单边Lipschitz时滞系统的H∞函数观测器设计
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ＴｈｅＨ∞ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚ ｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙ
ＺＨＯＵＣｈｅｎｇｌａｉ， ＣＡＩＸｉｕｓｈａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｈｕａ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
定义 ２（二次内部有界条件［１８］） 设 珚Ｏ为包 含原点的区域，若存在 β，γ∈Ｒ，使得对ｘ１，ｘ２∈ 珚Ｏ，有 （Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））Ｔ（Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））≤ β‖ｘ１－ｘ２‖２＋γ〈Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ），ｘ１－ｘ２〉，
ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙ
０ 引 言
实际生活和工程应设计一个控制器，使之稳定［１３］．另一 方面，系统的状态估计也是控制研究的一大主题． 外部未知干扰的存在不仅影响系统本身的状态变 化，更 影 响 了 状 态 观 测 的 准 确 性．Ｋａｌｍａｎ滤 波
保守性，因而，２００６年文献［１５］提出了单边 Ｌｉｐｓ ｃｈｉｔｚ概念．此后对单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ及准单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 系统的观测器设计得到了一些研究成果［１６２０］．
然而，对于非线性时滞系统满足单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 条件的 Ｈ∞函数观测器设计还未见报道．因此，本 文考虑设计一类可有效抑制外部干扰的非线性时 滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器．同时，还希望所设计的 观测器具有灵活性：既可以是全维的，也可以是降 维的．对于降维的观测器，则期望寻求一种简单的 设计，且能通过统一的观测器设计算法得到．研究 成果将与一类 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ非线性观测器［２１］作比较．
１ 系统描述
考虑如下非线性时滞系统：
{ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂｘτ（ｔ）＋Φ（ｘ，ｕ）＋Ｄ１ω（ｔ）；
ｙ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ）＋Ｄ２ω（ｔ）； ｘ（ｔ）＝ψ（ｔ）， ｔ∈ ［－τ，０］． （１）
式（１）中：ｘ∈ Ｒｎ，ｕ∈ Ｒｍ，ｙ∈ Ｒｐ分别为系统的 状态、输入和输出；ｘτ（ｔ）是 ｘ（ｔ）的滞后时间为 τ 的滞后状态；ω（ｔ）∈ Ｒｓ为外部噪声或干扰；Ａ∈ Ｒｎ×ｎ，Ｂ∈ Ｒｎ×ｎ，Ｃ∈ Ｒｐ×ｎ，Ｄ１∈ Ｒｎ×ｓ，Ｄ２∈ Ｒｐ×ｓ为 已知实矩阵；函数 Φ（ｘ，ｕ）：Ｒｎ ×Ｒｍ → Ｒｎ是分别 关于变量 ｘ，ｕ连续的非线性函数．本文假定（Ａ， Ｃ）可观测，且 Ｃ为行满秩矩阵，初始条件 ψ（ｔ）在 区间［－τ，０］上连续，并要求非线性函数 Φ（ｘ，ｕ） 满足以下 ２个条件：
第 ４１卷第 ４期
浙江师范大学学报（自然科学版）
Ｖｏｌ．４１，Ｎｏ．４
２０１８年 １１月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．） Ｎｏｖ．２０１８
ＤＯＩ：１０．１６２１８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１５０５１．２０１８．０４．００２
单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ时滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器设计
周诚来， 蔡秀珊
（浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 ３２１００４）
摘 要：主要研究了一类单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ非线性时滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器设计问题．通过 ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅ广义 逆理论与 Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性分析，最终得到了误差动态系统渐近稳定的充分条件．研究成果应用到了一类机器 人的观测器设计． 关键词：单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ；时滞非线性系统；ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅ广义逆；Ｈ∞ 函数观测器；Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１５０５１（２０１８）０４０３６７０８
法［４］与 Ｈ∞ 滤波法［５］是常用的两类观测器设计 方法．值得注意的是，若用 Ｈ２范数作为系统的性 能指标，特别是存在不确定项或者外部干扰的系 统，将不能保证其鲁棒性．因此，本文考虑设计一 类 Ｈ∞观测器．
对于非线性系统，渐进观测器可以精确地估 计系统的状态［６１４］．现有观测器设计大多针对于满 足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的一类非线性系统，设计方法存在
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅＨ∞ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙ．Ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｆｏｒｅｒｒｏｒｄｙｎａｍｉｃｓｗａｓａｃｑｕｉｒｅｄｂｙ ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒａｋｉｎｄｏｆｒｏｂｏｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚ；ｔｉｍｅｄｅｌａｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅ；Ｈ ∞
定义 １（单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件［１５］） 设 Ｏ为包 含原点的区域，若存在 ρ∈Ｒ，使得对ｘ１，ｘ２∈Ｏ，有 〈Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ），ｘ１－ｘ２〉≤ ρ‖ｘ１－ｘ２‖２，
（２） 则称非线性函数 Φ（ｘ，ｕ）满足单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件．其中，称标量 ρ为单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数，可取正 值、负值或 ０．
收文日期：２０１７１１１０；修订日期：２０１８０３０９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１７７３３５０） 作者简介：周诚来（１９９２—），女，浙江平湖人，硕士研究生．研究方向：非线性系统控制与观测． 通信作者：蔡秀珊．Ｅｍａｉｌ：ｘｉｕｓｈａｎ＠ｚｊｎｕ．ｃｎ
