2020一课一练 八年级数学上册13.3.2等边三角形(1)

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拓展训练八年级数学上册13.3.2 等边三角形（1）
一．选择
1.如图13-3-2-1，△ABC是等边三角形，AD为中线，点E在AC上，且AE =AD，则∠EDC的度数为( )
A.10°
B.25°
C.15°
D.20°
2.已知下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个角都相等的三角形；
④三边都相等的三角形．
其中是等边三角形的为( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
3.等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰但非等边三角形
4.有一直角三角板，30°角所对直角边长是6 cm，则斜边的长是( )
A.3 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
5.在△ABC中，∠B=∠C= 60°,点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1．则AC的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
6.如图13 -3 -2-9，在△ABC中，∠C= 90°,∠A= 30°,BD为△ABC的角平分线，若AC= 12，则在△ABD中，AB边上的高为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
7.如图13-3-2-10，在△ABC中，AB=AC，∠B= 30°，AD⊥AB．交BC于点D，AD=4，则BC 的长为( )
A.8
B.4
C.12
D.6
二．
1.如图13-3-2-2，等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O，则∠BOC= °．
2.如图13 -3 -2-6，在直角△ABC中，已知∠ACB= 90°，AB边的垂直平分线交AB于点E．交BC于点D，且∠ADC= 30°，BD= 18 cm，则AC的长是____ cm.
三．
1.如图13-3-2-3，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一条直线上．求证：(1) CE=AC+CD；
(2) ∠ECD=60°．
2.如图13-3-2-4，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE= CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
3.如图13-3-2-5，△ABC是等边三角形．AD是高，并且直线AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形．
4.如图13-3-2-∵在直角三角形ABC中，∠ACB= 90°，∠A= 30°,AB= 24,CD⊥AB于D，求BD 的长．
5.在复习课上，老师布置了一道思考题：如图13 -3 -2 -11所示，点M，N分别在等边△ABC 的BC、CA边上，且BM= CN，AM、BN交于点Q，
求证：∠BQM= 60°．
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：①若将题中“BM=
CN ”与“∠BQM= 60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM= 60°？请你画出图形，给出证明.
答案：
一．
1.C ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°．∵AD 是
△ABC 的中线，
∴DAC=2
1∠BAC=30°,AD ⊥BC ，∴∠ADC= 90°, ∵AE=AD ． ∴∠ADE= ∠AED=
2180DAC ∠-︒=230180︒-︒=750, ∴∠EDC= ∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选C.
2.D ①有两个角等于60°的三角形是等边三角形：②有一个角
等于60°的等腰三角形是等边三角形：③三个角都相等的三
角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形，故
选D ．
3.A 如图，∵AB=AC ．∴∠B= ∠C ．
∵∠AEF= ∠DEC=90°-∠C ，∠F= 90°-∠B,
∴ ∠AEF= ∠F.又∠BAC=120°,∴∠FAE= 60°.
∴△AEF 是等边三角形，故选A ．
4.D ∵直角三角形中30°角所对的直角边长为6 cm,∴斜边长
为12 cm ．故选D ．
5.C ∵∠B=60°,DE ⊥BC,
∴BD= 2BE=2．
∵D 为AB 边的中点，
∴AB=2BD=4,∵ ∠B= ∠C=60°,
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=4．
故选C ．
6.B 过D 作DE ⊥AB 于E,
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠CBA=60°，∵BD 平
分 ∠ CBA ,
∴ ∠ DBA = ∠ CBD = 30°
∴ AD=BD.CD=-, B3;∴AD.
∵ AD+CD=AC=12,∴ CD=4,
∵DE ⊥AB,∠C=90°,BD 平分∠ABC,
∴DE= CD=4．故选B ．
7.C ∵AB=AC,
∴∠B= ∠C=30°,∵ AB ⊥AD,
∴BD=2AD=2×4=8,
∠ B+ ∠ADB= 90°．
∴∠ADB= 60°,
∵∠ADB= ∠DAC+∠C=60°,
∴∠DAC= 30°,
∴∠DAC= ∠C,
∴DC=AD=4．
∴BC=BD+DC=8+4=12．故选C ．
二．
1.答案120
解析∵△ABC 是等边三角形，BD.CE 是中线，
∴BD ⊥AC,∠ACE=2
1∠ACB=30°, ∴∠BOC= ∠ODC+∠ACE=120°,
故答案为120.
2.答案9
解析∵AB 边的垂直平分线交AB 于点E,BD= 18 cm,
∴AD=BD=18 cm,
∵在直角△ACD 中,∠ACD=90°,∠ADC=30°,
∴AC=2
1AD=9cm ．故答案为9. 三
1.证明 (1)∵△ABC 、△ADE 是等边三角形，
∴ AE=AD,BC=AC=AB, ∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD= ∠DAE+∠CAD,
即∠BAD= ∠CAE,
进而可证得△BAD ≌△CAE,
∵BD=EC ．
∵BD=BC+CD=AC+CD,
∵CE=BD=AC+CD.
(2)由(1)知△BAD ≌△CAE,
∴∠ABD= ∠ACE=60°,
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.
2.证明连接BD ，∵在等边△ABC 中,D 是AC 的中点，
∴∠DBC =21∠ABC =2
1×60° = 30°, ∠ACB= 60°,
∴ ∠CDE= ∠E,
∵ ∠ACB=∠CDE+∠E,
∴ ∠E = 30°,
∴ ∠DBC= ∠E=30°,
∴BD =ED ．∴△BDE 为等腰三角形，
又∵DM ⊥BC,∴M 是BE 的中点．
3.证明 ∵A 在DE 的垂直平分线上，∴AE=AD ，
∴△ADE 是等腰三角形，∵AB ⊥DE ，
∴∠ADE=90°-∠BAD ．∵AD ⊥BD.
∴∠B=90°-∠BAD ．
∴∠ADE= ∠B=60°,
∴△ADE 是等边三角形．
4.解析∵在直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB= 24，∴∠B=180°-90°-30°=60°,BC= 2
1AB=12, ∵ CD ⊥AB,
∴∠BDC= 90°,
∴∠BCD= 180°- ∠BDC-∠B=180°-90°-60°= 30°, ∴BD=2
1BC=6． 5.解析 (1)证明：∵在△ABM 和△BCN 中，
, ∴△ABM ≌△BCN(SAS).
∴∠BAM=∠CBN(全等三角形对应角相等)．
∵∠ QBA+∠ CBN=∠CBA= 60°（已知），
∴∠ QBA+∠BAM= 60°（等量代换）．
∴∠BQM= 60°.
(2)①是．
∵∠BQM= 60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM=60°.
∵∠QBA+∠CBN= ∠CBA=60°（已知），
∴∠BAM=∠CBN(等量代换)．
在△ABM和△BCN中．,
∴△ABM≌△BCN( ASA).
∴BM=CN（全等三角形对应边相等）．
②成立．
∵△ABC为等边三角形’∴BC=AC．
∠ACB= ∠BAC=60°，∴∠BAN= ∠ACM.
又∵BM=CN（已知）,∴CM=AN．
在△BAN和△ACM中，,
∴△BAN≌△ACM(SAS).
∴∠NBA= ∠MAC,
∴∠BQM=∠BNA+ ∠NAQ= 180°- ∠ACB-∠CBN+ ∠NAQ=
180°-∠NCB-(∠CBN - ∠NAQ)= 180°- 60°- 60°= 60°（三角形内角和定理）．。