【课堂设计】高二数学北师大版选修4-1课件1.2.1 圆周角定理
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已知圆心(周)角讨论圆周(心)角时,常用圆周角定理来联系它们,此 时,要注意区分圆周(心)角所对的弧是优弧还是劣弧.
题型一
题型二
题型三
题型二
圆周角定理推论的应用
【例题 2】 如图,BC 为☉O 的直径,AD⊥BC,������������ = ������������,BF 和 AD 相交于点 E,求证:AE=BE. 分析:要证 AE=BE,只需在△ABE 中证明∠ABE=∠EAB,而要证这两个 角相等,只需借助∠ACB 即可. 证明:∵BC 是☉O 的直径, ∴∠BAC 为直角. 又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB. ∵������������ = ������������ ,∴∠FBA=∠ACB. ∴∠BAD=∠FBA,即∠EAB=∠ABE. ∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE.
).
1
2
2.圆周角定理的推论
1 2 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相 等的圆周角所对的弧也相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弧是半圆 作用 确定两个圆周角(两 段弧)相等 确定 90° 的圆周角 以及半圆
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等 于它所对的弧”. (2)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选劣 弧. (3)在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系 简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.
5 2
“分类”与“转化” 剖析:(1)分类.在证明圆周角定理时,首先对圆心的位置分类:圆心在圆 周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部 ,对这三种情况分 别给出了证明,这体现了数学中的分类讨论思想,也就是在解决一个问题时, 无法用同一种情形去解决,而需要将问题划分成几个不同形式的小问题,将 这些小问题加以逐个解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.当数 学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时,就应分类 讨论.其优点是一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题,另一方面 恰当的分类可避免丢值漏解. (2)转化.在圆周角定理证明中,先证明了第一种情况圆心在圆周角的一 边上,再证明后两种情况时,都转化为第一种情况,这体现数学中的转化与化 归思想,也就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知 的、熟悉的、简单的问题,从而使问题顺利解决的数学思想,这就是转化与 化归思想,其功能是:生疏化成熟悉,复杂化成简单,抽象化成直观,含糊化成 明朗.一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题;将难解的问题通过变换 转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
§2 圆与直线
2.1
圆周角定理
1.理解并掌握圆周角定理. 2.理解并掌握圆周角定理的两个推论.
1
2
1.圆周角定理
文字 语言 符号 语言 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半 在☉O 中,BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC, 则有∠BAC= ∠BOC= BC°
2 2 1 1
图形 语言
作用
确定圆周角和圆心角的数量关系
1
2
(1)定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上 面定理中所说的数量关系. (2)1° 的圆心角所对的弧称为 1° 的弧,因此弧的度数等于它所对的圆心角的 度数,这又称为圆心角定理.
1
2
【自主测试 1】 如图所示,在☉O 中,∠BAC=25° ,则∠BOC=( A.25° B.50° C.30° D.12.5° 解析:根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=50° . 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型一
圆周角定理的应用
【例题 1】如图,在☉O 中,∠AOB=160° ,D,E 是������������上的任意两点, 求∠ADC+∠BEC.
分析:由于已知的∠AOB 是圆心角,而∠ADC 和∠BEC 是圆周角,因此 用圆周角定理来联系它们.
题型一
题型二
题型三
解:如图所示,连接 CO, 则有∠AOC+∠BOC=360° -∠AOB =360° -160° =200° , 又∠ADC= ∠AOC, ∠BEC= ∠BOC, ∴∠ADC+∠BEC= (∠AOC+∠BOC)=100° .
题型一
题型二
题型三
在圆中,需证明两个角相等或 90° 的圆周角时,通常利用圆周角定理 的推论来解决.利用同(等)弧所对的圆周角相等来“移动”圆周角,利用半圆 (或直径)所对的圆周角是直角来构造直角三角形.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点
误认为同弦或等弦所对圆周角相等
【例题 3】
如图所示,∠BAD=75° ,则∠BCD= ∴∠BCD=75° .
1
2
相等的圆周角所对的弧相等吗? 答案: 不一定.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一 大前提下成立的,如图.
若 AB∥DG,则∠BAC=∠EDF,但������������ ≠ ������������ .故相等的圆周角所对的弧 不一定相等.
1
2
【自主测试 2-1】 如图所示,在☉O 中,∠BAC=60° ,则∠BDC=(
).
A.30° 答案:C
B.45°
C.60°
D.75°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
2
【自主测试 2-2】 如图所示,AB 是☉O 的直径,C 是������������上的一点,且 AC=4,BC=3,则☉O 的半径 r 等于( A.
5 2
).
B.5 D.不确定
C.10
解析:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴AB= ������������ 2 + B������ 2 = 42 + 32 =5. ∴2r=AB=5.∴r= . 答案:A
.
错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD.
题型一
题型二
题型三
错因分析:错解中没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等, 导致得到错误结论∠BAD=∠BCD. 正解:∠BAD 是������������������所对的圆周角,∠BCD 是������������������所对的圆周角, 则������������������° =2×75° =150° , ∴������������������° =360° -150° =210° , ∴������������������所对圆周角∠BCD= ×210° =105° .
