GPS网平面坐标转换的约束平差

GPS网平面坐标转换的约束平差
余学祥张华海
【提要】建立了GPS网平面坐标转换的约束平差模型，给出了对转换后GPS网的精度进行评定的协方差阵，从序贯平差的角度解释了经约束平差后GPS网精度降低的原因。

通过对一实例的计算分析，提出一些在进行GPS坐标转换的数据处理过程中应注意的问题。

【关键词】GPS,坐标转换,约束平差
【Abstract】 This paper introduces a constrained adjustment model of horizontal coordinte transformation of GPS network, gives the covariance matrix for evaluating the accuracy of that and describes why the accuracy of GPS network is reduced in the constrained adjustment.
【Key words】 GPS network,coordinte transformation
1 引言
GPS技术在测绘行业中已得到了广泛的应用，如利用GPS技术建立城市控制网、各种工程控制网及变形监测网等。

但GPS测量获得的是WGS-84地心坐标系下的观测量，只有将其转化为地方参考坐标系下的高斯平面直角坐标才能便于实际应用。

实现这种转化的方法很多，其中的一种方法是，首先在WGS-84空间直角坐标系中进行GPS网的无约束平差，然后将平差后的坐标及其协因数阵投影到高斯平面上；在平面上建立坐标转换模型，根据GPS网和地面网中公共点的坐标及坐标约束条件，求解转换参数；最后将GPS点坐标及其精度信息，根据转换模型，一次性地转换到地方参考坐标系下。

这种数据处理方法，本文称为空间平差平面约束转换法。

转换后GPS网的精度，主要取决于地面网中公共点误差的大小及约束条件的优劣。

本文利用某矿区实测GPS网，制订不同的公共点方案，分别进行GPS网坐标转换的无约束平差及约束平差，以考察约束平差对转换后GPS网精度的影响，并据此提出一些有益的建议。

2 坐标转换平差模型
2.1 坐标转换的无约束平差模型
设GPS网点投影到高斯平面上的坐标为(x,y)G,地面网点的高斯平面坐标为(x,y)T,两网的公共点数为m(m>2)，则二者在平面上的坐标转换模型为
(1) 式中,(x0,y0)为平移参数，λ为尺度比，θ为旋转角，单位为弧度。

在m
个公共点上,将上式写成误差方程形式有
(2) 其中(v xi,v yi)T为(x i,y i)T的残差；w xi=(x T-x G)i,w yi=(y T-y G)i。

将式(2)写成矩阵形式有
(3) 其中Q是从Q XG中取出的这m个点的协因数阵，而Q XG是将GPS网空间无
约束平差后的坐标协因数阵投影到高斯平面上而得的[1]。

根据最小二乘(LS)平差原理，可得转换参数为
(4)
根据LS估计结果，可判定公共点的地面网坐标中是否含有较大的误差或显著的位移，以及GPS网与地面网的兼容性。

2.2 坐标转换的约束平差模型
对于平面坐标转换模型，由于只有四个转换参数，则只能有一个坐标约束条件。

设约束点为j，根据式(2)有约束条件
写成矩阵形式有
(5)
由式(3)和式(5)组成坐标转换的约束平差模型
(6) 设N=A T PA,f=A T PW A,N b=BN-1B T，则根据附有约束条件的参数平差原理，由式(6)有[2]
(7) 将式(7)代入式(6)第一式可得V，则单位权中误差为
(8)
对于无约束平差，式(7)与式(8)分别为
(7′)
(8′) 根据协因数阵传播定律可得转换参数的协因数阵为[2]
(9) 当进行无约束平差时，则
(9′)
平差后应对转换参数的显著性进行统计假设检验[3]，然后利用通过检验的转换参数及相应的转换模型，将GPS点在WGS-84系下的坐标(x i,y i)G 转换成地方坐标系下的坐标(x i,y i)T。

