高三数学第二学期统一练习(二)理 试题01

心尺引州丑巴孔市中潭学校顺义区2021届高三第二次
统练
数学〔理科〕测试
一．选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题
目要求的〕 1.设集合{}0
1|2<-=x x M
，{}0lg |<=x x N ，那么N M ⋃等于
A {}11|<<-x x
B {}10|<<x x C
{}01|<<-x x D {}0|<x x
2.21,e e 是不共线向量，212e e a
+=，21e e b -=λ，当a ∥b 时，实数λ等于
A 1-
B 0
C 2
1
- D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,
A 假设α⊂⊥
n n m ,，那么α⊥m B 假设m n m //,α⊥，那么α⊥n
C 假设αα//,//n m ，那么n m //
D 假设γ
βγα⊥⊥,，那么βα
//
4.等比数列
{}n a 中，各项都是正数，且2312,2
1,a a a 成等差数列，那么
9
876a a a a ++等于
A 21+
B 21-
C 223+
D 223-
5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率
为
3，那么=PF
A 34
B 38
C 8
D 16
6.极坐标方程θ
ρsin 2=和参数方程⎩
⎨
⎧--=+=t y t
x 132〔t 为参数〕所表示的图形分别为
A 圆，圆
B 圆，直线
C 直线，直线
D 直线，圆
7.点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A
514 B 5
6 C 2 D 1
8.定义在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡23,0π上的函数
)(x f y =的图像关于直线4
3π
=
x 对称，当
4
3π≥
x 时，
x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 那么S 不可能．．．
为 A
π4
5
B
π2
3 C
π4
9 D π3
二．填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕 9.在复平面内，复数
i
i
++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式5
21⎪
⎭⎫
⎝
⎛+x x 的展开式中，含4
x 项的系数为______________________. (用数字作答〕
11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 8
9
=
，︒=∠60AOP ,那么 =PD ________________.
12.如图是一个正三棱柱的三视图，假设三棱柱的体积是38
，那么=a ____________________.
13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度〔棉花纤维的长度是棉花质量
mm)
的重要指标〕。

所得数据均在区间
[]40,5中，其频率分布直方图如下列图，由图中数据可知=a _______，
在抽测的100根中，棉花纤维的长度在
[]30,20内的有__________根。

14.给定集合A ，假设对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-,那么称集合A 为闭集合，给出如
_ B
下四个结论：①集合{}4,2,0,2,4--=A 为闭集合；
②集合{}Z k k n n A ∈==
,3|为闭集合；
③假设集合21,A A 为闭集合，那么21A A ⋃为闭集合；
④假设集合21,A A 为闭集合，且
R A R A ⊆⊆21,,那么存在R c ∈,使得()21A A c ⋃∉.
其中正确结论的序号是________________________.
三．解答题〔本大题共6小题，共80分. 解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.〕 15. 〔本小题总分值13分〕
函数
x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=π，R x ∈
(1) 求函数)(x f 的最小正周期；
〔2〕记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，假设3,1,1)2
(===c b B
f ，求a 的值。

16. 〔本小题总分值14分〕
三棱锥P-ABC 中，⊥PA 平面ABC,
AB AC PA AC AB 2
1
,=
=⊥,N 为AB 上一点，AB= 4AN, M ,D ,S 分别为PB,AB, BC 的中点。

〔1〕求证： PA//平面CDM; 〔2〕求证： SN ⊥平面CDM;
(3 ) 求二面角N MC D --的大小。

17. 〔本小题总分值13分〕
为振兴旅游业，某2021年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向外人士发行的是金卡，向内人士发行的是银卡。

某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该旅游，其中
4
3
是外游客，其余是内
游客。

在外游客中有
31持金卡，在内游客中有3
2
持银卡。

〔1〕在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率；
(2 ) 在该团的外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX 。

18. 〔本小题总分值13分〕 设函数
()0)(2
>+=
a b
x ax
x f 。

（1） 假设函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求b a ,的值； （2） 假设函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围； （3） 在〔1〕的条件下，假设()00,y x P 为函数b
x ax
x f +=
2)(图像上任意一点，直线l 与)(x f 的图
像切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围。

19. 〔本小题总分值14分〕
椭圆C 的左，右焦点坐标分别为()(
)0
,3,0,32
1
F F -
,离心率是
2
3。

椭圆C 的左，右顶点分别记为A,B 。

点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS,BS 与直线3
10
:-
=x l 分别交于M,N 两点。

