2019年湖南省张家界市第四中学高三数学理月考试卷含解析

2019年湖南省张家界市第四中学高三数学理月考试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 设点F1为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若△OPF1是底角为30°等腰三角形，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
如图，因为△中，，又因，
∴△是等边三角形，故，
由此得到,.
故选：A
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是
A. －2
B. －
1 C. 0 D. 2
参考答案：
A
4. 若，则函数的两个零点分别位于区间（）
A.和内
B.和内
C.和
内 D.和内
参考答案：
A
略
5. 我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为
（）
A．15 B．31 C．63 D．127
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=5，
故v=1，
i=4，v=1×2+1=3
i=3，v=3×2+1=7
i=2，v=7×2+1=15
i=1，v=15×2+1=31
i=0，v=31×2+1=63
i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，
故选：C
6. （5分）已知a≠0直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，则ab 的最大值等于（）
A． 0 B． 2 C． 4 D．
参考答案：
B
【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】：直线与圆．
【分析】：当b=2 或b=﹣2时，经过检验不满足条件．当b≠±2时，根据两直线方程求出它们的斜率，根据斜率之积等于﹣1求得ab的最大值．
解：若b=2，两直线方程为y=﹣x﹣1和x=，此时两直线相交但不垂直．
若b=﹣2，两直线方程为x=﹣和y=x﹣，此时两直线相交但不垂直．
所以当b≠±2时，两直线方程为 y=﹣﹣和y=﹣，
此时两直线的斜率分别为﹣、﹣，
由﹣（﹣）=﹣1，求得 a2+b2=4．因为 a2+b2=4≥2ab，
所以ab≤2，即ab的最大值等2，当且仅当a=b=时取等号．
故选B．
【点评】：本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
7. 关于方程的两个根以下说法正确的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】D 在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）
的图象，如图：
由图可知：0＜x1＜1，1＜x2＜2，
所以1＜x1+x2＜2．
故选D．
【思路点拨】在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，观察图象可得．
8. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．2 D．
参考答案：
D
考点：双曲线的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
∵一条渐近线的斜率为，∴=，
即b=a，
则c===a．
即e==．
故选D．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
9. 已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
10. 函数的所有零点之和等于
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
参考答案：
C
由，得令
,在同一坐标系中分别做出函数，
，，由图象可知，函数
关于对称，又也是函数
的对称轴，所以函数的交点也关于对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为 6.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ．
参考答案：
（x＞﹣2）
考点：反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．
解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，
把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．
故答案为：（x＞﹣2）．
点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．
12. 已知cos(75°+α)=，则cos（30°﹣2α）的值为．
参考答案：
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．
【解答】解：∵已知，
∴sin（15°﹣α）=，
则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，
故答案为．
【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
13. 下面有5个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；
④把函数的图象向右平移得到的图象；
⑤角为第一象限角的充要条件是
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
参考答案：
答案：①④
解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
14. 等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6= ．
参考答案：
12
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：∵S3=12，
∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．
解得d=2，
则a6=a1+5d=2+2×5=12，
故答案为：12
15. 把二进制数化为十进制数，结果为．
参考答案：
试题分析：：
考点：十进制与二进制的互化
16. 中，设，那么动点的轨迹必通过的
（）
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
参考答案：
C
假设BC的中点是O.则,即
，所以,所以动点在线段的中垂线上，所以动点的轨迹必通过的外心，选C.
17. 已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a= ．
参考答案：
2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得A（1，1），
∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，
∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，
结合图象直线过A（1，1）时，z最大，
z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，
故答案为：2．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．
参考答案：
【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…
=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），
∴cos＜，＞===﹣，
∴CE与PD所成角的余弦值为．…
（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，
∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），
又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．
设为平面CDE的法向量，
则，取x=1，得=（1，0，1），…
设直线BF与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞
|==，…
令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，
当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…
19. 已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设x∈[﹣，]，求f（x）的值域和单调递增区间．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，，结合正弦函数的图象和性质可得f
（x）的值域，由递增时，，可得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）
∵=…，
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期为π．…
（Ⅱ）∵，
∴，
∴．
∴f（x）的值域为
．…
当递增时，
，
即．
故f（x）的递增区间为．…
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为，求．参考答案：
（1）直线的普通方程为；
圆的直角坐标方程为；（2）．
（1）由直线的参数方程（为参数）得直线的普通方程为
．
由，得，
即圆的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，
由于，
故可设，是上述方程的两个实根，所以．
又直线过点，
故．
21. 设函数.
（Ⅰ）求的最小值及取得最小值时的取值范围；
（Ⅱ）若集合求实数的取值范围。

参考答案：
（1）的最小值为3，此时.
（2）
当集合
即恒成立时，由数形结合可得.
22. （本小题满分12分）
若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。

(1) 求数列的公比；
(2) 若，求的通项公式.
参考答案：
（本小题满分12分）解：（1）设数列的公差为,由题意，得= 所以因为，所以
故公比
（2）因为
所以因此
略。