3 转换后GPS点坐标的协方差阵
设GPS网和地面网中共有t个公共点，其中m(m>2)个用于求解转换参数，则用改正数V及来评价转换模型的内部符合精度。

在其余的
k(k=t-m)个公共点上，具有转换后的坐标及原有坐标，则可根据坐标差V′及坐标差的中误差来评价转换模型的外部检查精度。

对于某一坐标转换模型来说，只有当内部符合精度及外部检查精度均能满足相应要求时，才能说明该转换模型在整个测区内是合适的。

评价转换后GPS网精度的其它指标(如点位中误差等)，均可由转换后GPS点坐标的协方差阵导出。

根据式(7)求得的坐标转换参数及相应的
坐标转换模型，可得任一GPS点(x i,y i)G转换后的坐标(x i,y i)T为
(10) 式中n为GPS网总点数。

对式(10)求全微分并顾及λ和θ都是很小的量，则可得
(11) 由协因数阵传播定律可得转换后GPS点的协因数阵为
(12)
由于GPS网在进行空间无约束平差及坐标转换后的单位权中误差不同(设分别为和)，则应将式(12)改成协方差形式
(13)
利用式(13)，即可评定转换后GPS网的精度，并判定GPS网与地面网间的兼容性。

4 坐标约束转换的缺陷
进行约束平差的目的，其一是保证约束条件在平差前后不发生变化；其二是希望通过约束平差，来提高观测值的精度。

对于前者，根据约束平差原理，是可以实现的；对于后者，则要看约束条件的精度高于观测值精度的这一前提是否成立。

第2节中导出的GPS网坐标转换的约束平差模型，是基于约束点的坐标精度高于GPS点的坐标精度这一前提导出的。

以下考虑当顾及地面点先验精度信息时的坐标转换约束平差情况。

由于约束条件可看作权值很大的误差方程，设地面网平差后坐标的协方差阵为D，则据此可计算出地面点坐标的权阵，其中约束点坐标的权阵为P B。

将约束条件式(5)改化为误差方程形式
(14)
由于投影后的GPS点坐标与地面点坐标是互相独立的，则可采用固定参数的序贯平差方法[4]：在对式(3)进行LS估计后，序贯地加入式(14)的约束条件。

对式(3)进行LS估计得
(15)
(16)
根据固定参数的序贯平差原理，在加入式(14)的约束条件后可得[5]
(17)
(18)
从式(17)、(18)可以看出,当约束条件的精度高于观测值的精度时,可忽略P-1B的影响,则此时式(17)、(18)即为式(7)和式(9)。

当约束条件的精度相对于观测值的精度不能忽略时,由于式(18)右端的第二项为半
正定矩阵[6](即其值不小于零),则精度较高的约束条件比精度较低的约
束条件,获得的转换后GPS网的精度要好些,但均低于约束条件的精度高于观测值精度情况下的结果。

实际上由于我们一般难以获得原地面点的协方差阵，而采用了式(6)的约束平差模型，即认为地面点协方差阵为零，致使出现了约束平差结果总是高于无约束平差结果的虚假现象。

但由于地面点坐标中含有的误差高于GPS点中的误差，因此无论是约束平差还是无约束平差，转换后GPS网的精度肯定低于其原有精度。

这就是为什么将GPS网转换到地方参考坐标系后，其精度总是要降低的根本原因。

5 算例与分析
图1为某矿区GPS网示意图，经检查其外业观测质量合格。

图1 GPS网示意图
该网空间无约束平差的点位中误差及基线向量相对中误差列于表1和表2中。

从表1和表2可以看出，该GPS网的内部符合精度是很高的。

图1的GPS网，共有13个公共点。

将这些点分为两组，一组用于求解转换参数，另一组(剩余的公共点)用于检查转换模型的精度。

经无约束平差试算，这些公共点中均无显著位移(即标石未发生移动)，但以2、4、6、8等四个公共点求解转换参数时，转换后GPS网的精度相对最好。

因此在这些公共点的基础上分别加入其它公共点，进行约束平差及无约束平差。

表3中列出了坐标转换的各种方案。

其中公共点20′是在20号地面点的坐标(x,y)中分别加入-0.1m的粗差而得的。

对表3中的各方案，分别采用相应的坐标转换平差模型。

平差转换后的有关精度指标，列于表4和表5中。

由表1、2及表4、5可以看出，转换后GPS网的精度，低于GPS网空间无约束平差的精度。

精度损失程度的大小，主要取决于公共点中是否存在较大误差(D1～D4)或显著位移(D5、D6)。

在进行坐标转换时，必须采用稳定的公共点，否则会得出错误的结论。

在前四个方案中，通过D0、D2、D4之间的比较，可看出5和20这两个公共点中存在较大的误差，致使转换后GPS网的点位误差超过5cm；若在D0、D1、D3之间进行比较，就可以认为5和20也是两个稳定的公共点，因为这三个方案的各种精度指标均相差不大。

