高考试题高三数学国卷2理科 解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试
理科数学〔全国2卷〕全解全析
一、选择题 1、
102i
i
-= 〔A 〕-2+4i(B)-2-4i(C)2+4i(D)2-4i 【答案】A
【解析】运用复数根本运算化为复数代数形式 2、设集合A=｛x ｜3>x
｝，B ＝｛x ｜
04
1
<--x x ｝那么A B=
〔A 〕∅〔B 〕〔3，4〕〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕〔4+∞〕 【答案】B
【解析】解分式不等式并求交集
3、
ABC 中，cotA=12
5
-,那么cosA= 〔A 〕1213〔B 〕513〔C 〕513
-(D)1213-
【答案】D
【解析】由cotA=125-
,知，ππ<<A 2，排除〔A 〕、〔B 〕；假设135cos -=A ，那么1312
sin =A 那么125
sin cos cot -==A A A 与题设不符，排除〔C 〕，应选D
或者由cotA=125-12
13
tan 1sec 125tan 2-=+-=⇒-=⇒A A A ，
∴13
12
sec 1cos -==
A A 【易错提醒】同角三角函数根本关系并注意所在象限的符号 4、.曲线y=
21
x
x -在点〔1，1〕处的切线方程为 〔A 〕x-y-2=0(B)x+y-2=0(C)x+4y-5=0(D)x-4y-5=0
【答案】B
【解析】
2
2)12(1
)12(2)12(1'--=
-⋅--⋅=
x x x x y ，切线的斜率1)
112(1
'
2
1-=-⨯-=
==x y k ∴切线方程为
02)1(1=-+⇒--=-y x x y
5.、正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，那么异面直线BE 与1CD 所成角
的余弦值为
〔A
〕
10
(B)
15
(C)
10(D)
3
5
【答案】C
【解析】如图，取DD 1的中点F ，连接CF ，那么CF ∥BE ，
∴∠D 1CF 为所求。

设AB ＝1，那么2=CF .51=CD ，1FD ＝1
由余弦定理得：
10
10
310
265
221)5()2(cos 221=
=
⨯⨯-+=
∠CF D 。

应选C 6.、向量(2,1)a
=，10a b •=
,||a b +=那么b =
〔A
【答案】C 【解析】
由||a b +=502)25(2
222=+⋅+⇒=+b b a a b a
由向量(2,1)a =∴52
=a ，又10a b •=，代入上式得：
7、设π3log =a
，3log 2=b
，2log 3=c 那么
(A)a ＞b ＞c (B)a ＞c ＞b (C)b ＞a ＞c (D)b ＞c ＞a 【答案】A
A
B
C
D
E
A 1
B 1
D 1
F C 1
【解析】∵3>π，∴1log 3>π，即a ＞1；又321,231<<<<
∴12log 0,13log 032<<<<，即0＜b ＜1，0＜c a 最大 又∵2log 3log 3log 332
>>∴b ＞c 应选A
【备考提示】对数值〔指数值〕比较大小，〔1〕底同真不同，用单调性；〔2〕真同底不同，利用图象〔当底数大于1时，底数越大图象越靠近坐标轴〕；〔3〕底数真数都不同，找中间值。

