九年级数学竞赛专题全套

九年级数学竞赛专题 第一讲 因式分解
一、选择题
1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）
A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9;
B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3)
C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;
D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z
2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）
A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y);
B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+
C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ;
D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )
3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）
A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+-
B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+
C ．22)1(4448-=--a a a
D ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+-
4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）
A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)
B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=-
C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )
D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+-
5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ）
A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++-
B ．)13)(12(6
1652++=++m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+⋅++
D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222-+--=----x x x x x x x x
二、填空题
1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2
222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。

2．若：922-+ax x 被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________。

3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。

4．乘积)10
11)(911()311)(211(2222---- =________________。

5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。

三、解答题
1．分解因式
42(1)23x x +-; 42(2)29x x ++; 22(3)(1)(1)4a b ab ---
2(4)23x xy x y -++-; 2222(5)(1)(1)a a a a ++++;
3(6)()2(1)1m n mn m n ++---; 22(7)(1)(2)12a a a a ++++-;
432(8)1256895612x x x x -+-+
2．已知三角形的三条边a,b,c 适合等式：abc c b a 3333=++，请确定三角形的形状。

3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。

4．已知：2x – 3 和 3x + 1是f(x) = 153223+++x bx ax 的因式，求a,b 的值。

5．证明：
（1）若n 为整数，则22)12()12(--+n n 一定是8的倍数；
（2）若n 为正整数时，3n - n 的值必是6的倍数；
（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。

答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．C
提示：
1．依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。

只有选项B 正确，其中选项A 、D 均为整式乘法。

2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C 正确。

3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D 正确，选项B 因式分解的结果并不彻底。

4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D 正确。

5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C 正确，选项B 非恒等变形。

二、填空题：
1．1；
2．X+4.5；
3．110平方厘米；
4．20
11； 5．7、11、13
提示：
1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。

而只有（1）式=2
)12(-x 是完全平方式。

2．根据题意，利用大除法： 2)3(3
2
)3(3)3(9
)3(32923222++
+-+-+--+-a x a x a x a x
x ax x x ∴3]2
)3(3[9=+-
--a a = 5 ∴42)3(+=++x a x ，即：商式为x + 4，且a = 5. 3．依题意，原正方形面积为2
75.12厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差
公式：乘下的面积就是12.752- 7.252
=(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110平方厘米 4．原式2
22222222210110919414313212-⋅-⋅-⋅-⋅-= 20111011991084533422112
2222=⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯=
5．依题意，设所求的站位数为：abcabc ，a,b,c 均为自然数，则
abcabc c b a c b a +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10101010102345
)
10100(1001)110)(1010()
1010()1010(1032223c b a c b a c b a c b a ++=++⨯+⨯=+⨯+⨯++⨯+⨯=
∵1001=7×11×13， ∵a,b,c 为自然数，
∴100a + 10b + c 为自然数
∴7abcabc abcabc abcabc |13,|11,|
三、解答题
1．分解因式：
（1）十字相乘法：原式)1)(1)(3(2-++=x x x
（2）配方法：原式=)32)(32(2
2+++-x x x x
（3）配方法：
原式ab b a b a 412222-+--= )
1)(1()()1()
2()21(222222b a ab b a ab b a ab ab b a ab b a ---++-=+--=++--+=
（4）原式=y xy x x +--+322
)
3)(1()1()1)(3(+--=---+=y x x x y x x （5）法1：
原式=23422212a a a a a a ++++++
222222223234234)1()
1()1()1(1
1
232++=++++++++=++++++++=++++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
法2：
原式=2222)(12a a a a a +++++
222
22)1()()(21++=++++=a a a a a a a
（6）法1：
原式=1222)23(223223---+++++mn n m mn n mn n m m
)1)(1()
1()1()1()1()1(1
1
22222222232233223++++-+=-++-++-++-++-+=-++-+--++-++-+=-++++=n m n m n m n m n m n n m m m n n n m m n m n n nm m nm m n m n n m n m m m n n m n n m m
法2：
原式=)1(21)(33n m mn n m --+-+
)
1)(1()
1(2]1)())[(1(222++++-+=-+-++++-+=n m n m n m n m mn n m n m n m （7）原式=122)(3)(222-++++a a a a
)
1)(2)(5()
2)(5(222-+++=-+++=a a a a a a a a （8）反数法： 原式=)(5689)1(12324x x x x +-++
)
23)(32)(12)(2()6136)(252(]13)1(6][5)1(2[]65)1(56)1(12[)]1(568924)1(12[)1(5689)1(12222222222222----=+-+-=-+-+=++-+=+-+-+=+-++
=x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x
2．解，依题意：abc c b a 3333=++而abc c b a 3333-++
abc c b a 3333-++
)
)(()
(3])())[((3)(3)(3]3))[((3))((222223332322=---++++=++-+⋅+-+++=-++-+=-+-++=-++-+=bc ac ab c b a c b a c b a ab c c b a b a c b a abc
c b a ab b a abc
c ab b a b a abc
c b ab a b a
∵a,b,c 为三角形的三边长 ∴a + b + c > 0 ∴0)()()(0
2220
2222220
222222222222222=-+-+-=+-++-++-=---++=---++c b c a b a c bc b c ac a b ab a bc ac ab c b a bc ac ab c b a
∵0)(,0)(,0)(222≥-≥-≥-c b c a b a
∴只有0)(,0)(,0)(222=-=-=-c b c a b a
∴a = b = c ，即三角形为等边三角形
注：abc c b a 3333-++也可如下分解：
原式=abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++
))(()
(3)(22233ab bc ac c b a c b a c b a ab c b a ---++++=++-++=
3．解：设这三个奇数依次为n – 2 , n , n + 2，其中n 为自然数，则n > 2，则依题意： (n - 2)2 + n 2 + (n+2)2 = 251 3n 2=243 n 2
=81
∴ n = 9或-9
当n = 9时，n – 2 = 7, n + 2 = 11;
当n = - 9时,n – 2 = - 11, n + 2 = -7.
所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-11
4．解：若(2x – 3 )和(3x + 1)都是f(x) = ax 2+bx 2+32x + 15的因式，
则(2x – 3 )(3x + 1 ) = 6x 2-7x – 3能整除f(x)。