（1） 求椭圆C 的方程； （2） 求线段MN 长度的最小值；
（3） 当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上的T 满足：TSA ∆的面积为
5
1。

试确定点T 的个数。

20. 〔本小题总分值13分〕
对于定义域分别为N M ,的函数
)(),(x g y x f y ==，规定：
函数⎪⎩
⎪
⎨
⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当 (1) 假设函数R x x x x g x x f ∈++=+=
,22)(,1
1
)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 假设22)(,1)(2
++==x x x g x f ，设n b 为曲线)(x h y =在点()()n n a h a ,处切线的斜率；而
{}n a 是等差数列，公差为1()*∈N n ，点1P 为直线022:=+-y x l 与x 轴的交点，点n P 的坐标
为
()n n b a ,。

求证：
5
21112
12
3
12
2
1<
+
++
n
P P P P P P ； (3) 假设)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα2,0∈，请问，是否存在一个定义域为R 的函数
)(x f y =及一个α的值，使得x x h cos )(=，假设存在请写出一个)(x f 的解析式及一个α
的值，
假设不存在请说明理由。

顺义区2021届高三第二次统练
数学〔理科〕参考答案
一．ADBD CBCA
二．9.⎪⎭
⎫
⎝⎛21,23 10. 10 11.a 32 12. 2 13. 55,05.0 14. ②④
三． 15.解〔1〕
x x x f 2sin 2)6
2sin(2)(-+
-=π
1)3
2cos(++
=
π
x …………………………………………………………5分
所以函数
)(x f 的最小正周期为π。

………………………………………………… 6分
〔2〕由1)2(=B f 得11)3cos(=++πB ,即0)3
cos(=+π
B 又因为π<<B 0,所以πππ3
4
33<+<B
所以2
3
π
π
=
+B ,即6
π
=
B . ………………………………………………………….9分
因为3,1==c b
所以由正弦定理
C
c
B b sin sin =
,得23sin =C 故ππ
3
2
3或=C
……………………………………………………………….11分
当22322=+==
=
c b a A C
，从而时，π
π
当16
632=====b a B A C ，从而，又时，π
ππ 故a 的值为1或2. …………………………………………………………….13分
16.〔1〕证明：在三棱锥ABC P -中
因为M,D,分别为PB,AB 的中点， 所以PA MD //
因为CMD PA CMD MD
平面平面⊄⊂,
所以CMD PA 平面// ……………………………………………….3分 〔2〕证明：因为M,D,分别为PB,AB 的中点 所以PA MD // 因为ABC PA 平面⊥ 所以ABC MD 平面⊥ 又ABC SN
平面⊂
所以SN MD ⊥ ……………………………………………………6分
设1=PA ,以A 为原点，AP AC AB ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系。

如下列图，那么
所以)0,21
,21(),21,1,1(--=-=SN CM
因为002
1
21=++-=⋅SN CM
所
以
SN CM ⊥ ………………………………..9分
又M MD CM
=⋂
所以CMD SN 平面⊥……………………….10分
(3)解由〔2〕知，)0,2
1
,21(--=SN
是平面CMD 的一个法向量
设平面MCN 的法向量),,(z y x n =，那么0,0=⋅=⋅CN n CM n
即()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0
0,1,21,,021,1,1,,z y x z y x
所以⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=z y z x 21 令2
1,1,1-=-==y x z 则
所以)1,2
1
,1(--=n
从而2
2=
=
因为二面角N MC D --为锐角 所以二面角N MC D --的大小为
4
π。

………………………………………………..14分 17.解：〔1〕由题意知，外游客有27人，其中9人持有金卡，内游客有9人，其中6人持有银卡。

记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，〞 记事件
1A 为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，〞
记事件2A 为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，〞
那么23845
)()()(3
36
1
629336121161921=+=+=C C C C C C C A P A P B P 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为
238
45。

………………………………………………….6分 〔2〕X 的可能取值为0,1,2,3
因为975
272
)0(327318===C C X P
所以X 的分布列为
………………………………………………10分 故1975
28
332572232515319752720=⨯+⨯+⨯+⨯
=EX
……………………13分 18.解〔1〕
2
2
2'
)
()
()(b x x b a x f +-= 由题意得⎩⎨⎧-=-=-2)1(0)1('
f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-210)1()
1(2
b
a b b a ，所以⎩⎨⎧==14b a ……………………………3分
〔2〕
)0()()
()(2
22'
>+--=a b x b x a x f
当0)(0'≤≤x f b
时，，函数)(x f 在区间()1,1-内不可能单调递增 ………….4分
当0>b
时，2
2')
()
)(()(b x b x b x a x f +-+-
= 那么当),(b b x -
∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，故当且仅当⎩⎨⎧≥≤-1
1
b b 时，
函数
)(x f 在区间()1,1-内单调递增，即1≥b 时，函数)(x f 在()1,1-内单调递增。

