江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十一章计数原理随机变量及其概率分布11.4离散型随机变量及其概率分布

§11.4 离散型随机变量及其概率分布
考情考向分析 以理解离散型随机变量及其概率分布的概念为主，考查离散型随机变量、
离散型随机变量的概率分布的求法．在高考中常以解答题的形式进行考查，难度多为中低档．
1．离散型随机变量的概率分布
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值
x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表
为离散型随机变量X 的概率分布表． (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布
如果随机变量X 的概率分布表为
其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 3．超几何分布
一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的
n 件产品中次品的件数，那么
P (X ＝r )＝C r M C n －r
N －M
C n N (r ＝0,1,2，…，l )．
即
其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
概念方法微思考
1．随机变量和函数有何联系和区别？
提示区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；
联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？
提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．
3．如何判断所求离散型随机变量的概率分布是否正确？
提示可用p i≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋p n＝1检验．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √)
(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √)
(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( ×)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √)
(5)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．( √)
题组二教材改编
2．[P48练习T3]设随机变量X的概率分布如下：
则p＝________.
答案1 4
解析 由概率分布的性质知，112＋16＋13＋1
6＋p ＝1，
∴p ＝1－34＝1
4
.
3．[P52T1]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3
解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 题组三 易错自纠
4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________．(填序号) ①至少取到1个白球；②至多取到1个白球；③取到白球的个数；④取到的球的个数． 答案 ③
解析 ①②表述的都是随机事件；④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.
5．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10
解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3
n
＝0.3，得n ＝10.
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案
27220
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 1
9C 312＝27
220
.
题型一 离散型随机变量的概率分布的性质
1．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝
a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则
P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
<X <52的值为________． 答案 56
解析 ∵P (X ＝n )＝
a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，
∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54
， ∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56
. 2．设离散型随机变量X 的概率分布为
求2X ＋1的概率分布． 解 由概率分布的性质知，
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 列表为
从而2X ＋1的概率分布为
引申探究
1．若题2中条件不变，求随机变量η＝|X －1|的概率分布． 解 由题2知m ＝0.3，列表为
∴P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3.
故η＝|X －1|的概率分布为
2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X 2
的概率分布． 解 依题意知η的值为0,1,4,9,16. 列表为
从而η＝X 2
的概率分布为
思维升华(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
题型二 离散型随机变量的概率分布的求法 命题点1 与排列、组合有关的概率分布的求法
例1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者
A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者
B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，
另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的概率分布． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 4
8C 510＝518
.
(2)由题意知，X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝1
42，
P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝5
21，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝10
21
，
P (X ＝3)＝C 26C 3
4C 510＝5
21，
P (X ＝4)＝C 16C 4
4C 510＝1
42.
因此X 的概率分布为
命题点2 与互斥事件有关的概率分布的求法
例2已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的概率分布．
解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 1
3A 25＝310.
(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 2
2A 25＝1
10，
P (X ＝300)＝A 3
3＋C 12C 13A 2
2A 3
5＝3
10
， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)
＝1－110－310＝3
5.
故X 的概率分布为
命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法
例3(2018·苏州期初)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．每次游戏结束后将球放
回原箱．
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
(2)在两次游戏中，记获奖次数为X ，求X 的概率分布． 解 (1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A ， P (A )＝C 23C 1
2C 25C 23＝15
.
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为1
5.
(2)X 的所有可能取值为0,1,2，
记“在一次游戏中摸出2个白球”为事件B ， P (B )＝C 23C 2
2＋C 13C 12C 1
2C 25C 2
3＝12
， 则在一次游戏中获奖的概率为15＋12＝7
10
.
P (X ＝0)＝310×310＝
9100
， P (X ＝1)＝C 12×710
×310＝2150
， P (X ＝2)＝710×710
＝49100
. X 的概率分布为
思维升华求离散型随机变量X 的概率分布的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的概率分布．
求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
跟踪训练1连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的概率分布．
解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4.
A 1，A 2，A 3为互斥事件，则
P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫
163＋C 13·16·C 12·16·C 11·1
6＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫
162
·16＝
5
108
. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，
P (ξ＝6)＝16
，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫162＋2×C 12×16×16＝
536
， P (ξ＝2)＝
5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554
. 故ξ的概率分布为
题型三 超几何分布
例4某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语， 则P (A )＝C 25C 1
2C 37＝4
7
.
(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝4
35，
P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝18
35，
P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝12
35，
P (X ＝3)＝C 33C 37＝1
35，
∴X 的概率分布为
思维升华(1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．
跟踪训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．
解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ， 则P (A )＝C 13C 2
7C 310＝2140
.
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k
7
C 3
10(k ＝0,1,2,3)． ∴P (ξ＝0)＝C 03C 3
7C 310＝7
24，
P (ξ＝1)＝C 13C 2
7C 310＝21
40
，
P (ξ＝2)＝C 23C 1
7C 310＝7
40，
P (ξ＝3)＝C 33C 0
7C 310＝1
120.