解法1：
利用多项式与多项式的大除法：
56
015
353015)2
32()7(2
75
323762223232-++-++++--
+++--x a x x x a x b a b x a x b a ax x bx ax x x ∴,352
32307=+-=+a b a b 且 ∴a = 6且b = - 37
即：)5)(13)(32(153237)(23-+-=++-=x x x x x bx x f
解法2：
))(13)(32()(n mx x x x f ++-=
15
323)73()76(6)
)(376(23232+++=-+--+=+--=x bx ax n x n m x m n mx n mx x x
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-==n
n m m n b bm a 315)
73(3276
∴n = -5, m = 1, b = -37, a = 6
即1532376)5)(13)(32()(23++-=-+-=x x x x x x x f
5．证明：
（1）∵n n n n n n n 8)1212)(1212()12()12(2
2=+-+-++=--+
∵n 为整数， ∴8 | 8n.
即8|(2n+1)2-(2n-1)2命题得证；
（2）)1()1()1(23+-=-=-n n n n n n n
∵n 为正整数，(n+1)和n 是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1)；而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|(n-1)n(n+1),即6|(n-1)n(n+1)。

命题得证。

（3）设这四个连续自然数依次为n – 2, n – 1, n , n + 1，其中n>2且n 为自然数，则依题意：
(n – 2 )(n – 2 ) n (n + 1 ) + 1
=(n – 2 ) (n + 1)(n – 1 )n + 1
=(n2- n – 2 )(n2- n ) + 1
=(n2- n )2-2(n2-n )+1
=(n2- n – 1 )2
因为n为自然数，
所以n2- n – 1 必为整数，即命题得证。

九年级数学竞赛专题 第二讲 分式变形
一、选择题
1．6
123=+y x 等介于（ ）（其中x ≠18） A ．
623=+y x ; B ．3y + 2x = 6; C ．1218-=y y x ; D ．1812-=x x y 2．若,d
c b a =且m ≠0，则下列比例式中成立的应是（ ） A ．m
d c m b a +=+; B ．d m c b m a -=-; C ．m d m c m b m a ++=++; D ．d
dm c b bm a +=+ 3．化肥厂原计划x 天一产化肥120吨，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此比原计划提前2天完成原计划，则列出的方程应是（ ）
A ．31202120-=-x x ;
B ．32120120-+=x x ;
C ．31202120-=+x x ;
D ．32
120120--=x x 4．若y =y
c z z b x x a ==,,(abc ≠0)，则222z y x ++=（ ） A ．abc
c b a 2)(++; B ．abc c b a 222++; C ．abc bc ac ab 2)(++; D ．abc b a c b c a 2
22222++ 5．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的体积和水的积体比是p ：1，另一个瓶子中酒精的体积和水的体符号比是q ：1，如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的体积与水的体积之比是（ ）
A ．2q p +;
B ．22++++q p pq q p ;
C ．q
p q p ++22; D ．q p pq +2 二、填空题
1．当x 取_______时，代式x
x x 1111-+-有意义。

2．比较大小：1
23123______1231232001200020001999++++ 3．若方程：m
x m x m x x =--+--)1)(1()1()1(的根均相等，则只需m 的值是________。

4．已知：a + b + c = 0，则3)11()11()11
(++++
++b a c a c b c b a 的值是_________。

5．当x 取________整数值时，分式7
32922---x x x 的值为整数。

三、解答题
1．化简：
（1）32232
2322322323231y
xy y x x xy y x y y x xy x xy y x y y x xy x xy x +++++--+-⋅--+++ 3
2233
32332321y xy y x x y x xy x y y x y y x +++++--+++⋅
（2）
)
4)(3(1)3)(2(1)2)((1)(1a x a x a x a x a x a x a x x ++++++++++
（3）22
22)(11122)113(c b a ab ca bc c b c b c b a a c bc b ++++++⨯+-+++-
（4）)
1)((1)3)(2(1)2)(1(1---++--+--n x n x x x x x
2．证明以下各式：
（1）若abc=1，则
1111111=++++++++c ac b bc a ab
（2）若a + b + c = 0，则
0111222222222=-++-++-+b
a c a c
b
c b a
（3）已知：1=++c z b y a x 且0=++z c y b x a ，求证：1222222=++c
z b y a x
（4）若：x = by + cz, y = cz + ax, z = ax + by,求证：
1111=+++++c
c b b a a .
3．（1）将下列各题分解为部分分式： ①)12)(1(5-+-x x x ;②)
3)(2)(1(181662+++++x x x x x .
（2）已知：3232)
1()1()1()1(2-+-+-≡-+x C x B x A x x ，求A 、B 、C 的值。

4．（1）已知a > 0, b > 0, c > 0.求证：
3222≥+++++b a c a c b c b a .
（2）如果a ，b ，
a b b a 12,12--都是整数，并且a >1, b > 1，试求：a + 2b 的值。

