2013.4静安数学模拟卷A

静安区2012学年第二学期教学质量调研
九年级数学 2013.4
（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是
（A ）)2)(2(22-+=-x x x （B ）2)2)(2(2-=-+x x x （C ）)2)(2(4-+=-x x x （D ）4)2)(2(-=-+x x x 2．下列方程中，有实数根的是
（A ）11-=+x （B ）x x -=-1 （C ） 033=+x （D ）044=+x 3．函数1--=k kx y （常数0>k ）的图像不经过的象限是
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ） 第三象限 （D ）第四象限 4．已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的
（A ）中位数是5.5，众数是4 （B ）中位数是5，平均数是5 （C ）中位数是5，众数是4 （D ）中位数是4.5，平均数是5 5．如果□ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断□ABCD 为菱形的是 （A ）∠OAB ＝∠OBA （B ）∠OAB ＝∠OBC （C ）∠OAB ＝∠OCD （D ）∠OAB ＝∠OAD
6．一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的 翻移，这条直线称为翻移线．如图△222C B A 是由△ABC 沿直线l 翻移后得到的．在下列
（A ）各对应点之间的距离相等 （B ）各对应点的连线互相平行 （C ）对应点连线被翻移线平分 （D ）对应点连线与翻移线垂直
（第6题图）
2
1
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．计算：2
1
2
-= ▲ ．
8．不等式组⎩
⎨⎧<+->-02,
032x x 的解集是 ▲ ．
9．如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数是 ▲ ．
10．如果关于x 的方程0162=-+-m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 11．如果点A （–1，2）在一个正比例函数)(x f y =的图像上，那么y 随着x 的增大而
▲ （填“增大”或“减小”）．
12．将抛物线122+=x y 向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ．
13．某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的频数分布情况如下：
75~90有15人，90~105有42人，105~120有58人，135~150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数在120~135分数段的频率是 ▲ ． 14．从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之和为素数
的概率是 ▲ ．
15．在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =3AD ，b BC a AB ==,，那么= ▲ ．
16．如果⊙O 1与⊙O 2内含，421=O O ，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径的取值范围是 ▲ ． 17．在△ABC 中，∠A ＝40º，△ABC 绕点A 旋转后点C 落在边AB 上的点C ’，点B 落到
点B ’，如果点C 、C ’、B ’在同一直线上，那么∠B 的度数是 ▲ ．
18．在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，四边形EFGH 是
矩形，EF =2FG ，那么矩形EFGH 与正方形ABCD 的面积比是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）
化简：112
)1()11(---+-x x x
，并求当23-=x 时的值．
20．（本题满分10分）
解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++.
044,
944222
2y x y x y xy x
21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB =12，3
4cot =
∠ADB ． 求：（1）∠DBC 的余弦值； （2）DE 的长．
22．（本题满分10分）
一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．
23．（本题满分12分，每小题满分6分）
已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上， DA =DB ，BD 与CE 相交于点F ，∠AFD =∠BEC ．
求证：（1）AF =CE ；
（2）AF EF BF ⋅=2．
（第21题图）
A
B
C
E
D
（第23题图）
A
B
C
D E
F
24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，AH =5，CD =54，点E 在⊙O 上，射线AE 与射线CD 相交于点F ，设AE =x ，DF =y ． （1）求⊙O 的半径；
（2） 如图，当点E 在上时，求y 与x 之间的函
数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果EF =2
3
，求
DF 的长．
25．（本题满分14分，每小题满分7分）
如图，点A （2，6）和点B （点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，BC //x 轴，2tan =∠ACB ，二次函数的图像经过A 、B 、C 三点． （1） 求反比例函数和二次函数的解析式； （2） 如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，四边形ACDE 是平行四边
形，求边CD 的长．
（第24题图）
（第25题图）
静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2013.4.19
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．
2
2
； 8．2>x ； 9．1±； 10．10>m ； 11．减小； 12．1)3(22+-=x y ； 13．25.0； 14．21； 15．a 32
--； 16．7>r ； 17．︒30； 18．9
4．
三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，
满分78分）
19．解：原式=1
2122)1()1(---+-x x x
x …………………………………………………………（2分） =122-x x +2
1x x
-……………………………………………………………………（2分）
=)
1)(1()
1(-+-x x x x ………………………………………………………………………（2分）
=
1
+x x ． ……………………………………………………………………………（1分） 当23-=x 时，原式=
2
3
1)
13)(13()13)(23(1
323-=
+-+-=
--．……………………（3分） 20．解：由（1）得：32±=+y x ，……………………………………………………………（2分）