故所求b 的取值范围是
[)+∞,1 ………………………………………………8分
〔3〕直线l 在点P 处的切线斜率
2
2
02
02
2
020
0)
1(81
4)
1(44)('++
+-=
+-=
=x x x x x f k
…………………………………….10分
令,1
1
2
0+=
x t 那么10≤<t 所以2
1
)41(84822--=-=t t t k
故当41=t 时，2
1
min -=k ；1=t 时，4max =k
所以直线l 的斜率的取值范围是
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,21 ………………………………………13分
19.解〔1〕因为
2
3=a c ，且3=c ，所以1,222=-==c a b a 所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x …………………………………………….3分 (2 ) 易知椭圆C 的左，右顶点坐标为
)0,2(),0,2(B A -,直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k
故可设直线AS 的方程为
)2(+=x k y ，从而)3
4,310(k M --
由⎩
⎨
⎧
14
)
2(2
2=++=y x x k y 得041616)41(2
222=-+++k x k x k 设),(11y x S ，那么22141416)2(k k x +-=-，得2
2
14182k
k x +-= 从而2
1414k k
y +=
，即414,4182(
2
22k k
k k S ++- 又)0,2(B ,故直线BS 的方程为)2(41
--
=x k
y 由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=310)2(41x x k y 得⎪⎩
⎪⎨
⎧==-=k y x 34310，所以)34,310(k N - 故
k
k MN 3434+=
又0>k ，所以3
8343423434=⋅≥+=k k k k MN 当且仅当k
k 34
34=时，即1=k 时等号成立
所以1=k
时，线段MN 的长度取最小值
3
8
………………………………..9分 〔3〕由〔2〕知，当线段MN 的长度取最小值时，1=k
此时AS 的方程为02=+-
y x ，5
4
,56(-S ,
所以
5
2
4=
AS ,要使TSA ∆的面积为
5
1
，
只需点T 到直线AS 的距离等于
4
2，
所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于
4
2的直线'
l 上
设0:'
=+-t y x l
，那么由
4
2
2
2=
-t ，解得2523==t t 或
① 当23=t 时，由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+0
23142
2y x y x 得051252
=++x x
由于044>=∆
，故直线'l 与椭圆C 有两个不同交点
②25=t 时，由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+0
25142
2y x y x 得0212052
=++x x
由于020<-=∆
，故直线'l 与椭圆C 没有交点
综上所求点T 的个数是2. ……………………………………………..14分 20.解〔1〕由函数R x x x x g x x f ∈++=+=
,22)(,1
1
)(2 可得{}R N x x M
=-≠=,1|
从而⎪⎩
⎪⎨⎧-=-≠+++=1,11,1
22)(2x x x x x x h
当1->x 时，211
111)1(122)(22≥+++=+++=+++=
x x x x x x x x h 当1-<x 时，2)1
1
1(11)1(122)(22-≤--+---=+++=+++=
x x x x x x x x h 所以)(x h 的取值集合为
{}12,2|=≥-≤y y y y 或或 …………………………….5分
〔2〕易知,22)(2++=x x x h 所以22)('+=x x h
所以22)('+==n n n
a a g b
显然点),(n n n b a P 在直线l 上，且11
-=a
又{}n a 是等差数列，公差为1
所以22,2-=-=n b n a n n
故)22,2(--n n P n ，又)0,1(1-P 所以)2)(1(51≥-=n n P P n 所以⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++++=+++22221231221)1(131********
n P P P P P P n 5
2111151<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n ……………………………………………..8分 〔3〕由函数)(x f y =的定义域为R ，得)()(a x f x g +=的定义域为R
所以，对于任意R x ∈,都有)()()
(x g x f x h ⋅= 即对于任意R x ∈,都有)()(cos a x f x f x +⋅=
所以，我们考虑将x cos 分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化
所以，令)4
2cos(2)(π-=x x f ，且πα=，即可 ………………………………..13分 又)2
sin 21)(2sin 21(2sin 21cos 2x x x x -+=-= 所以，令2sin 21)(x x f +=，且πα2=，即可〔答案不唯一〕。