广东省广州市天河中学高考数学一轮复习 直线、平面平

直线、平面平行的判定与性质
基础热身
1．已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
3．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
图K43－1
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
能力提升
5．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
图K43－2
6．如图K43－2所示，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
图K43－3
7．有一木块如图K43－3所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( ) A．16 B．24或
24
5
C．14 D．20
图K43－4
9．如图K43－4所示，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱D．Ω是棱台
10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．
①
⎭⎪
⎬
⎪⎫
m⊂α
l∥m⇒l∥α；②
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l∥m
m∥α⇒l∥α；
③
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊥β
α⊥β⇒l∥α.
11．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
12．如图K43－5所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、
B 1
C 1的中点，P 是上底面的棱A
D 上的一点，AP ＝a
3
，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，点Q 在
CD 上，则PQ ＝________.
13．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；
③已知α，β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．
14．(10分)如图K43－6所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．
(1)求证：PA ∥平面EFG ；
(2)求三棱锥P －EFG 的体积．
15．(13分)如图K43－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点，O 为面对角线A 1C 1的中点．
(1)求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B ；
(2)求证：MO⊥平面A1C1B.
难点突破
16．(12分)如图K43－8，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．
图K43－8
答案解析
【基础热身】
1．D [解析] 由l∥m可知，l∥α或l⊂α；l∥α且m⊂α，则l∥m或l与m异面，故选D.
2．B [解析] 在α内存在直线与l相交，所以A不正确；若α内存在直线与l平行，又∵l⊄α，则有l∥α，与题设相矛盾，∴B正确，C不正确；在α内不过l与α交点的直线与l异面，D不正确．
3．D [解析] A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
4．B [解析] 对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B.
【能力提升】
5．D [解析] 可构造正方体ABCD－A1B1C1D1辅助求解．
对于A，记平面AD1＝α，平面AB1＝β，CC1＝a，满足A中条件，但α、β不平行，A错
误．对于B ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，满足B 中条件，但α、β不平行，B 错误．对于C ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，BB 1＝b ，满足C 中条件，但α、β不平行，C 错误，排除A 、B 、C ，故选D.
6．C [解析] 由PQ ∥MN ∥AC ，QM ∥PN ∥BD ，PQ ⊥QM ，可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确，排除法选C.
7．B [解析] ∵BC ∥平面A ′C ′，∴BC ∥B ′C ′，∴在平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC ，所以过EF 、BC 所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B.
8．B [解析] 根据题意可出现以下两种情况，
由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则
PA AC ＝PB BD
， 可求出BD 的长分别为24
5
或24.
9．D [解析] A 项，由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，EH ∥面BB 1C 1C ，又因为面EFGH ∩面BB 1C 1C ＝FG ，所以EH ∥FG ；B 项，由EH ∥A 1D 1知EH ⊥面AA 1B 1B ，则EH ⊥EF ，又因为四边形EFGH 为平行四边形，所以四边形EFGH 是矩形；C 项，由于面AA 1EFB ∥面DD 1HGC ，且A 1D 1∥AD ∥BC ∥FG ∥EH ，所以Ω是棱柱．故选D.
10．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.
11．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1
的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE I ，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．
12.223
a [解析]连接AC ，
由平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，得MN ∥平面ABCD ，
∴MN ∥PQ .
又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . ∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223
a .
13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故③是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故④为假命题．
14．[解答] (1)证明：取AD 的中点H ，连接GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . 又G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面． ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH .
又PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .
(2)由题易得GC ⊥面PCD ，
∴三棱锥以GC 为高，△PEF 为底．
PF ＝12PD ＝1，EF ＝1
2CD ＝1，
∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD ⊥CD ，又EF ∥CD ，
∴PD ⊥EF ，即∠PFE ＝90°，
∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝1
2.
又GC ＝1
2
BC ＝1，
∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝1
6
.
15．[解答] 证明：(1)连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .
又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理MP ∥C 1B . 而MN 与MP 相交，MN ，MP ⊂平面MNP ，
C 1B ，A 1B ⊂平面A 1C 1B ，∴平面MNP ∥平面A 1C 1B . (2)连接C 1M 和A 1M ，设正方体的边长为a ， 在正方体ABC
D －A 1B 1C 1D 1中，有C 1M ＝A 1M ， 又∵O 为A 1C 1的中点， ∴A 1C 1⊥MO .
连接BO 和BM ，在三角形BMO 中， 经计算知
OB ＝62a ，OM ＝32a ，BM ＝32a ，
∴OB 2＋MO 2＝MB 2
，即BO ⊥MO .
又A 1C 1∩BO ＝O ，∴MO ⊥平面A 1C 1B .
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，
所以DE ∥PC .
又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ， 所以DE ∥平面BCP .
(2)因为D 、E 、F 、G 分别为AP 、AC 、BC 、PB 的中点， 所以DE ∥PC ∥FG ， DG ∥AB ∥EF ，
所以四边形DEFG 为平行四边形． 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以平行四边形DEFG 为矩形． (3)存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．
由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝1
2
EG .
分别取PC 、AB 的中点M ，N ，连接ME 、EN 、NG 、MG 、MN .
与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，
且QM ＝QN ＝1
2
EG .
所以Q 为满足条件的点．。