5．一件工程由甲、乙、丙、丁、戊五人工作，如果甲、乙、丙三人同时工作，需用721天完成；如果甲、丙、戊三人同时工作，需用5天完成；如果甲、丙、丁三人同时工作，需用6天完成，如果乙、丁、戊三人同时工作，需用4天完成，问五人同时工作，几天可以完成工作的
?3
2
答案
一、选择题
1．D
2．D
3．D
4．D
5．B
提示：
1．)1(6
123 =+y x 在（1）左右两边分虽乘以6xy ：则18y + 12x = xy ∴12
18-=y y x 而1812-=x x y x ≠18且y ≠12 ∴选项D 正确
2．不妨设a = 2, b = 4, c = 3, d =6，则
6342= m = 1时，1
63142+≠+ ∴选项A 错误， 6
13412-≠- ∴选项B 错误， 1
6131412++≠++ ∴选项C 错误， ∵d c b a = ∴ m d c m b a +=+ ∴d
dm c b bm a +=+ ∴选项D 正确
3．若原计划x 天生产化肥120吨，则日产量为：
x 120吨，而增产后的日产量为：)3120(+x
吨……（1）实际生产天数为(x –2 )天；则增产后的日产量为)3120(+x
吨……（2），则依题意有：31202120+=-x x ，所以选项D 正确。

4．∵y
c z z b x x a y ===,, ∴⎪⎩
⎪⎨⎧===)3()2()1( c yz b xz a xy
由（1）×（2）×（3）得：)4(2
22 abc z y x =
∵abc ≠0 ∴xyz ≠0\
由（4）÷2)1(可得：;2a
bc z =
由（4）÷2)2(可得：;2b
ac y = 由（4）÷2)3(可得：;2c ab x = ∴abc b a c a c b c ab b ac a bc z y x 2
222222
22++=++=++ ∴选项D 正确
5．酒精体积与水体积之比是p ：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为p p +1，水为p +11；酒精体积与水体积之比是q ：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为q q +1，水为q
+11。

当两瓶混合所含纯酒精为（p p +1+q q +1），水为（p +11+q
+11）所以酒精和水的体积之比为p p +1+q q +1：p +11+q +11=2
2++++q p pq q p
二、填空题
1．x ≠0, x ≠±1；
2．>；
3．m = 2
1-; 4．0；
5．4、6、8、10
提示：
1．只有当：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠-+-≠-≠0111010x x x x x x 时，原分式才有意义；
∴解得：⎪⎩
⎪⎨⎧-≠±≠≠110x x x 时，原分式有意义。

2．
解法1：两数作差：
1
231231231232001200020001999++-++ 1
231231231230)123)(123(48323)
123)(123()232231(23)
123)(123()123223(1232323200120002000199920012000199920012000219992001200020004000200119994000++>++∴>++⨯=++⨯-+=+++⨯+-+++=
解法2：两数作商也可得：
3．解：∵m
x m x m x x =--+--)1)(1()1()1( m
x m x m m x =--+--)1)(1(11 )
1)(1(1)1(--+=-m x m m m x ∵m – 1 ≠0 ∴
1
1-+=x m m x ∴0)1(2=+--m m x x 41)1(412++=+-m m x x 4
1)1()21(2++=-m m x ∵原方程的根相等，则04
1)1(=++m m ∴0)21(2=+x ∴21-=m 时，21=x 时，原方程只有一个根
4．若a + b + c =0，则a + b = - c, b + c = - a, a + c = - b
)11()11()11(b
a c a c
b
c b a +++++
abc c b a ab
c c ac b b bc a a ab
b a
c ac c a b bc c b a 3
33++-=-⋅+-⋅+-⋅=+⋅++⋅++⋅
= ∵abc c b a 3333-++
))((222bc ac ab c b a c b a ---++++=
∴当a + b + c = 0时，abc c b a 3333-++=0
∴abc c b a 3333=++
∴原式= -3 + 3=0
5．∵7
32922---x x x 7
3527
3)7(5)7(27
33551422-++=-+-+-=-+-+-=x x x x x x x x x x ∵x 为整数，所以2x + 5为整数 所以只要7
3-x 为整数即可，所以x – 7整除3即可。

而3=1×3=（-1）×（-3） 所以 x – 7 = ±1或x – 7 = ±3.
所以x = 8或x = 6或x = 10或x = 4时原分式的值为整数。

三、解答题
1．化简
（1）解：
原式=)
()()()()(1222223y x y y x x y x xy y x y y x x xy x -+--⋅-+-++
1
))(()]()([))()(()1())()(()1()
()())(()
()(1)()()(2
22
22
22
222222222
2222232222223222223222=++=++-++--+-=++-+-++++++-+++=++++-++-+-++⋅+++++y x y x y x y xy x y x y x y x y y x x xy y x y xy x x y y x y x y y x xy y x y x y x xy x xy y x y y x x y xy x y x x y x x y y y y x y x y y x x y x xy （2）∵,11)(a
x x a x x a +-=+ ,4131)4)(3(,211)3)(2(,211)2)((a
x a x a x a x a a
x a x a x a x a a
x a x a x a x a +-+=+++-+=+++-+=++ ∴原式 =)4131(1)3121(1)211(1)11(1a x a x a a x a x a a x a x a a x x a +-+++-+++-+++- )(4)411(1a x x a x x a +=+-=
（3）原式=2222)()
(2)3(c b a abc
c
b a b
c c b c b bc a a c bc b +++++++-++- 2
2222
222)()3(2))((2)()(2)3(c b a c
b a b
c a a c b a c bc b c b c b a c b a a c b c b bc a a c bc b +++++-++++-+=++++++⋅+-++-=
2
222222222223
2223
3332
333333)333)(()222222222)(()())((2)()3(2)(6222c b a c
b a
c b a c b a c
b a b
c ac ab c b a bc ac ab c b a c b a c
b a
c b a bc ac ab c b a c b a c
b a
c b a abc c b a c b a c
b a ab
c a c b ++=++++++=++++++++---++++=+++++---++++=+++++-++=+++++-++= （4）∵1
121)2)(1(1---=--x x x x n
x n x n x n x x x x x --+-=+-----=--1)1(1)]1()[(12131)3)(2(1 ∴原式=n
x n x x x x x --+-++---+---1)1(121311121 )]1()[1(11)1(1+--=--+-=
n x x n x n x 2．证明以下各式
（1）证法1：
∵abc=1
∴左边=1
111++++++++c ac b bc abc a ab abc 111111111111=++++++=++++++=++++++=++++++++=
b
bc b bc b bc ab
abc a ab bc b bc ab
a a
b b
c b bc abc
c ac abc b bc bc b bc =右边
所以等式成立。