３６８
浙江师范大学学报（自然科学版） ２０１８年
ＺＨＯＵＣｈｅｎｇｌａｉ， ＣＡＩＸｉｕｓｈａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｈｕａ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
定义 ２（二次内部有界条件［１８］） 设 珚Ｏ为包 含原点的区域，若存在 β，γ∈Ｒ，使得对ｘ１，ｘ２∈ 珚Ｏ，有 （Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））Ｔ（Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））≤ β‖ｘ１－ｘ２‖２＋γ〈Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ），ｘ１－ｘ２〉，
ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙ
０ 引 言
实际生活和工程应设计一个控制器，使之稳定［１３］．另一 方面，系统的状态估计也是控制研究的一大主题． 外部未知干扰的存在不仅影响系统本身的状态变 化，更 影 响 了 状 态 观 测 的 准 确 性．Ｋａｌｍａｎ滤 波
保守性，因而，２００６年文献［１５］提出了单边 Ｌｉｐｓ ｃｈｉｔｚ概念．此后对单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ及准单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 系统的观测器设计得到了一些研究成果［１６２０］．
然而，对于非线性时滞系统满足单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 条件的 Ｈ∞函数观测器设计还未见报道．因此，本 文考虑设计一类可有效抑制外部干扰的非线性时 滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器．同时，还希望所设计的 观测器具有灵活性：既可以是全维的，也可以是降 维的．对于降维的观测器，则期望寻求一种简单的 设计，且能通过统一的观测器设计算法得到．研究 成果将与一类 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ非线性观测器［２１］作比较．
１ 系统描述
考虑如下非线性时滞系统：
{ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂｘτ（ｔ）＋Φ（ｘ，ｕ）＋Ｄ１ω（ｔ）；
ｙ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ）＋Ｄ２ω（ｔ）； ｘ（ｔ）＝ψ（ｔ）， ｔ∈ ［－τ，０］． （１）
式（１）中：ｘ∈ Ｒｎ，ｕ∈ Ｒｍ，ｙ∈ Ｒｐ分别为系统的 状态、输入和输出；ｘτ（ｔ）是 ｘ（ｔ）的滞后时间为 τ 的滞后状态；ω（ｔ）∈ Ｒｓ为外部噪声或干扰；Ａ∈ Ｒｎ×ｎ，Ｂ∈ Ｒｎ×ｎ，Ｃ∈ Ｒｐ×ｎ，Ｄ１∈ Ｒｎ×ｓ，Ｄ２∈ Ｒｐ×ｓ为 已知实矩阵；函数 Φ（ｘ，ｕ）：Ｒｎ ×Ｒｍ → Ｒｎ是分别 关于变量 ｘ，ｕ连续的非线性函数．本文假定（Ａ， Ｃ）可观测，且 Ｃ为行满秩矩阵，初始条件 ψ（ｔ）在 区间［－τ，０］上连续，并要求非线性函数 Φ（ｘ，ｕ） 满足以下 ２个条件：
第 ４１卷第 ４期
浙江师范大学学报（自然科学版）
Ｖｏｌ．４１，Ｎｏ．４
２０１８年 １１月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．） Ｎｏｖ．２０１８
ＤＯＩ：１０．１６２１８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１５０５１．２０１８．０４．００２
单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ时滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器设计
周诚来， 蔡秀珊
（浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 ３２１００４）
摘 要：主要研究了一类单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ非线性时滞系统的 Ｈ∞ 函数观测器设计问题．通过 ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅ广义 逆理论与 Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性分析，最终得到了误差动态系统渐近稳定的充分条件．研究成果应用到了一类机器 人的观测器设计． 关键词：单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ；时滞非线性系统；ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅ广义逆；Ｈ∞ 函数观测器；Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１５０５１（２０１８）０４０３６７０８
法［４］与 Ｈ∞ 滤波法［５］是常用的两类观测器设计 方法．值得注意的是，若用 Ｈ２范数作为系统的性 能指标，特别是存在不确定项或者外部干扰的系 统，将不能保证其鲁棒性．因此，本文考虑设计一 类 Ｈ∞观测器．
对于非线性系统，渐进观测器可以精确地估 计系统的状态［６１４］．现有观测器设计大多针对于满 足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的一类非线性系统，设计方法存在
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅＨ∞ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙ．Ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｆｏｒｅｒｒｏｒｄｙｎａｍｉｃｓｗａｓａｃｑｕｉｒｅｄｂｙ ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒａｋｉｎｄｏｆｒｏｂｏｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚ；ｔｉｍｅｄｅｌａｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；ＭｏｏｒｅＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅ；Ｈ ∞
定义 １（单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件［１５］） 设 Ｏ为包 含原点的区域，若存在 ρ∈Ｒ，使得对ｘ１，ｘ２∈Ｏ，有 〈Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ），ｘ１－ｘ２〉≤ ρ‖ｘ１－ｘ２‖２，
（２） 则称非线性函数 Φ（ｘ，ｕ）满足单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件．其中，称标量 ρ为单边 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数，可取正 值、负值或 ０．
收文日期：２０１７１１１０；修订日期：２０１８０３０９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１７７３３５０） 作者简介：周诚来（１９９２—），女，浙江平湖人，硕士研究生．研究方向：非线性系统控制与观测． 通信作者：蔡秀珊．Ｅｍａｉｌ：ｘｉｕｓｈａｎ＠ｚｊｎｕ．ｃｎ
３６８
浙江师范大学学报（自然科学版） ２０１８年