已知圆心(周)角讨论圆周(心)角时,常用圆周角定理来联系它们,此 时,要注意区分圆周(心)角所对的弧是优弧还是劣弧.
题型一
题型二
题型三
题型二
圆周角定理推论的应用
【例题 2】 如图,BC 为☉O 的直径,AD⊥BC,������������ = ������������,BF 和 AD 相交于点 E,求证:AE=BE. 分析:要证 AE=BE,只需在△ABE 中证明∠ABE=∠EAB,而要证这两个 角相等,只需借助∠ACB 即可. 证明:∵BC 是☉O 的直径, ∴∠BAC 为直角. 又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB. ∵������������ = ������������ ,∴∠FBA=∠ACB. ∴∠BAD=∠FBA,即∠EAB=∠ABE. ∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE.
).
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2.圆周角定理的推论
1 2 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相 等的圆周角所对的弧也相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弧是半圆 作用 确定两个圆周角(两 段弧)相等 确定 90° 的圆周角 以及半圆
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等 于它所对的弧”. (2)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选劣 弧. (3)在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系 简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.
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“分类”与“转化” 剖析:(1)分类.在证明圆周角定理时,首先对圆心的位置分类:圆心在圆 周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部 ,对这三种情况分 别给出了证明,这体现了数学中的分类讨论思想,也就是在解决一个问题时, 无法用同一种情形去解决,而需要将问题划分成几个不同形式的小问题,将 这些小问题加以逐个解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.当数 学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时,就应分类 讨论.其优点是一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题,另一方面 恰当的分类可避免丢值漏解. (2)转化.在圆周角定理证明中,先证明了第一种情况圆心在圆周角的一 边上,再证明后两种情况时,都转化为第一种情况,这体现数学中的转化与化 归思想,也就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知 的、熟悉的、简单的问题,从而使问题顺利解决的数学思想,这就是转化与 化归思想,其功能是:生疏化成熟悉,复杂化成简单,抽象化成直观,含糊化成 明朗.一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题;将难解的问题通过变换 转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
§2 圆与直线
2.1
圆周角定理
1.理解并掌握圆周角定理. 2.理解并掌握圆周角定理的两个推论.
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1.圆周角定理
文字 语言 符号 语言 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半 在☉O 中,BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC, 则有∠BAC= ∠BOC= BC°
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图形 语言
作用
确定圆周角和圆心角的数量关系
1
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(1)定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上 面定理中所说的数量关系. (2)1° 的圆心角所对的弧称为 1° 的弧,因此弧的度数等于它所对的圆心角的 度数,这又称为圆心角定理.
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【自主测试 1】 如图所示,在☉O 中,∠BAC=25° ,则∠BOC=( A.25° B.50° C.30° D.12.5° 解析:根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=50° . 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型一
圆周角定理的应用
【例题 1】如图,在☉O 中,∠AOB=160° ,D,E 是������������上的任意两点, 求∠ADC+∠BEC.
分析:由于已知的∠AOB 是圆心角,而∠ADC 和∠BEC 是圆周角,因此 用圆周角定理来联系它们.
题型一
题型二
题型三
解:如图所示,连接 CO, 则有∠AOC+∠BOC=360° -∠AOB =360° -160° =200° , 又∠ADC= ∠AOC, ∠BEC= ∠BOC, ∴∠ADC+∠BEC= (∠AOC+∠BOC)=100° .
题型一
题型二
题型三
在圆中,需证明两个角相等或 90° 的圆周角时,通常利用圆周角定理 的推论来解决.利用同(等)弧所对的圆周角相等来“移动”圆周角,利用半圆 (或直径)所对的圆周角是直角来构造直角三角形.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点
误认为同弦或等弦所对圆周角相等
【例题 3】
如图所示,∠BAD=75° ,则∠BCD= ∴∠BCD=75° .
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相等的圆周角所对的弧相等吗? 答案: 不一定.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一 大前提下成立的,如图.
若 AB∥DG,则∠BAC=∠EDF,但������������ ≠ ������������ .故相等的圆周角所对的弧 不一定相等.
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2
【自主测试 2-1】 如图所示,在☉O 中,∠BAC=60° ,则∠BDC=(
).
A.30° 答案:C
B.45°
C.60°
D.75°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
2
【自主测试 2-2】 如图所示,AB 是☉O 的直径,C 是������������上的一点,且 AC=4,BC=3,则☉O 的半径 r 等于( A.
5 2
).
B.5 D.不确定
C.10
解析:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴AB= ������������ 2 + B������ 2 = 42 + 32 =5. ∴2r=AB=5.∴r= . 答案:A
.
错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD.
题型一
题型二
题型三
错因分析:错解中没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等, 导致得到错误结论∠BAD=∠BCD. 正解:∠BAD 是������������������所对的圆周角,∠BCD 是������������������所对的圆周角, 则������������������° =2×75° =150° , ∴������������������° =360° -150° =210° , ∴������������������所对圆周角∠BCD= ×210° =105° .