证法2：
∵abc=1 ∴a
bc b ac ab c 1,1,1===
∴左边=11111++++++++c ac c b bc a ab 1111111111111111=++++=++++++++=++++++++=
ab
a a
b a ab
a a
b a ab a a ab ab
b b a a ab =右边
等式成立。

（2）∵a + b + c = 0
∴a = - (b + c), b = -(a + c), c = - (a + b)
∴原式左边=2
22222222111b a c a c b c a b -++-++-+ 02212121)(1)()(1)()(12
22222222=++-=---=+-+++-+++-+=
abc
c b a ab
ac bc c a a c c b c b b a a b =右边 即等式成立。

（3）∵
)1(1 =++c
z b y a x ∵;1)(:)1(22=++c z b y a x 得 又∵)2(0 =++z
c y b x a ∴由（2）式得：
0=++xyz cxy bxz ayz ∴等式左边=abc
ayz bxz cxy bc yz ac xz ab xy c z b y a x ++⋅-=++-++21)(2)(2 =1=右边 所以等式成立。

（4）∵⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=)3()2()1( by ax z ax cz y cz by x
由（1）+（2）×（3）得：（x + y + z ） = 2ax + 2by + 2cz (4)
由（4）-（1）×2得：y + z –x = 2ax;
由（4）-（2）×2得：x + z – y = 2by;
由（4）-（2）×2得：x + y – z = 2cz;
∴ x + y + z = 2(1+a)x = 2(1 + b )y = 2(1 + c )z
令x + y + z ≠0, ∴(1 + a )x ≠0, (1 + b )y ≠0, (1 + c )z ≠0. ∴z
y x x a ++=+211 ∴x x z y a 2-+=
∴z
y x x z y a ++-+=+11 同理：
z y x z y x c c z y x y z x b b ++-+=+++-+=+1,1 ∴11111=++-++-++-+=+++++z
y x z y x y z x x z y c c b b a
3．（1）将下列各题分解为部分分式： ①设)
12)(1()()2(121)12)(1(5-+--+=-++=-+-x x B A x B A x B x A x x x ∴2A+B=1且B-A=5
∴A=2，B=-3 ∴
1
2312)12)(1(5--+=-+-x x x x x ②设3
21)3)(2)(1(181662+++++=+++++x C x B x A x x x x x )
3)(2)(1()2)(1()3)(1()3)(2(+++++++++++=x x x x x C x x B x x A )
3)(2)(1(236)345()(2+++++++++++=x x x C B A x C B A C B A
∴A+B+C=6且5A+4B+3C=16且6A+3B+2C=18。

∴A=4，B=-10，C=12
∴原式=
3
1221014+++-+x x x （当A 、B 、C 的值也可用x 的特殊值来求） （2）设3
232)1()1(1)1(2-+-+-=-+x C x B x A x x 3
23
23
2)1()2()1(2)1()1()1(-+-+-+=-+-++-=-+-+-=x C B A x A B Ax x C B A Bx Ax Ax x C x B x A ∴A=1，B-2A=0，A-B+C=2
∴B=2，C=3
4．
（1）证明：∵0)(2222≥-=+-b a b ab a
∴ab b a 222≥+（当a=b 时取等号）
∴x > 0时，若a = x ，b = x 1，则x + x 1≥2 (当x = x
1且x >0时取等号) ∴)1(2223222 b
a c
b b a
c a c a b a c a c b c b c a c b b a b
a b a c a c c a b c b c b a b
a c a c
b
c b a +++++++++++++++++=+++++++++++=++++++ ∵a > 0, b > 0 , c > 0, ∴
0>++c b b a 且0>++b
a c
b ∴,2,2,2≥+++++≥+++++≥+++++
c a c b c b c a b a c a c a b a b a c b c b b a ∴（1）≥6（当a = b = c 时取等号） ∴原不等式：
3222≥+++++b
a c c a
b
c b a （2）当a =b 时，有：.121212a
a a
b a -=-=- ∵a > 1 且a 为整数 ∴2a 1-即b a 12-非整数，与已知矛盾 所以a 不等于b ，不妨设a > b
设b a 12-=x ，a
b 12-=y ，且x,y 均为正整数且x > y, ∴2a – 1 = bx, 2b – 1 = ay
∴(4 – xy )a = x + 2, ∵a > 1 , x > 1且a,x 均为整数，
∴4 – xy 必是正整数，
∴xy = 3或xy = 2或xy =1
当xy = 3时，解得：⎩
⎨⎧==∴⎩⎨⎧==3513b a y x 当xy = 2时，解得：⎪⎩
⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==23212b a y x （不合题意） 当xy =1时，不合题意舍
∴a + 2b = 11
5．解：设甲单独完成全部工程所需天数为x 天，乙单独完成全部工程所需天数为y 天，丙单独完成全部工程所需天数为z 天，丁单独完成全部工程所需天数为m 天，戊单独完成全部工程需n 天，则依题意得：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++)4(4
1111)3(61111)2(51111)
1(152111 n m y m z x n z x z y x 由（1）+（2）+（4）得：543)111(2)11(3 =++++n m y z x 把（4）代入（5）得：41)11(3=+z x ∴12
111=+z x 则21111132
=++++n
m z y x 即五人同时工作2天可以完成工作的.32
九年级数学竞赛专题 第六讲 对称变换
1．如图，△ABC 中，AE 平分∠BAC 的外角，D 为AE 上一点，若AB=c ，AC=b ，DB=m ，DC=n ，则m+n 与b+c 的大小关系是（ ）
A ．m + n > b + c ;
B ．m + n = b + c
C ．m + n < b + c ;
D ．m + n > b + c 或m + n < b + c
2．如图，△ABC 中，∠A=2∠B ，∠C ≠72°，C 砰分∠ACB ，P 为AB 中点，则下列各式中正确的是（ ）
A ．AD=BC-CD;
B ．AD=BC-AC;
C ．AD=BC-AP;
D ．AD=BC-BD
二、解答题
1．在定直线XY 异侧有两点A 、B ，在直线XY 上求作一点P ，使PA 与PB 之差最大。

