人教A版高中数学选修1-1课件-章末整合提升

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一、选择题
1．命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( )
A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题
A
B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题
C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题
D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题
[解析] 因为x＝0时，20＋02＝1≤1，故原命题为真命题，所以该命题的否定“∀x∈R,2x＋x2>1”是假 命题．
2．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
AB．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 [解析] a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
[解析] ∵|x－m|<1，∴m－1<x<m＋1，
由题意13，12 (m－1，m＋1)，
∴mm－ ＋11≤ ≥1312
且等号不同时取得，∴－12≤m≤43，
∴实数 m 的取值范围是－12，43.
题型 四
含有一个量词的命题的否定
s(x)有且典仅例有一7 个已为知真两命个题命，题求：实r数(xm)：的si取n x值＋范c围os．x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对∀x∈R，r(x)与
[思路分析] 若∀x∈R，f(x)为真命题，则m<(sin x＋cos x)的最小值即可；若∀x∈R，s(x)为真命题，则 Δ＝m2－4<0.
[解析] ∵sin x＋cos x＝ 2sin (x＋π4)≥－ 2， ∴当 r(x)是真命题时，m<－ 2. 又∵对∀x∈R，s(x)是真命题时， 即 x2＋mx＋1>0 恒成立， 有 Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2. ∴当 r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m<－ 2，同时 m≤－2 或 m≥2，即 m≤ －2； 当 r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－ 2且－2<m<2，即－ 2≤m<2. 综上，m 的取值范围是{m|m≤－2 或－ 2≤m<2}．
6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定． (1)全称命题真假的判断 要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每个x验证p(x)成立．一般用代数推理的方法加以证明；
要判断一个全称命题为假，只需举一个反例即可．
(2)特称命题真假的判断 要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称
“p∧q典”例是真8命题已，知则命实题数pa：的“取∀值x∈范[0围,1是]，( a≥e)x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题
A．[e,4]
B．[1,4]
A
C．(4，＋∞) D．(－∞，1]
[解析] 若命题 p 为真命题，则∀x∈[0,1]，a≥ex 的最大值． 又∵ex 在 x∈[0,1]上的最大值为 e，∴a≥e. 若命题 q 为真命题，则 Δ＝16－4a≥0，∴a≤4. ∵“p∧q”是真命题， ∴p、q 均为真命题，则有aa≥≤e4 ， ∴e≤a≤4.
②当
p
假
q
真时，则：m>2 1<m<4
，解得：2<m<4
所以，实数 m 的取值范围是(－∞，1]∪(2,4)．
题型 三
充分条件、必要条件、充要条件的应用
的必要典不充例分5条件已，知求p实：数实a数的x满取足值x范2－围4．ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若¬p是¬q
，解得 m>2.
方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实数根．
则有 Δ＝16(m－2)2－4×4×1<0，解得 1<m<3. 当 p 真 q 假时，即mm≤>21或m≥3 ，得 m∈[3，＋∞)． 当 p 假 q 真时，即m≤2 ，得 m∈(1,2]．
1<m<3 综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．B(¬p)∧(¬q)
[解析] 由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝ 0在(－1,1)内有解，∴q为真命题，∴(¬p)∧q为真命题，故选B．
二、填空题
6．已知命题p1：函数f(x)＝tan x是增函数，p2：函数g(x)＝cos x是偶函数，则在下列四个命题：① p1∨p2；②p1∧p2；③(¬p1)∨p2；④p1∧(¬p2)中 ，真命题的序号是________.
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( B ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，使1x>2
[解析] A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．
5．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
(2)等价法
由于互为逆否的两个命题是等价．当我们从正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题 进行判断，此种方法称之为等价法．
也就是，在不易判断p是q的充分条件(p⇒q)时，可以判断¬q⇒¬p; 在不易判断p是q的必要条件(q⇒p) 时，可以判断¬p⇒¬q.
(3)集合法 写出集合 A＝{x|p(x)}以及集合 B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系进行判 断． ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件． ②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件；若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件． ③若 A＝B，则 p、q 互为充要条件． ④若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要件．
由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆 否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，反证法的实质就是证明 “原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题 等价性理解．
四种命题的关系如图：
3．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
AC．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时P(2，－1)在直线上，而点P(x，y)在直线l上， 并不确定有“x＝2且y＝－1”．
[思路分析] 解决本题可先求出命题p和q成立的条件，再得到¬p，利用¬p是¬q的必要不充分条件，则 ¬q⇒¬p，求出a的取值范围，或利用等价条件p⇒q求得a.