8、假设将函数
tan()(0)4
y x π
ωω=+
＞的图像向右平移
6
π个单位长度后，与函数
tan()6
y x π
ω=+
的图像重合，那么ω的最小值为
〔A 〕
16(B)14(C)13(D)12
【答案】D 【解析】由6
4
6
x x k π
π
π
ωωπ-
+
=+
+（）ππ
π
π
ωk +=
+
⋅
-⇒6
4
6
∴k 62
1-=
ω，∵0>ω，∴当k 取0时ω的最小值是1
2
9、直线
(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、
B 两点，F 为
C 的焦点，假设2FA FB =,那么k=
〔A 〕
1
3
(B)
3(C)
2
3
(D)3
【答案】D
【解析】由04)48()
2(822222=+--⇒⎩⎨
⎧+==k x k x k x k y x
y ， 48
4822221-=-=+k k k x x 〔1〕
421=x x 〔2〕
又由
2FA FB =及抛物线的定义知1222(2)x x +=+〔3〕
由〔2〕、〔3〕联解，0)1)(2(024)1(22222
222
=-+⇒=-+⇒=+x x x x x x
解得4112=⇒=x x 代入〔1〕解得3
2
2±
=k ∵二次方程的11016)84(422<<-⇒>--=∆
k k k ，股3
22=
k 选D
由一元二次根系关系出1212,x x x x +，由抛物线定义出1222(2)x x +=+，三式联立得k
10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中至少有1门不一样的选法一共有 〔A 〕6种〔B 〕12种〔C 〕30种〔D 〕36种 【答案】C
【解析】解法一、〔直接法〕〔1〕甲、乙有一门不同，那么另一门一样，有1
21
31
4C C C =24 〔2〕甲、乙有两门不同，有2
22
4C C ＝6 所以一共有24＋6＝30种
解法二、〔间接法〕甲、乙各选两门有2
42
4C C ＝36〔种〕，甲、乙所选两门都一样， 有2
4C ＝6〔种〕所以36－6＝30〔种〕
11、双曲线2
2
22:1(y C a a b
χ-=＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，
假设4AF FB =，那么C 的离心率为
〔A 〕
65〔B 〕75〔C 〕
85〔D 〕9
5
【答案】A
【解析】设1122(,),(,),(,0)A x y B x y F c ，由
4AF FB =得),(4),(2211y c x y x c -=--⇒
⇒-=-)(421c x x c 1245x x c +=〔1〕，又由焦半径得2
1234a x x c -=-
〔2〕.〔1〕、〔2〕
联解得c
a c x 2352
51-=
，c
a c x 8352
22+=
；又，设直线AB 的方程为
)(3c x y -=代入双曲线方
程整理得0)3(6)3(22222222
=+-+-b a c a cx a x a b
，所以有
2
2
22
2222222146)(3636c a c
a a c a c a
b a
c a x x -=--=-=+〔3〕，将1x 、2x 代入〔3〕式得
0))(2536(025613622222224=--⇒=+-⇒c a c a c c a a ，
因为a c
>，所以022≠-c a ，
所以56
2536253602536222
2
2
2
==⇒=⇒=⇒=-a c e a
c c a c a 12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北，如今沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，那么标 ∆“”
的面的方位是 〔A 〕南〔B 〕北〔C 〕西〔D 〕 【答案】B
【解析】将展开图复原成正方形，按图上所示，中间横排四个方格从右到左依次是 东→上→西→下，于是，上图下方方格必是南，带“△〞的方格必是北，应选B 【高考考点】空间想象才能和几何体展开图的复原才能。

二、填空题 13.
、4(的展开式中33x y 的系数为.
【答案】6
【解析】2
22
44
44
1)1()()
(r r
r r
r r
r r y
x
C x y y x C T +--+⋅-=-⋅=。

由题意232
224=⇒=+=-
r r r ，故系数为6)1(2
4
2=-C 14.、设等差数列{}m a 的前n 项和为n S ，.假设355a a =，那么
5
9
S S ＝.
【答案】9
△
上
东
【解析】由53,5a a =得1460a d +=，⇒13
2
a d -=
∴
95
3153
515)32(105)
32
(3691053691
111111159=⨯=--=-⨯+-⨯+=++=a a a a a a d a d a S S 15、设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成4574
π
,那么球O 的外表积等于.
【答案】8π
【解析】由小圆面积得小圆的2
7
4
r =
，如图，连接MC 并延长 交小圆C 于N ，连接ON.
∵045,2=∠=
OMC R
OM ，∴4
2222R
R OC =⋅=， 在NCO Rt ∆中，222)42(
R r R =+，将27
4
r =代入，解得22R =，所以248S R ππ== 16、AC 、BD 为圆2
2:4o x y +=的两条互相垂直的弦，
垂足为M ，那么四边形ABCD 的面积的最
大值为. 【答案】5
【解析】∵弦AC 、BD 互相垂直，∴四边形ABCD 的面积为
2
)2
(21BD AC BD AC S +≤⋅=
，当且仅当AC ＝BD 时 取等号。