2．如图，已知线段AB 的同侧有两点C 、D 满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-
2
1∠DBC 。

求证：AC=AD.
3．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD.
4．如图，已知P 是△ABC 边BC 上一点，且PC=2PB ，若∠ABC=45°，∠APC=60°， 求证：∠ACB 的大小。

5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-
2
1∠BDC 。

求证：AC=BD+CD.
6．△ABC中，已知∠BAC=15°，AD平分∠BAC，过A作DA的垂线交直线BC于M，若BM=AC+BA。

求证：∠ABC、∠ACB的度数。

7．已知：等边凸六边形ABCDEF中，顶角∠A、∠C、∠E与∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F。

求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

8．已知，如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=43，D为ON上一点，OD=83，C
为A由任一点，B是OD上任意一点。

求：折线ABCD的长度的最小值。

答案
一、
1．A
2．B
略解：
1．在AM上截取AC'=AC，连结DC'，如图，易证△ADC≌△AD C'
所以DC=D C'
因为BA + A C'< BD+D C'
所以AB + AC < BD + DC
即m + n > b + c，故选A.
2．因为∠A=2∠B
所以∠A > ∠B
所以BC > AC
在BC上截取CA'=CA，连结D A'（如图），
易证△ACD≌△AC'D
所以AD= A'D，且∠1=∠A=2∠B
又∠1=∠B+∠2
所以∠B=∠2
所以A'B= A'D=AD
所以BC= A'C+ A'B = AC + AD
所以AD = BC – AC符合（B）
注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD= A'C=AC
此时∠CD A'=∠CDA=∠A=2∠B
所以∠AD A'=4∠B
又∠AD A'+∠2=4∠B + ∠B = 180°
所以∠B = 36°
所以∠C = 72°
与已知矛盾，故A排除，易证BD > B A'= AD，所以PB < BD，PA > AD
所以AD < BC – AP，排除C，AD > BC – BD，排除D
二、
1．作法：作点B 关于直线XY 的对称点B '，作直线A B '交XY
于P 点，则点P 为所求点（如图）若B 'A ∥XY （即B '、A 到
直线XY 的距离相等），则点P 不存在。

