2016高考数学理二轮复习课件：专题7 第2节 不等式的解法

图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的
图象在给定的区间上全部在x轴下方.若限制在某个区间上恒成立，则先 求出这个区间上的最值，再转化为关于最值的不等式问题. (2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量 ，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是 参数.利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等.
考纲考向分析 核心要点突破 第十三页，编辑于星期六：点 三十九分。
【例2】 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围. [解题指导](1)对于x∈R，f(x)<0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是
考纲考向分析 核心要点突破 第八页，编辑于星期六：点 三十九分。
方法1 不等式的解法 解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行： (1)二次项若含有参数应讨论是等于0、小于0、还是大于0.然后将不
等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小 关系，从而确定解集的形式.
在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解.
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再
去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单.
考纲考向分析 核心要点突破 第十四页，编辑于星期六：点 <0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0；
考纲考向分析 核心要点突破 第十六页，编辑于星期六：点 三十九分。
法二 因为 x2－x＋1＝x－122＋34>0，
又因为
m(x2－x＋1)－6<0，所以
6 m<x2－x＋1.
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67，所以
只需 m<67即可.
所以，m 的取值范围是mm<67.
考纲考向分析 核心要点突破 第十八页，编辑于星期六：点 三十九分。
考纲考向分析 核心要点突破 第十页，编辑于星期六：点 三十九分。
②当 a>1 时，1a<1，所以(*)⇒1a<x<1； ③当 0<a<1 时，1a>1，所以(*)⇒1<x<1a. 综上所述：当 a<0 时，解集为xx<1a，或x>1； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为x1<x<1a； 当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1 时，解集为x1a<x<1
次不等式的分式不 法是高考热点.
次不等式与对应的二次函
法.
等式，或考查一元另外，对不等式的
数、一元二次方程的联系.
2. 其 它 不 等
二次方程中未知参综合应用的考查，
3.会解一元二次不等式，对
式的解法.
数的取值范围.
主要与导数结合命
给定的一元二次不等式，
3. 不 等 式 的
在解答题中能运用制综合性试题，涉
若 m≠0，则mΔ<＝0，m2＋4m<0⇒－4<m<0.
所以－4<m≤0. (2)要使 f(x)<－m＋5 在[1，3]上恒成立，即 mx－122＋34m－6<0 在 x∈[1，3]上恒成立. 有以下两种方法：
考纲考向分析 核心要点突破 第十五页，编辑于星期六：点 三十九分。
法一 令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]. 当 m>0 时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 所以 m<67，则 0<m<67； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6<0， 所以 m<6，所以 m<0. 综上所述：m 的取值范围是m|m<67.
考纲考向分析 核心要点突破 第九页，编辑于星期六：点 三十九分。
【例1】 (2014·河南洛阳一中月考)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋ 1<0(a∈R).
解 若 a＝0，则原不等式等价于－x＋1<0⇒x>1； 若 a<0，则原不等式等价于x－1a(x－1)>0⇒x<1a，或 x>1； 若 a>0，则原不等式等价于x－1a(x－1)<0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)解集为∅；
考纲考向分析 核心要点突破 第十一页，编辑于星期六：点 三十九分。
[点评] 解决本题的关键是对参数a进行分情况进行讨论，做到不 重不漏.
考纲考向分析 核心要点突破 第十二页，编辑于星期六：点 三十九分。
方法2 一元二次不等式的恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的
_R_
ax2 ＋ bx ＋
c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
∅
_∅_
考纲考向分析 核心要点突破 第五页，编辑于星期六：点 三十九分。
知识点二 其它类型不等式的解法
(x－a)(x－b)>0 型和xx－－ab>0 型不等式的解法
(1)(x－a)(x－b)>0 型不等式的解法：
一元二次不等式(x－a)(x－b)>0 可以转化为一元一次
问题.
x－a (2)x－b>0
型不等式的解法：
不等式xx－ －ab>0 与(x－a)(x－b)>0 同解；
不等式xx－ －ab<0 与(x－a)(x－b)<0 同解.
考纲考向分析 核心要点突破 第七页，编辑于星期六：点 三十九分。
【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为：
(1)两点注意：①解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可
Δ<0
考纲考向分析 核心要点突破 第四页，编辑于星期六：点 三十九分。
一 元 二 次 方 程 有两相异实 有两相等实根 x1 没有实
ax2 ＋ bx ＋ 0(a>0)的根
c
＝
根 x1 x2(x1<x2)
，
＝x2＝－2ba
数根
ax2 ＋ bx ＋ {x|x>x2 或
c>0(a>0)的解集
x<x1}
xx≠－2ba
考纲考向分析 核心要点突破 第十七页，编辑于星期六：点 三十九分。
[点评] (1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数 求最值，也可通过分离参数，再求最值. (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图 象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在x轴下方. (3)本题易错点：忽略对m＝0的讨论，这是由思维定势所造成的.
不等式组xx－ －ab>>00，或xx－－ab<<00，；
一 元 二 次 不 等 式 (x － a)(x － b)<0
可
以
转
化
为
x－a>0， x－b<0
或
x－a<0， x－b>0.
考纲考向分析 核心要点突破 第六页，编辑于星期六：点 三十九分。
这样就将一个一元二次不等式问题化归为一个一元一次不等式组
第二节 不等式的解法
考纲考向分析 核心要点突破 第一页，编辑于星期六：点 三十九分。
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
以小题的形式 一元二次不等
1.会从实际情境中抽象出一
考查一元二次不等式、分式不等式及
元二次不等式模型.
1. 一 元 二 次
式或可化为一元二绝对值不等式的解
2.通过函数图象了解一元二
不等式的解
会设计求解的程序框图.
综合应用.
不等式的性质、定及含参不等式问题
4.会用比较法、综合法、分
理解决与不等式有和不等式的证明问
析法等证明不等式.
关的问题.
题等.
考纲考向分析 核心要点突破 第二页，编辑于星期六：点 三十九分。
知识点一 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0). (2)计算相应的判别式.
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根.
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
考纲考向分析 核心要点突破 第三页，编辑于星期六：点 三十九分。
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－ Δ>0
4ac
二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a>0) 的 图象
Δ＝0
先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则
可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏； ②二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项系数是否为零，然后
再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式. (2)三种情形：一元二次不等式的解集情况分为：
①判别式Δ>0；②Δ＝0；③Δ<0三种解集情形. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别. 4.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.