此时圆心O 到AC 、BD 的间隔相等。

作OR ⊥BD 于R ，那么R 是BD 的中点，同理，作OT ⊥AC 于T, T 是AC 的中点，且OR ＝OT ，那么四边形OTMR 是正方形。

由M ⇒3=OM ,∴2
6
223=⋅
=OR ，在ORD Rt ∆中，
四边形ABCD 的面积510102
1
21=⨯⨯=⨯=
BD AC S ABCD
∴四边形ABCD 的面积的最大值为5 三、解答题
N
C
·M
·
O A
17.(本小题总分值是10分)
设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、 c 23
cos()cos ,2
A C
B b ac -+==求B 【解析】
18.〔本小题总分值是12分〕 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB AC ⊥，D 、E 分别为
AA 1、B 1C 的中点，DE
⊥平面1BCC
（1） 证明：AB=AC
（2） 设二面角A-BD-C 为600，求1B C 与
平面BCD 所成角的大小
【解析】
解法一：〔Ⅰ〕取BC 中点F ，连接EF ，那么EF /
/
1
2
1B B ，从而 EF //DA 。

连接AF ，那么ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。

又DE⊥平面
1BCC ，故AF⊥平面1BCC ，从而AF⊥BC，即AF 为BC 的垂直平分线，所
以AB=AC 。

〔Ⅱ〕作AG⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。

由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠AGC=60.
.
设AC=2，那么AG=
2
3。

又AB=2，BC=22，故AF=2。

由
AB AD AG BD ⋅=⋅得2AD=222
.23
AD +，解得AD=
2。

故AD=AF 。

又AD⊥AF，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF ，因此平面BCD⊥平面DEF 。

A
C
B
A 1
B 1
C 1
D
E
连接AE 、DF ，设AE∩DF=H，那么EH⊥DF，EH⊥平面BCD 。

连接CH ，那么∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，2，故EH=1，又EC=11
2
B C =2，
所以∠ECH=30，即1B C 与平面BCD 所成的角为30. 解法二：
〔Ⅰ〕以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如下列图的直角坐标系A —xyz 。

设B 〔1，0，0〕，C 〔0，b ，0〕，D 〔0，0，c 〕，那么1B 〔1，0，2c 〕, E 〔
12，2
b
，c 〕. 于是DE →
=〔12，2
b
，0〕，BC →=〔-1，b,0〕.由DE⊥平面1BCC 知DE⊥BC，DE BC →→⋅=0，求得b=1，
所以AB=AC 。

〔Ⅱ〕设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →
=那么0,0.AN BC AN BD →
→
→
→
⋅=⋅=又BC →
=〔-1，1，
0〕，BD →
=〔-1，0，c 〕,故⎩
⎨
⎧=+-=+-00
cz x y x
令x=1,那么y=1,z=1c ,AN →=(1,1,1
c
).
又平面
ABD 的法向量AC =〔0，1，0〕
由二面角
C B
D A --为60°知，AC AN ，
=60°，
故
60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得2
1c =
于是
），，（211=AN ，），，211(1-=CB 2
1
cos 1
11=⋅⋅=
CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，°
所以C B 1与平面BCD 所成的角为30° 19．〔本小题总分值是12分〕 设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，111,42n n a S a +==+
（1） 设n n 1n n b a 2a {b }+=-，证明数列是等比数列 （2） 求数列{a n }的通项公式
【解析】
20．〔本小题总分值是12分〕
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人。

先采用分层抽样方法〔层内采用不放回简单随即抽样〕从甲、乙两组中一共抽取3名工人进展技术考核。

〔Ⅰ〕求从甲、乙两组个抽取的人数；
〔Ⅱ〕求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
〔Ⅲ〕记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

【解析】
所以ξ的数学期望E 123167575755
ξ
=⨯
+⨯+⨯==⋅ 21.〔本小题总分值是12分〕
椭圆()22
220x y C
a b a b
∶＋＝1＞＞，过右焦点F 的直线L 与C 相交于
A 、
B 两点，当L 的斜率为1时，坐标原点O 到L 。

(Ⅰ)求a ，b 的值；
(Ⅱ)C 上是否存在点P ，使得当L 绕F 转到某一位置时，有OP
OA OB ＝＋成立？
假设存在，求出所有的P 的坐标与L 的方程；假设不存在，说明理由
【解析】
22.〔本小题总分值是12分〕 设函数
()2()ln 1f x a x ＝x ＋＋有两个极值点1212x x x x ，，且＜。

〔Ⅰ〕求a 的取值范围，并讨论
()f x 的单调性；
〔Ⅱ〕证明：212ln 2
()4
f x －＞。

【解析】。