证明：连结BP ，在XY 上任意取点P '，连结P 'A 、P 'B ，则PB=PB '，
P 'B= P 'B
因为| P 'B - P 'A | = | P 'B '-P 'A| < AB '= | P 'B - PA| = |PB - PA|，
所以，此时点P 使 |PA - PB|最大
2．略证：以AB 为轴作△ABC 的对称△ABC '，则AC=A C '，∠C=∠C '=60°，∠ABC '=∠ABC 如图
因为∠ABD=90°-2
1∠DBC 所以2∠ABD+∠DBC=180°
所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°
即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC '
+∠ABD=180°
所以D 、B 、C '共线
又因为∠D=60°
所以∠DAC=180°-∠C '-∠D=60°=∠D=∠C '
所以△AD C '是等边三角形，所以AD=A C '=AC
3．法1：
在BC 上截取BE=BA ，BF=BD ，连结DE 、DF （如图）
易证△ABD ≌△EBD
所以DE=DA ，且∠DEB=∠A=100°
所以∠1=80°
因为AB=AC ，∠A=100°
所以∠ABC=∠C=40°
又BD 平分∠ABC ，所以∠4=∠3=20°
由BD=BF 得：∠2=∠BDF=80°
所以∠1=∠2，所以DE=DF ，
又因为∠BDC=∠A+∠4=120°
所以∠5=40°=∠C ，所以CF=DF ，所以CF=DE=DA
所以BC=BF+FC=DB+AD
法2：
在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连结DE、CF（如图）
易证△ABD≌△EBD
所以∠DEB=∠A=100°，所以∠DEC=80°
易求∠1=∠2=20°，∠3=40°
因为BC=BF，∠2=20°，所以∠F=∠FCB=80°=∠DEC
所以∠4=80°-∠3= 40°=∠3
又DC=DC，所以△DCE≌△DCF（AAS）
所以DF=DE=AD
所以BC=BF=BD+DF=BD+AD
法3：
在BD上截取BE=BA，在BC上截取BF=BD，连结EF、DF（如图，相当于将△ABD绕B点旋转20°）
易证△ABD≌△EBF（SAS）
所以AD=EF，∠BEF=∠A=100°
所以∠DEF=80°，易求∠2=20°，∠C=40°，
∠BDC=120°
因为BD=BF，所以∠BDF=80°=∠DEF，
所以DF=EF且∠3=40°=∠C
所以DF=FC
所以BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD
4．作C关于AP的对称点C'，连结A C'、B C'、P C'，
则有P C'=PC=2PB，∠APC'=∠APC=60°可证△BC'P
为直角三角形（延长PB到D，使BD=BP，则PD=PC'，
又∠C'PB=60°，则△C'PD是等边三角形，由三线
合一性质有C'B⊥BP）∠C'BP=90°
因为∠ABC=45°，所以∠C'BA=45°=∠ABC
所以BA平分∠C'BC
所以A到BC'的距离=A到BC的距离
又因为∠APC'=∠APC，所以PA平分∠C'PC
所以A到P C'距离=A到PC（即BC）的距离
所以A 到B C '的距离=A 到P C '
的距离 所以A 是角平分线上的点，即C '
A 平分∠M C '
P 所以∠A C '
P=2
1∠M C '
P=75°=∠ACP
5．略证：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB '
D （如图），
则有B '
D=BD ，AB '
=AB=AC ，∠B '
=∠ABD=60°，∠AD B '
=∠ADB=90°-2
1
∠BDC ， 所以∠ADB '+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°
所以C 、D 、B '在一条直线上 所以△ACB '
是等边三角形 所以CA=C B '
=CD+D B '
=CD+BD
6．分两种情况讨论计算
（1）当过A 作AD 的垂线交BC 延长于点M 时，延长BA 到C 到C '
，使A C '
=AC ，连结C '
M （如图），则BM=AB+AC=AB+A C '
=B C '
所以∠C '
=∠C '
MB
由AD 平分∠BAC ，AM ⊥AD ， 易证AM 平分∠CA C '
所以△ACM ≌△A C 'M 所以∠A C '
M=∠ACM=∠C '
MB
在△BC '
M 中，∠B+∠C '
+∠C '
MB=180°
所以∠B+∠ACM+∠ACM=180°
所以∠B+2（∠BAC+∠B ）=180°，解得∠B=50° 所以∠ACB=180°-∠B-∠BAC=115°
（2）当过A 作AD 的垂线交CB 延长线于点M 时，延长BA 到C '
，使A C '
=AC ，连结C C '
，C '
M （如图）
则BM=AB+AC=AB+A C '=B C '
， 所以∠M C '
A=∠MBA
因为∠MAD=90°，所以∠MAC=90°+︒=∠5.972
BAC
又∠C '
AC=180°-∠BAC=165°
所以∠C '
AM=360°-∠CAC '
-∠MAC=97.5°=∠CAM 又AM=AM ，所以△A C '
M ≌△ACM （SAS ） 所以∠A C '
M=∠ACB
在△M C '
C 中，∠C '
MB+∠MCC '
+∠MCC '
=180° 所以∠MC '
A+∠MCA+∠AC C '
+∠M C '
A+∠AC '
C=180° 所以3∠ACM+∠CAB=180° 所以∠ACB=
3
1
（180°-15°）=55° 所以∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=110°
综上，∠ABC=50°，∠ACB=115°或∠ABC=110°，∠ACB=55°
7．略证：
以BF 为轴将△ABF 翻折，以BD 为轴将△BCD 翻折，以DF 为轴将△DEF 翻折 因为∠A+∠C+∠E=∠ABC+∠CDE+∠AFE=360° 且AB=BC=CD=DE=EF=FA ，
所以翻折后A 、C 、E 落于同一个点O 所以OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB 所以四边形ABOF 、BCDO 、DEFO 均为菱形 所以OB ∥CD ，DE ∥OF
所以∠BOD+∠ODC=180°，∠FOD+∠ODE=180° 所以∠CDE=360°-∠BOD-∠FOD=∠BOF=∠BAF 同理可证，∠ABC=∠E ，∠C=∠AFE
8．解：作A 关于ON 的对称点A '
，连结A '
B ，作D 关于OM 的对称点D '
，连结CD '
，连结O A '
、O D '
、A '
D '
（如图）
所以AB= A '
B ，CD=
C
D '
由折线ABCD 长=AB+BC+CD ，而AB+BC+CD= A '
B+BC+CD '
≥A '
D '
所以折线ABCD 长的最小值的线段A '
D '
的长
因为∠NO A '=∠MON=20°，∠D '
OM=∠MON=20°
所以∠D '
OA '
=60°
又因为O A '
=OA=43，OD '
=OD=83 所以∠O A '
D '=90°
所以A 'D '
=12)34()38(222'2
'=-=-OA OD
所以折线ABCD 长度的最小值为12。

九年级数学竞赛专题 第七讲 旋转变换
一、填空题
1、如图1，△ABC 中，M 为BC 中点，D 、E 分别在AB 、AC 上，DM ⊥ME ，则BD+CE__________DE （用“>”“<”“=”填空）
(1) (2) (3) 2．如图2,点P 是等边三角形ABC 内部一点，且PA=2，PB=23，PC=4，则∠APC 的大小是__________度。

3．如图3，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，P 、Q 是BC 上两点，且满足222PQ CQ BP ++，则∠PAQ 的度数是___________。

4．等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是______________。

二、解答题
1．如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，P 是BC 延长线上一点，PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，PF ⊥AC 交AC 延长线于F ，D 为BC 中点，连结DE ，DF 。