故ξ的概率分布为
1．某射手射击所得环数X 的概率分布为
答案 0.79
解析 根据X 的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)＝________. 答案 45
解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 2
2C 36＝4
5.
3．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为
则q ＝________. 答案 32－336
解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<2
3，∴q ＝32－
336
.
4．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23k
(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．
答案
2738
解析 由概率分布的性质得
P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)
＝m ×23＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m
27＝1，
∴m ＝2738
.
5．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学期末)袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同．现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝4)＝________. 答案
427
解析 由题意可知最后一次取到的是红球，前3次有1次取到红球， 所以P (X ＝4)＝C 11C 1322
34＝4
27
.
6．某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为________． 答案 2
3
解析 6名选手依次演讲有A 6
6种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55
，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 5
5A 66＝2
3
.
7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的概率分布为______________________． 答案
解析 X 的取值为3,4,5.
又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 2
3
C 35＝0.3，
P (X ＝5)＝C 2
4
C 35＝0.6.
所以X 的概率分布为
8.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案
1335
解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 1
3C 47＋C 4
4C 47＝13
35.
9．随机变量X 的概率分布如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13
解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝2
3.
又a ＝13－d ，c ＝1
3
＋d ，
根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，
∴－13≤d ≤1
3
.
10．(2018·南京模拟)已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n (n ∈N *
)分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． (1)求在一局游戏中得3分的概率； (2)求游戏结束时局数X 的概率分布．
解 (1)设在一局游戏中得3分为事件A ，则P (A )＝C 12C 12C 1
1C 35＝25.
(2)由题意随机变量X 的可能取值为1,2,3,4， 且在一局游戏中得2分的概率为C 12C 2
2＋C 22C 1
1C 3
5＝3
10
；
则P (X ＝1)＝C 22C 1
2C 35＝1
5
，
P (X ＝2)＝45×310＝625
， P (X ＝3)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－310
×25＝
28
125， P (X ＝4)＝45×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－310
×35＝
42
125
， ∴X 的概率分布为
11.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 2
3＋C 23C 2
3C 4
8＝635. 所以事件A 发生的概率为6
35
.
(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k
3
C 48
(k ＝1,2,3,4)．
P (X ＝1)＝C 15C 3
3C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 2
3C 48＝3
7，
P (X ＝3)＝C 35C 1
3C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 0
3C 48＝1
14.
所以随机变量X 的概率分布为
12．若随机变量η的概率分布如下：
则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是________． 答案 (1,2]
解析 由离散型随机变量的概率分布知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，
P (η<2)＝0.8，
则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.
13．一只口袋中有n (n ∈N *
)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ，若P (X ＝2)＝7
30，求：
(1)n 的值； (2)X 的概率分布．
解 (1)由题意知P (X ＝2)＝A 13A 1n A 2n ＋3＝3n (n ＋3)(n ＋2)＝7
30，
化简得7n 2
－55n ＋42＝0，即(7n －6)(n －7)＝0， 因为n ∈N *，所以n ＝7.
(2)由题意知X 的所有可能取值为1,2,3,4，
P (X ＝1)＝A 1
7A 110＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝A 23A 1
7A 310＝7120，P (X ＝4)＝1－710－730－7120＝1
120，
所以X 的概率分布为
14.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *
)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1
2，求n 的最大值；
(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的概率分布．
解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为 C 1
n －6C 1
6C 2n ＝
12(n －6)
n (n －1)， 则
12(n －6)n (n －1)≥1
2
.
化简得n 2
－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.
(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 2
6C 212＝5
22，
P (X ＝1)＝C 16C 1
6C 212＝6
11，
P (X ＝2)＝C 26C 212＝5
22，
所以X 的概率分布为
15．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计得到：送考一次的20人，送考2次的100人，送考3次的80人，从200名司机中任选两人，求这两人送考次数相等的概率．
解 设“两人送考次数相等”为事件M ，则P (M )＝C 2
20＋C 2
100＋C 2
80C 2
200＝83199， ∴两人送考次数相等的概率为83
199
.
16．为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x )、推理(能力指标y )、建模(能力指标
z )的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生
的数学核心素养：若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X ＝a －b ，求随机变量X 的概率分布． 解 由题意可知，数学核心素养等级是一级的有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养等级不是一级的有A 4，A 7，A 9，A 10.
X 的所有可能取值为1,2,3,4,5.
P (X ＝1)＝C 13C 1
2C 16C 14＝1
4；
P (X ＝2)＝C 13C 1
1＋C 12C 1
2C 16C 1
4＝7
24； P (X ＝3)＝C 13C 1
1＋C 12C 1
1＋C 11C 1
2C 16C 1
4＝7
24； P (X ＝4)＝C 12C 1
1＋C 11C 1
1C 16C 1
4＝1
8； P (X ＝5)＝C 11C 11C 16C 14＝1
24.
∴随机变量X 的概率分布为。