[解析] 由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0，得 3a<x<a， ∴p：3a<x<a. 由 x2－x－6≤0 得，－2≤x≤3，∴q：－2≤x≤3. ∵¬q⇒¬p，∴p⇒q.
原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与它的否命题同真同假． 3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，
例如，原命题是“若∠A＝∠B，则a＝b”，其否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是 “存在∠A、∠B，虽然∠A＝∠B，但a≠b”．
『规律方法』 命题的否定形式与命题的否命题不同，前者只否定原命题 的结论，而后者同时否定条件和结论．
真假．典例 2 若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的
[解析] 逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，逆命题为真． 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，否命题为真．(逆命题与否命题是等价的) 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，并联系问题中所涉及的知 识点和有关概念作出判断．
充分条件和必要条件的判断一般有以下几种方法： (1)定义法 ①若 p⇒q，但 q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件； ②若 q⇒p，但 p⇒/ q，则 p 是 q 的必要不充分条件； ③若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； ④若 p⇒/ q，q⇒/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
第一章
常用逻辑用语
章末整合提升
1
网 络 构 建 ·理 脉 络
2
知 识 整 合 ·悟 素 养
3
专 题 突 破 ·启 智 能
网络构建·理脉络
知识整合·悟素养
1．准确掌握命题的定义是本章学习的先决条件．判断语句是否为命题的方法：一是陈述句，二是能否 判断真假．
2．掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性是本章需重点掌握内容之一．
范围．
[解析] 若命题 p 为真，因为函数的对称轴为 x＝m，则 m≤2. 若命题 q 为真，当 m＝0 时原不等式为－8x＋4>0，显然不恒成立． 当 m≠0 时，则有Δm＝>016m－22－16m<0 ⇒1<m<4. 因为 p∨q 为真，p∧q 为假，所以命题 p，q 一真一假．
①当 p 真 q 假时，则：mm≤≤21或m≥4 ，解得：m≤1
3a≥－2 ∴a≤3
a<0
，解得－23≤a<0，
∴a 的取值范围是[－23，0)．
『规律方法』 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p、q等价转化， 利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
典例 6 已知不等式|x－m|<1 成立的充分不必要条件是13<x<12，求实数 m 的取值范围．
题型 二 根据复合命题的真假，求参数的值或取值范围
数根，典若p例、q3一真已一知假命，题求p：mx的2＋取m值x范＋围1＝．0有两个不等的负根，命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实
[解析] 方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，设为 x1、x2，则有
Δ＝m2－4>0 x1＋x2＝－m<0 x1·x2＝1>0
『规律方法』 此种类型的题目往往是先假设命题p和q都是真命题，求出参数的取值范围．若有假命 题，则参数的范围就是使之为真命题时的补集．该题中p、q一真一假，则需分类讨论：p真q假、p假 q真，分别求出参数m的范围，最后取并集．
命题q：典关例于x4的(不20等20式·绵m阳x2＋南4山(m中－学2期)x中＋)4已>0知的命解题集p为：R函.若数pf(∨xq)＝为x真2－命2题m，x＋p4∧在q为[2，假＋命∞题)，上求单m调的递取增值；
(1)复合命题的否定 ¬(p∧q)为¬p或¬q. ¬(p∨q)为¬p且¬q.
(2)含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定为特称命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为：“∃x∈M，¬p(x)”；特称命题的否定为全
称命题，“∃x∈M，p(x)”的否定为：“∀x∈M，¬p(x)”．
4．充要条件的判断是通过判断命题“若p，则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式 之间的关系密切，可相互转化．
命题为假．
专题突破·启智能
题型 一
四种命题的关系
典例 1 设原命题为“若a<b，则a＋c<b＋c”．(其中a、b、c∈R)
(1)写出它的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断这四个命题的真假；
(3)写出原命题的否定．
[解析] (1)逆命题：若a＋c<b＋c，则a<b. 否命题：若a≥b，则a＋c≥b＋c. 逆否命题：若a＋c≥b＋c，则a≥b. (2)∵a<b，∴a＋c<b＋c，∴原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题． ∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命题是真命题，则其逆命题是真命题. (3)原命题的否定是：∃a、b满足a<b，使a＋c≥b＋c.
5．准确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，熟练判断“p∧q”“p ∨q”“¬p”形式的命题的真假．
(1) 不 含 逻 辑 联 结 词 的 命 题 是 简 单 命 题 ； 由 简 单 命 题 与 逻 辑 联 结 词 “或”“且”“非”构成复合命题．
(2)构成命题的形式： ①p 或 q；②p 且 q；③非 p. (3)含逻辑联结词的命题真假的判断：或命题一真为真，且命题一假为假，非 命题真值相反．