求证：DE=DF.
2．如图，已知正方形ABCD 对角线交于点O ，点P 、点Q 分别是BC 、CD 上的点，DP ⊥AQ 。

求证：OQ ⊥OP.
3．如图，已知△ABC 中，AB=BC=CA ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，G 是BC 上一点， △DGH 是等边三角形。

求证：EG=FH.
4．如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=2
1，DE+BC=1，求：∠ABC 的度数。

5．如图，已知△ABC 与△CDE 都是等边三角形，且满足∠EBD=40°，求：∠AEB 的度数。

6．如图，已知O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=120°，求：以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各内角度数。

7．如图，已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且AF 平分∠DAE 。

求证：AE=DF+BE.
8．如图，已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°。

求证：（1）EF=BE+DF ； （2）
EF
AB
S S EAF ABCD 2=∆.
9．如图，已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4。

求：线段DE的长。

10．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°。

求证：△AMN的周长等于2。

答案
一、
1．>；
2．120°；
3．45°；
4．25+123；
略解：
1．延长DM到F，使MF=DM，连结EF、CF（如图）
易证△BDM≌△CFM（SAS）
所以BD=CF
易证△DEM≌△FEM（SAS）
所以DE=FE
在△ECF中，EC+FC>EF
所以BD+EC>DE
2．将△ABP绕A点逆时针旋转60°，使AB与AC重合，P落到P'点（如图），
则有△A P'C≌△APB
所以A P'=AP=2， P'C=PB=23
且∠P'AC=∠PAB，
所以∠P'AP=∠BAC=60°
所以△AP P'是等边三角形，
所以PP'=2，P2'P+ P'C2=16=P C2
所以∠PP'C=90°，所以∠P'PC==60°
所以∠APC=∠APP'+∠P'PC=120°
3．在△ABC外作∠DBA=∠C，且DB=QC，连结DP，DA（如图，即将△AQC绕点A放心转90°）所以∠DBP=2∠C=90°
所以DP2=DB2+BP2=QC2+BP2=PQ2
所以DP=PQ
易证△ABD≌△AC（SAS）
所以DA=QA，∠1=∠2
所以△ADP≌△APQ（SSS）
所以∠1+∠3=∠PAQ
因为∠2+∠3+∠PAQ=90° 所以∠1+∠3+∠PAQ=90° 所以∠PAQ=45°
4．设PB=3，PA=4，PC=5，将△PBC 绕B 点逆时针旋转60°至△BDA （如图），
则△ADB ≌△CPB
因为∠DBA=∠PBC ，DB=PB=3，AD=CP=5 所以∠DBP=∠ABC=60° 所以△DBP 是等边三角形
所以A P 2
+DP 2
=42
+32
=25=AD 2
所以∠APD=90°，所以∠APB=150°
延长AP ，作BE ⊥AP 于E （如图）则∠BPE=30°，
所以BE=
21BP=23， 所以PE=233，所以AE=4+2
3
3
所以222
22)32
34()23(+
+=+=AE BE AB =25+123
二、
1．略证：连结AD （如图）
易证AEPF 是矩形， 所以AE=FP
因为AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 中点， 所以AD=BC ，∠1=∠2=45°=∠3
所以∠EAD=∠FCD=135°，∠CPF=45°=∠3， 所以CF=PF=AE ，
所以△ADE ≌△CDF （SAS ） 所以DE=DF
此题也可证△BDE ≌△ADF （BE=AF ，∠B=∠FAD ，BD=AD ）
2．略证：易证∠DAQ=∠CDP
又因为AD=DC ，∠ADC=∠DCB=90° 所以△ADQ ≌△DCP （ASA ） 所DQ=CP
由正方形怀质可知OD=OC ，∠ODQ=∠OCP=45° 所以△DOQ ≌△COP （SAS ） 所以∠1=∠2
所以∠2+∠3=∠1+∠3=90° 所以OP ⊥OQ
此题实际上将正方形绕O 点顺时针旋转90°，旋转后Q 点即落在P 点处
3．略解：连结DE 、DF （如图）
因为D 、E 、F 是各边中点， 所以DE 平行且等于
21AC ，DF 平行且等于2
1BC
因为AB=BC=CA
所以∠A=∠B=∠C=60°
所以DE=DF ，∠EDF=∠DFA=∠C=60° 因为等边△DHG
所以DG=DH ，∠HDG=60°=∠EDF ，
所以∠EDF-∠FDG=∠HDG-∠FDG ，即∠1=∠2 所以△DEG ≌△DFH （SAS ） 所以FH=EG
4．略解：延长BC 到F ，使CF ＝ＤＥ，连结ＡＦ（如图）
所以BF=BC+CF=BC+DE=1
因为BE=AC ，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF ， 所以△BDE ≌△AFC （SAS ）
所以AF=BD=2
1
，∠B=∠1 所以AF=
2
1BF 因为∠B+∠2=90° 所以∠1+∠2=90° 所以∠ABC=30°
5．略解：如图
因为等边△ABC 和等边△DCE
所以∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60° AC=BC ，EC=DC
所以∠1=∠2，△ACE ≌△BCD （SAS ） 所以∠AEC=∠BDC=60°+∠3
所以∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED
=360°-（60°+∠3）-60°-∠BED =360°-120°-（∠3+∠BED ） =360°-120°-（180°-∠BED ） =360°-120°-（180°-40°） =100°
6．略解：将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至△ADC 的位置，连结OD （如图），则有
△AOB ≌△ADC ，所以AD=AO ，CD=BO ，∠ADC=∠AOB=110°
易证△AOD 为等边三角形，所以OD=OA ，
所以△OCD 就是以OA 、OB 、OC 为边组成的三角形 因为∠AOB=110°，∠BOC=120°，所以∠AOC=130° 所以∠COD=∠AOC - ∠AOD=70°， ∠ODC=∠ADC-∠ADO=∠AOB-∠AOD=50°
所以∠OCD=180°-∠COD-∠ODC=60°
所以，以OA 、OB 、OC 为边组成的三角形三内角度数分别为50°，60°，70°
7．略解：延长CB 到G ，使BG=DF ，连结AG （如图）
又因为AD=AB ，∠D=∠ABG=90°
所以△ADF ≌△ABG （SAS ）
所以∠5=∠G ，∠1=∠3
因为∠1=∠2，所以∠2=∠3
所以∠2+∠4=∠3+∠4，即∠FAB=∠EAG
因为CD ∥AB ，所以∠5=∠FAB=∠EAG
所以∠EAG=∠G
所以AE=EB+BG=EB+DF
8．略解：延长CB 到G ，使GB=DF ，连结AG （如图）
又因为AB=AD ，∠ABG=∠D=90°
所以△ABG ≌△ADF （SAS ）
所以∠3=∠2，AG=AF
因为∠BAD=90°，∠EAF=45°
所以∠1+∠2=45°
所以∠1+∠3=45°=∠EAF
又因为AE=AE ，所以△AGE ≌△AFE （SAS ）
所以GB+BE=EF ，所以DF+BE=EF
因为△AEF ≌△AGE
所以AGE AEF S S ∆∆= 所以AB EF AB GE S AEF ⨯=⨯=∆2
121 又2AB S ABCD = 所以EF AB AB EF AB S S AEF ABCD 22
12=⨯=∆
9．略解：延长DM 到F ，使MF=DM ，连结CF 、EF （如图）
又因为ME=ME ，∠DME=∠FME=90°
所以△DME ≌△FME
所以DE=FE
因为BM=CM ，∠BMD=∠CMF ，DM=FM
所以△BDM ≌△CFM
所以∠B=∠1，BD=FC
因为∠B+∠2=90°
所以∠1+∠2=90°
所以222FC EC EF +=
所以222BD EC DE +=
所以DE=54322=+
10．略解：延长AC 到E ，使CE=BM ，连结DE （如图）
因为BD=DC ，∠BDC=120°
所以∠CBD=∠BCD=30°
因为∠ABC=ACB=60°
所以∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°
所以△BMD ≌△CDE
所以∠BDM=∠CDE
因为∠MDN=60°
所以∠BDM+∠NDC=60°
所以∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM
又 DN=DN
所以△MDN ≌△EDN （SAS ）
所以MN=NE=NC+CE=NC+BM
所以△AMN 周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
九年级数学竞赛专题 第九讲 二次根式
一、选择题
1若x < -3，化简|1 - 2)2(x +|的结果是（ ）
A ．3+x;
B ．-3 – x;
C ．x;
D ．-x
2．化简x
x x 13---，得（ ） A ．(x – 1 )x -; B ．(1 – x )x -
C ．- (x + 1 )x ;
D ．(x – 1 ) x
3．01
273=--+-x y x x ，则y x -1的值是（ ） A ．无意义; B ．
61; C ．331+; D ．633+ 4．已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的a,b 的值（ ）
A ．不存在;
B ．有一组;n
C ．有二组;
D ．多于二组
5．化简：5322
-+=（ ）
A ．61062-+;
B ．61062++;
C ．6
1063++; D ．不同于A~C 的答案 二、填空题
1．当x ________时，式子4
||35--x x 有意义。