当公共点中存在显著位移时(如D5、D6方案)，也应根据无约束平差的结果进行比较，才能做出正确结论。

对同一组共公点方案(如D1与D2、D3与D4、D5与D6)，约束平差的结果，从数据上来看，都优于无约束平差结果。

但通过以上的分析，公共点5、20中存在较大误差，而20′中存在显著位移。

因此约束平差后GPS 网的精度是一种虚假的精度，其原因是采用约束平差时，认为约束点的协方差阵为零。

不同精度的约束条件(如D3、D5)，精度相对较高的约束条件(D3)相对于精度较低的约束条件(D5，20′中含有显著位移)，转换后GPS网的精度要好些，其原因也在第4节中解释了。

从表4、5中可以看出，若不考虑转换后GPS点的点位中误差，而将转换后基线向量的相对中误差与常规控制网的相对中误差进行比较，则不论地面点中是否存在显著位移，也不论是采用约束平差还是无约束平差，前者总是高于后者。

但实际上对于D1～D6方案来说，转换后GPS点中已含有较大误差(D1～D4方案)或转换后GPS网发生了平移(D5～D6方案，转换后各GPS点中，相对于D0方案，均含有约0.2m的位移)。

因此，评价转换后GPS网的精度，点位中误差是一项主要指标，且不能以是否达到常规控制网的相应要求来衡量。

坐标转换模型的精度,一方面反映了所选择的模型在整个测区的适
用性；另一方面也可从一个侧面判定公共点中是否存在显著位移。

为便
于衡量模型的总体精度,可取作为评价指标。

这样
根据就易于达到以上两个目的,如从表4中可以看出,相比而言,方案
D
最优,而方案D5最差。

6 总结
在将GPS网空间无约束平差的结果转化为地方参考坐标系下的高斯平面直角坐标的过程中，采用约束平差和无约束平差各有优劣：前者可最大限度地保留GPS技术高精度的特点，但地面公共点的坐标发生了变化；虽然后者可保持约束点的坐标不变，但约束平差转换后GPS网的精度可能是虚假的，特别是当约束点中存在较大误差或显著位移时。

在实际工作中，若必须进行约束转换，则应首先进行无约束转换以判定含有较大误差或存在显著位移的公共点；那么在进行约束转换时，这些公共点不能参与平差计算，其坐标以转换后的坐标为准。

是否进行约束平差转换，应从建网的目的来考虑。

当采用GPS技术来新建或扩建控制网时，应采用无约束坐标转换；当以GPS来改建原有地面控制网时，应采用约束坐标转换，在这种情况下，应考虑选用稳定的公共点进行坐标转换，才能达到提高原控制网的精度而又对GPS网精度损失较小的目的。

衡量转换后GPS网的精度，点位中误差是一项主要指标，其它指标可供参考。

由于GPS测量和常规测量是两种等级不同的测量方法，因此不能以转换后GPS网的精度是否达到了常规控制网的相应要求来判定GPS网是否合格。

作者单位：余学祥(淮南工业学院安徽.淮南232001)
张华海(中国矿业大学江苏.徐州221008)
参考文献
[1]余学祥,吕伟才：空间直角坐标的协因数阵转换到高斯平面上的计算公式,《测绘信息与工程》,1997(4)：18～21
[2]於宗俦，陶本藻等.《平差模型误差理论及其应用》，北京：测绘出版社，1993
[3]刘基余，李征航等.《全球定位系统原理及其应用》，北京：测绘出版社，1993
[4]黄维彬.《近代平差理论及其应用》，北京：解放军出版社，1992
[5]余学祥.抗差估计理论在GPS网平差中的应用：《硕士论文》.徐州市：中国矿业大学，1996
[6]Charles R. Schwarz. The trouble with constrained adjustments. Surveying and land information System.
Vol.54,No.4,1994:202～209。