由（2）得：.040=-+=-y x y x 或…………………………………………………（2分）
原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+,0,32y x y x ⎩⎨⎧=-+=+,04,32y x y x ⎩⎨⎧=--=+,0,32y x y x ⎩
⎨
⎧=-+-=+.04,
32y x y x ……（2分） 解得原方程组的解是⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧==,
1,
5,1,12211y x y x ⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧-=-=.7,
11,1,12
211y x y x …………………………（4分） 21．解：(1) ∵Rt △ABD 中，AB
AD
ADB =
∠cot ，……………………………………………（1分） ∴
.16,12
34==AD AD
………………………………………………………………
（1分） ∴BD =2016122222=+=+AD AB ．…………………………………………（1分） ∵AD //BC ，∴∠DBC =∠ADB ，……………………………………………………（1分）
∴.54
2016cos cos ===∠=∠BD AD ADB DBC ………………………………………（1分）
（2）在Rt △BCD 中，BC
BD
DBC =∠cos ，………………………………………………（1分）
∴25,2054==BC BC
．………………………………………………………………（1分） ∵AD //BC ，∴25
16
=
=BC AD BE DE ．…………………………………………………（1分） ∴,41
16=BD DE …………………………………………………………………………（1分） ∴DE =.41
3202041164116=⨯=BD ……………………………………………………（1分）
22．解：设这辆高铁列车全程的运行时间为x 小时，…………………………………………（1分） 则那辆动车组列车全程的运行时间为)3(+x 小时，…………………………………（1分）
∴
9931320
1320=+-x x ，…………………………………………………………………（3分）
33
40
40=+-x x ．
………………………………………………………………………（1分） ,04032=-+x x ………………………………………………………………………
（1分） .8,521-==x x ………………………………………………………………………（1分）
经检验：它们都是原方程的根，但8-=x 不符合题意． 当5=x 时，
2645
1320
=．
………………………………………………………………（1分） 答：这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．……………（1分）
23．证明：（1）∵DA =DB ，∴∠FBA =∠EAC ，………………………………………………（2分）
∵∠AFD =∠BEC ，∴180º–∠AFD =180º–∠BEC ，即∠BF A =∠AEC ．……（2分） ∵BA=AC ，∴△BF A ≌△AEC ．……………………………………………………（1分） ∴AF =CE ．……………………………………………………………………………（1分） （2）∵△BF A ≌△AEC ，∴BF = AE ．……………………………………………………（1分）
∵∠EAF =∠ECA ，∠FEA =∠AEC ，∴△EF A ∽△EAC ．…………………………（2分） ∴
EA
EF
EC EA =
．………………………………………………………………………（1分） ∴CE EF EA ⋅=2．…………………………………………………………………（1分）
∵EA=BF ，CE=AF ，∴AF EF BF ⋅=2．…………………………………………（1分）
24．解：（1）联结OD ，设⊙O 的半径OA =OD =r ．
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴DH =
52542
1
21=⨯=DC ．………（1分）
∵222DH OH OD =-,222)5()(r OA AH OH -=-=,
∴ 222)52()5(=--r r ．……………………………………………………（1分）
∴⊙O 的半径OA=2
9
=r ．………………………………………………………（1分） （2）作OG ⊥AE ，垂足为G ，∴AG =2
21x
AE =．
∵AF
AH
AO AG A =
=cos ，………………………………………………………………（1分） ∴AH AO AF AG ⋅=⋅，∴5292⨯=⋅AF x ，∴AF =x
45
．…………………………（1分）
∴222228155)45(
x x
x AH AF FH -=-=-=
． ∵DH FH DF -=，∴y 关于x 的函数解析式为52815
2--=
x x
y ．……（1分）
定义域为530≤<x ．……………………………………………………………（1分） （3）当点E 在上时，∵AF –AE=EF ，∴
2
3
45=-x x ， 090322=-+x x ，6),(2
15
21=-
=x x 舍去．…………………………………（1分）
∴5526816
5
2=--=
=y DF ．
……………………………………………（1分） 当点E 在DB 上时，∵AE –AF=EF ，∴2
3
45=-x x ，
090322=--x x ，)(6,2
15
21舍去-==x x ．…………………………………（1分）
∴11)2
15
(81152581522=-⨯⨯=-=
x x FH ． ∴ 1152-=-=FH DH DF ．………………………………………………（1分） 当点E 在BC 上时，同上11=FH ，∴ 1152+=+=FH DH DF ．………（1分）
25．解：（1）设反比例函数的解析式为kx y =．
∵点A （2，6）在反比例函数的图像上，∴6=2
k
，……………………………（1分） ∴12=k ，∴反比例函数的解析式为x
y 12=
．…………………………………（1分） 作AM ⊥BC ，垂足为M ，交y 轴于N ，∴CM =2．
在Rt △ACM 中，422tan =⨯=∠⋅=ACB CM AM ．……………………………（1分） ∵BC //x 轴，OC ==MN AN –AM =6–4=2，∴点C 的坐标（0，2）．…………（1分） 当2=x 时，6=y ，∴点B 的坐标（6，2）．……………………………………（1分）
设二次函数的解析式为22++=bx ax y ，⎩⎨⎧++=++=,26362,2246b a b a ……………………（1分）
∴⎪⎩⎪⎨⎧
=-=.
3,
21b a ∴二次函数的解析式为23212++-=x x y ．……………………（1分）
（2）延长AC 交x 轴于G ，作EH ⊥x 轴，垂足为H ．…………………………………（1分）
∵在□ACDE 中，AC //DE ，∴∠AGO =∠EDH ．…………………………………（1分） ∵BC //x 轴，∴∠ACM =∠AGO ．∴∠ACM =∠EDH ．……………………………（1分） ∵∠AMC =∠EHD =90º，AC =ED ，∴△ACM ≌△EDH ．…………………………（1分） ∴EH =AM =4，DH =CM =2．∴点E （3，4）．………………………………………（1分） ∴OE =3，OD =OE –DH =1．…………………………………………………………（1分） ∴CD=5122222=+=+OD OC ．……………………………………………（1分）。