2．已知0 < x < 1，化简2212x
x +-=______________。

3．在实数范围内分解因式：2520424+-a a =______________。

4．计算：)235)(235)(235)(235(++-+--+++=__________。

5．比较大小：10113_______10310--
三、解答题
1．设x = 33,2
53,253y x y +-=+求.
2．解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+5
267
32y x y
3．化简：211514107
5++++
4．已知：x
a x a x a x a
b a b ab x -++--+>>+=
:),0,0(122化简;
5．若5的整数部分为a ，小数部分为b ，求a -
b
1的值。

答案
一、
1．B
2．B
3．D
4．B
5．D
提示：
1．∵x < -3
∴x + 2 < 0, x + 3 < 0
∴原式=|1 - |2 + x || = |1 + 2 + x | = |x + 3 | = - 3 – x
2．要使式子有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0103x
x 解得x < 0 ∴x x x x x --=-=-||3
x x
x x x -=-⋅-=--)1()(12 ∴原式=x x x x x --=-+--)1(
3．根据非负数的性质可得：
⎪⎩⎪⎨⎧=--=-01
0273x y x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-010273x y x x ∴x = 3, y = 3
代入化简得：原式=6
33+ 4．根据同类二次根式定义可知：
⎩⎨⎧=+=-722b a b a 解之得⎩⎨⎧==1
3b a 5．)532)(532()
532(25322
++-+++=-+
615366
)
532(362)532(25)32()532(22++=++=
++=
-+++=
二、
1．x ≤
35且x ≠-4； 2．;1x x
- 3．22)52()52(+⋅-a a ；
4．24；
5．>
提示：
1．要使4||35--x x 有意义，则必须⎩⎨⎧≠-≥-04||035x x 即⎪⎩⎪⎨⎧±≠≤4
35x x ∴x ≤3
5且x ≠-4 2．∵0 < x < 1 ∴
x x
>>11 ∴原式=x x x x -=-1|1| 3．2
224)52(25204-=+-a a a 2
222
22)52()52()]52)(52[(])5()2[(+-=+-=-=a a a a a
4．1526)2()35()235)(235(22+=-+=-+++ 6
152)
35()2()]
35(2[)]35(2[)
235)(235(22-=--=--⋅-+=++-+-。