B．满意
C．一般
D．不满意
2．您认为本校最需要改进的地方为_____．（单选）
A．饭菜口味
B．供应品种
C．用餐秩序
D．其他服务设施
该校餐厅负责人将这200份调查问卷的结果整理后，绘制成了如下两幅统计图．
（1）若将整体评价中很满意、满意、一般、不满意分别评分为5分、4分、3分、1分，求该餐厅在此次调查中，整体评价分数的众数和平均数．
（2）在此次调查中，认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数有多少？
（3）请你根据此次问卷调查的结果，对该餐厅的饭菜品质和服务质量提出两条合理的建议．
解析：解：（1）由图可知，众数为5分，
平均数：（100×5+50×4+30×3+20×1）÷200＝4.05（分），
答：整体评价分数的众数为5分，平均数为4.05分．
（2）由扇形统计图可知，需要改进供应品种所占的圆心角的度数为144°，
∴认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数：×200＝80（人），
答：认为该餐厅需要在供应品种上进行改进的学生人数有80人．
（3）答案不唯一，合理即可．
答：①该餐厅需要对饭菜品种和类别进行优化，提高供应品种的多样性；②该餐厅需要对其他服务设施进行优化升级，提高服务质量．
19．（9分）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．
（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知
甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？
解析：解：（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元．
根据题意，得，
解得，
∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元．
（2）设购进乙种型号头盔a个，则购进甲种型号头盔（200﹣a）个．
根据题意，得W＝（55﹣45）（200﹣a）+（80﹣60）a＝10a+2000，
∵10＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵a≤80，
∴当a＝80时，W取最大值，W最大＝10×80+2000＝2800，此时200﹣80＝120（个），
∴购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元．20．（7分）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为20cm，宽为16cm的矩形纸片ABCD．
第二步：如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使得点B的对应点F落在边AD上，展开后得到折痕CE．第三步：如图3，再将该矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在CF上，展开后得到折痕CG．
第四步：如图4，再将矩形纸片ABCD折叠，使得点G落在边DC上的点M处，展开后得到折痕DN，则M为CD的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得CF＝OB＝20cm．∵CD＝16cm，∴根据勾股定理，可得DF＝＝
12cm．
设DM＝DG﹣CH﹣x，∵DH＝CF﹣CH＝20﹣16＝4cm，∴…
任务：（1）请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
（2）在解决问题的过程中，我们通过计算GD的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是　③　.（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
（3）如图5，在图4的基础上，将矩形纸片ABCD沿着折痕DN折叠后，点C恰好落在AD上的点Q处，连接NQ，判断四边形CDQN的形状，并加以证明．
解析：解：（1）在Rt△GHF中，∠GHF＝90°GF＝12﹣x，GH＝x，FH＝4，
根据勾股定理，得FG2＝FH2+GH2，
∴（12﹣x）2＝x2+42
解得，
∴．
∵CD＝16，
∴．
（2）这里运用的数学思想方法是数形结合思想，
故答案为：③；
（3）四边形CDQN是正方形．证明如下：
∵∠ADC＝∠BCD＝∠NQD＝90°，
∴四边形CDQN为矩形，由折叠的性质，得CD＝DQ．
∴四边形CDQN是正方形．
21．（13分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，作直线AC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若P是抛物线y＝ax2+bx﹣2上的一点，设点P的横坐标为m（﹣3＜m＜0），△APC的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
（3）若点M是抛物线y＝ax2+bx﹣2上的一点，过点M作MN∥BC交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与y轴交点C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，
设P（p，p2+p﹣2），则Q（p，﹣p﹣2），
∴PQ＝﹣p﹣2﹣（p2+p﹣2）＝﹣p2﹣2p，
∴△APC的面积为S＝OA•PQ＝×3（﹣p2﹣2p）＝﹣p2﹣3p＝﹣（p+）2+，∴当m＝﹣时，S有最大值，S的最大值为；
（3）存在．
①如图2，当四边形BCMN为平行四边形时，CM∥BN．
∵抛物线y＝x2+x﹣2的对称轴为直线x＝﹣1，点C（0，﹣2）．
∴点M（﹣2，﹣2）；
②如图3，当四边形BCNM为平行四边形时，过点M作MQ⊥x轴于点Q．
∵BC＝MN，BC∥MN，
∴∠MNQ＝∠CBO．
∵∠MQN＝∠COB＝90°，
∴△MNQ≌△CBO（AAS），
∴NQ＝OB＝1，MQ＝OC＝2．
设点，
∴，解得，，
∴点或，
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或或．。