第五章-多自由度系统的振动-yyt

车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼 建模方法3： 优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦 合，模型较为精确
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
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主要内容

多自由度系统的动力学方程

作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量阵和刚度阵的正定性质 耦合与坐标变换
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
例题 如图系统。写出 M 、 K 及运动微分方程。
解： 考虑静态，即不产生加速度。
令 X 1 0 0T
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 2 21 2 j 2 n 1 2 j P (t ) ..................... 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
坐标间的耦合项
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一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
转动运动。两圆盘的外力矩M1(t)和M2(t) ，转动惯量I1和I2 ，轴 段的扭转刚度分别为Kθ1， Kθ2 和 Kθ3 ，试建立系统的运动微分 方程。
当m1上产生单位 位移时P1(t)的值
P1 ( t ) k11 P( t ) P2 ( t ) k21 k P3 ( t ) 31
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
受力分析 K1
P1(t)
m1

多自由度系统的自由振动


固有频率
模态（主振型） 模态正交性、主质量和主刚度
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主要内容

多自由度系统的受迫振动

系统对简谐力激励的响应 动力吸振器 模态叠加法在受迫振动中的应用
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一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
平动运动。图示双质量弹簧系统，两质量m1和m2分别受到激振 力P1(t)和P2(t)的作用。不计摩擦和其他形式的阻尼，试建立系 统的运动微分方程。
代入 ：
P(t ) MX
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 m11...m1 j ...m1n m1 j P 1 (t ) P (t ) m ...m ...m 0 m 21 2j 2n 2j P(t ) 2 1 .......... .......... . 0 mnj Pn (t ) mn1...mnj ...mnn 0
代入 ：
KX P (t )
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 2n 2j 2 21 2 j P (t ) 1 ..................... 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
例题 如图系统。写出 M 、 K 及运动微分方程。
结论：刚度矩阵K中的元素kij 的物理意义：是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需 施加的外力 。 结论：质量阵M 中的元素mij 是系统为仅在第j 个坐标上产 生单位加速度而在第i个坐标上所需施加的外力。
刚度矩阵：
k1 k 2 K k2 0
k2 k 2 k的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
例3 如图系统。写出 M 、 K 及运动微分 方程。
解： 考虑动态 ，即不产生位移。
令 令
1 0 0T X 0 1 0T X 0 0 1T 令 X
KX P (t ) MX
一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
例题 如图双混合摆。两刚体质量 m1, m2 ，质心分别为
一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
小结:
1 k1 k2 k2 x1 P1 (t ) x m1 0 x P (t ) m 0 k k k x 2 3 2 2 2 2 2
当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。 那么 M、K 该如何确定？
刚度矩阵K
假设外力是以准静态方式施加于系统，加速度为零。X
则：
0
KX P (t )
假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第 j 个坐标上产生 单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移。即：
X [ x1,...,x j 1, x j , x j 1,...,xn ]T [0,...,0,1,0,...,0]T
19令t001x????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktptptpt????211222111112100100
解： 建立坐标：设某一瞬时 角位移 1 , 2
受力分析：
角加速度
, 1 2
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一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
受力分析：
建立方程：
k k ( ) M (t ) I 1 1 1 1 2 1 2 1 I 2 2 k 2 ( 2 1 ) k 3 3 M 2 (t )
K X P (t ) MX
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项 皆为 n 维
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
考察作用力方程：
KX P (t ) MX
X Rn
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2 k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
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写成矩阵形式：
I1 0
坐标间的耦合项
使系统只在第j 个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度 所施加的一组外力，正是质量矩阵M 的第j 列。
结论：质量阵M 中的元素mij 是系统为仅在第j 个坐标上产生 单位加速度而在第i个坐标上所需施加的外力。
mij、 kij 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。
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根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程， 这种方法称为影响系数方法 。
K2
故
k11 k1 k 2
k21 k2
k 31 0
令 X 0 1 0T 令 X 0 0 1T
k12 k 2
k13 0
k 22 k 2 k3 k5 k6
k32 k3
k 23 k3
k 33 k 3 k 4
k3 k3 k 4 0
力量纲
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一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
建立方程：
1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P1 (t ) m1 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t ) m2 x
写成矩阵形式：
力量纲
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
KX P(t) MX
X Rn
质量矩阵 M
假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即： X = 0 P (t ) 则有： MX 假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第 j 个坐标上产生 单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度。即：
[ x 1,..., x j 1, x j , x j 1,..., x n ]T [0,...,0,1,0,...,0]T X
质量矩阵：
有： m11 m1 有： m12 0
有： m13 0
m1 M 0 0 0 m2 0
m21 0 m22 m2 m23 0
0 0 m3
m31 0 m32 0 m33 m3
运动微分方程：
m1 0 0 0 m2 0
解： 建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
1、 2 x x 设某一瞬时： m1和m2上分别有位移x1和x2 、加速度
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一、多自由度系统的动力学方程——作用力方程
受力分析：
建立方程：
1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P1 (t ) m1 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t ) m2 x
优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面
3
之间的相互影响
引例：轿车行驶在路面上会产生上下振动
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼 建模方法2： 优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
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引例：轿车行驶在路面上会产生上下振动
1 k1 k 2 0 x 2 k 2 0 x 3 m3 x 0
k2 k 2 k3 k5 k 6 k3
x1 P 1 (t ) x P (t ) k3 2 2 k3 k 4 ) x3 P3 (t21 0
k 1 k 2 k 2 1 M 1 (t ) I1 0 1 M (t ) 0 I k k k 2 2 3 2 2 2 2
1、多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。 2、如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、 位移、加速度及力都理解为广义的。可统一表示为：
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列Kij kij（i=1~n） ：在第 i 个坐标上施加的外力
结论：刚度矩阵K中的元素kij 的物理意义：是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需 施加的外力 。
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一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
作用力方程
振动理论与声学原理
第五章 多自由度系统的振动
1
振动的基本概念
自由度
用来描述系统全部元件在运动过程中的某一瞬 时在空间所处几何位置的独立坐标的数目。 自由度确定则系统的运动状态确定。

弹簧-质量系统
扭振系统
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引例：轿车行驶在路面上会产生上下振动
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