高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》基础测试题含答案解析

【高中数学】数学《不等式》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知实数x ，y 满足20x y >>，且
11
122x y x y
+=-+，则x y +的最小值为（ ）. A ．
323
5+ B ．
423
5+ C ．
243
5
+ D ．
343
5
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
令22x y m x y n
-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本
不等式即可得x y +的最小值. 【详解】
20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，
令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得25
25m n x n m
y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，
223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫
⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
131313(42)55n m n m
m n m n
⎛⎫=⨯+++≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭ 423
+= 当且仅当3n m
m n
=，即3m n =，即23(2)x y x y -=+ 即97333
,1515
x y +-=
=
时取等号. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.
2．若直线过点
，则
的最小值等于（ ）
A ．5
B ．
C ．6
D ．
【答案】C
【解析】∵直线过点，∴，∴
，
∵
，∴
，
，
，
当且仅当
时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()223
f x x =+D ．()4
2x
x f x e e
=+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()222233
3
f x x x x =
=+++233x +，故()43
f x ≥
，C 错误； D. ()422422x
x f x e e =+-≥=，当4x
x
e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ）
A ．
43
B ．2log 3
C ．
25
D ．2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b
+的最小值后可得221
a b
a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=
，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3
c =. 故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，则
AB 的最小值为（ ）
A ．5 B
．
5
C
D
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点
B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.
【详解】
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨
+-=⎩，解得2
2x y =⎧⎨=⎩
，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=
故选：C ． 【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
7．若,x y 满足4,
20,24,
x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
则4y x -的最大值为（ ）
A ．72
-
B ．52
-
C ．32
-
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y x
-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.
不妨取84(,)33
B 时，4y x -取最大值
44
3183
-=- 故选：D 【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
8．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.
A ．128
B ．64
C ．
164
D ．
1128
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x
y =是增函数,所
以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,
30
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩解
得4,1.
x y =⎧⎨
=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6
max 264z ==.
故选：B 【点睛】
本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元
C ．400千元
D ．440千元
【答案】B
【解析】
设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：
2348069600,0,x y x y x y x N y N
+≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则13
12
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】
当2m n +=时，
Q
131111212
n m n
m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
13．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +
=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
2144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
14．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛
⎫+=+=- ⎪⎝⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝
⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以cos 13C π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭ 所以03C π
-=，即3
C π
=，又a b =， 所以ABC ∆是等边三角形，
故选D 项.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.
15．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）
A ．3
B
C ．3
D ．【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.
【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，
∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，
∴
()()
tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B B C B B +=-=-=---，
∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且
仅当tan B =时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
16．已知直线21y kx k =++与直线122
y x =-
+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．12
k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -
<< 【答案】D
【解析】
【分析】 联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
， Q 直线21y kx k =++与直线122
y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
17．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
18．已知正数x ，y 满足144x y
+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9
B ．6
C ．94
D ．52 【答案】C
【解析】
【分析】
先把x y +转化成
114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足
144x y +=，
1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝…，
当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
19．设集合{}20,201x M x
N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}
01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
20．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ） A ．157 B ．913 C ．17 D ．313
【答案】D
【解析】
【分析】 画出可行域，目标函数36
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案.
【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数
3
6
y
z
x
-=
-
的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)
P连接的斜率.直线330
x y
-+=与直线10
x y
+-=交于点13
(,)
22
A-，
由图可知，当可行域内的点为A时，PA
k最小，故
min
3
33
2
113
6
2
z
-
==
--
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.。