高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(一)理

“12＋4”限时提速练(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2
＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)
C ．[1，＋∞)
D ．[1，2)∪[3，＋∞) 2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i
i
(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i
3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A ．44，45，56
B ．44，43，57
C ．44，43，56
D ．45，43，57
4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2
＋(y ＋3)2
＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝
⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值为( ) A ．1 B.
22 C.12 D.3
2
6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )
A ．[15，60)
B ．(15，60]
C ．[12，48)
D ．(12，48]
7．已知P (x ，y )为平面区域⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
－x 2
≤0，
a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z
＝2x －y 的最大值是( )
A ．1
B ．3
C ．2 2
D ．6
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10
9．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另
一条渐近线交于点B ，若
，则此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D. 5
10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x
]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )
A ．1
B ．e ＋1
C ．3
D ．e ＋3
11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.76
B.73
C.53
D.56
12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π4＝
7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )
A ．8
B ．14 C.145 D ．12
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．
14．参加在浙江省乌镇举办的第二届世界互联网大会的6个互联网大佬从左至右排成一排合影留念，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
15.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为1
3，则球的半径R ＝
________．
16．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2
]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．
答 案
一、选择题
1．解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2
＋5x －6≤0}＝{x |x 2
－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.
2．解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）
i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋
2i ，选D.
3.解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为
43＋45
2
＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B. 4．解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k
2
＝6
1＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k 2
，解得k 2
＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.
5．解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin (2×
π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6
，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝sin (2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C.
6.解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3，
x 3－2＞3，
13⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B. 7．解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2
－x 2
≤0，
a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪
⎨⎪⎧x －y ≥0，
x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，
先作出可行域如图中阴影部
分所示，
则可行域的面积S ＝1
2(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点
(2，－2)处取得最大值6，故选D.
8．解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）
2
＝11a 6>0，
S 12＝
12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）
2
＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为
12，选B.
9．解析：选C 设B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ，－b a
x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |
＝
x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x 2
＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2
，b 2，又点A 在直线y ＝b
a x 上，则
b a ·
c －a 2＝b
2
，c ＝2a ，e ＝2.
10．解析：选C 设t ＝f (x )－e x
，则f (x )＝e x
＋t ，则f [f (x )－e x
]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t
＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x
＋1，即f (ln 2)＝e ln 2
＋1
＝2＋1＝3.故选C.
11．解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，
所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝7
3
，故选B.
12．解析：选C ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝7226，∴22sin
A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713，
与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2
A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故
⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝－5
13，cos A ＝－12
13舍去，由12bc sin A ＝24，得1
2×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132
－2×4×13×513＝16＋169－40
＝145，∴a ＝145，选C.
二、填空题
13．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：8
14．解析：分两类：第一类，甲在最左端，共有A 5
5＝5×4×3×2×1＝120种排法；第二类，乙在最左端，甲不在最右端，共有4A 4
4＝4×4×3×2×1＝96种排法．所以一共有120＋96＝216种排法．
答案：216
15.解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2
－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2
－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2
－1，故
AO 1
BO 1
＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13
，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2
＝4，得R ＝233.
答案：23
3
16．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2
]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝
mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝
ln x
x
－1，要使方程ln x －x ＝mx 在区
间[1，e 2
]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln x x
－1(x ＞0)，则
g ′(x )＝
1－ln x
x
2
，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]
上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2
)＝2e 2－1，故－1≤m
＜2e 2－1或m ＝1
e
－1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1e －1。